کرل (ریاضیات)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
ترسیمی از میدان برداری دو بعدی از یک کرل یکنواخت.

در حساب برداری، کرل (به انگلیسی: Curl) یک عملگر برداری است که توصیف‌گر چرخش بی‌نهایت‌کوچک (به انگلیسی: infinitesimal) یک میدان برداری در فضای اقلیدسی سه بعدی است. کرل یک نقطه از این میدان را به کمک یک بردار نمایش می‌دهند که طول و جهت آن، نمایانگر بزرگی و محور چرخش بیشینه میدان برداری در آن نقطه است.[۱] کرل یک میدان برداری در یک نقطه را به طور صوری به صورت چگالی دوران یا چرخش آن میدان برداری در نقطه مورد نظر نیز تعریف می‌کنند.

تعریف

کرل یا میدان برداری A که با هر یک از نمادهای ، ، ، ، ، و یا curl A نمایش داده می‌شود، برداری است که اندازه آن حداکثر گردش خالص A در واحد سطح است وقتی‌که اندازهٔ سطح به سوی صفر میل می‌کند و جهت آن جهت عمود سطح است زمانی که سطح طوری جهت داده شده‌باشد که گردش خالص را حداکثر نماید.

که این تعریف را می توان به صورت زیر نوشت:

مختصه‌های F در مکان r, که یکی نرمال و دیگری مماس بر منحنی بستهٔ C است. که در یک صفحه است و بردار سطح مسطحی را می‌پوشاند. A = A.

سمت راست انتگرال خطی روی ناحیه ی بینهایت کوچکِ C است که به سمت صفر میل می کند. و n بردار نرمال ناحیه ی C است.

میدان برداری بدون کرل، میدان غیرگردشی یا یا ناگردان یا میدان ذخیره‌شونده نامیده‌می‌شود.

در عمل فرمول بالا به ندرت برای محاسبه ی کرل استفاده می شود.از فرمول زیر برای محاسبه ی آن استفاده می شود:

که معادل است با دترمینان ماتریسی زیر:

نمایش تنسوری آن به صورت زیر است:

در اینجا مطابق سنت اینشتین اندیس تکرار شونده نشانهٔ جمع بر اندیس است و عملگر مشتق (دل) است.

تعبیر فیزیکی

نام کرل به این دلیل انتخاب شده است که کرل یک میدان برداری در یک نقطه، معیاری است که آن میدان برداری چه مقدار چرخش حول آن نقطه دارد. برای درک مفهوم کرل فرض کنید که در کنار یک استخر ایستاده‌اید و پرّه‌ای کوچک (مثلاً یک چوب‌پنبه به‌همراه چند خلال دندان که در آن فرورفته‌اند) در استخر انداخته‌اید. اگر پره در نقطه‌ای قرار بگیرد که کرل در آن غیرصفر است، شروع به چرخیدن می‌کند. در این مثال سرعت آب میدان برداری مورد نظر است و پره، کرل این میدان برداری را در هر نقطه اندازه می‌گیرد.[۲]

مثال ها

مثال یک

میدان برداری زیر را در نظر بگیرید:

Uniform curl.svg

اگر بردارهای میدان، نیرو های وارد بر جسم حاضر در یک نقطه را نشان دهند.در اثر نیرو آن جسم شروع به چرخش ساعت‌گرد به دور خودش میکند فارغ از اینکه جسم در کجا قرار دارد:

کرل میدان مورد نظر میدان یکنواخت در جهت منفی z است.نتیجه ی به دست آمده را می توانستیم با استفاده از قانون دست راست پیشبینی کنیم.یکنواخت بودن کرل باعث می شود که جسم قرار داده شده در هرجای میدان با سرعت چرخشی مشخصی به دور خودش بگردد بدون توجه به این که کجای میدان قرار دارد.
نمودار کرل میدان مثال یک به صورت زیر است:
Curl of uniform curl.png

برخی خواص

جستارهای وابسته

پانویس

  1. Weisstein, Eric W. "Curl". MathWorld.
  2. فیلم آموزشی معرفی کرل، .

برای مطالعه بیشتر

پیوندهای بیرونی