نظریه نمایش

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
تقارن های شش ضلعی
نظریه نمایش به مطالعه چگونگی "کنش" ساختار های جبری بر روی اشیاء می پردازد. یکی از ساده ترین مثال های آن را در تصویر فوق می بینید، در این تصویر مشاهده می کنید که چگونه تقارن های یک چند ضلعی منظم، شامل انعکاس ها و دوران ها، بر روی این چند ضلعی عمل تبدیل را انجام می دهند.

نظریه نمایش شاخه ای از ریاضیات است که به مطالعه ساختار های جبری از طریق نمایش عناصر آن ها به صورت تبدیل های خطی فضاهای برداری پرداخته و به مطالعه مدول ها روی این ساختار های جبری می پردازد.[۱] اساساً، این گونه نمایش ها، اشیاء ساختار های جبری را با توصیف عناصرشان به کمک ماتریس ها و عملگر های جبری چون جمع و ضرب ماتریسی، ملموس تر می کنند. اشیاء جبری که رام چنین توصیفاتی می شوند شامل گروه ها، جبر های شرکت پذیر و جبر های لی می شوند. برجسته ترینشان (و از نظر تاریخی اولینشان) نظریه نمایش گروه هاست که در آن عناصر گروه توسط ماتریس های معکوس پذیر چنان نمایش داده می شوند که عمل گروهی حکم همان عمل دوتایی گروه را دارد.[۲]

نظریه نمایش روش مفیدیست، چرا که مسائل جبر مجرد را به مسائل جبر خطی که به خوبی شناخته شده اند تقلیل می دهد.[۳] به علاوه، فضای برداری که یک گروه (به عنوان مثال) را روی آن نمایش می دهیم می تواند بی نهایت بعدی باشد، و حتی مثلاً می تواند یک فضای هیلبرت باشد که در این صورت می توان روش های آنالیزی را بر روی نظریه گروه ها اعمال کرد.[۴] نظریه نمایش در فیزیک هم اهمیت دارد، چرا که به عنوان مثال، به توصیف چگونگی تأثیرگذاری تقارن گروهی یک سیستم فیزیکی بر روی مجموعه جواب معادلات توصیف کننده آن سیستم می پردازد.[۵]

نظریه نمایش بین شاخه های مختلف ریاضیات نفوذ بالایی دارد، به دو علت: یکی این که کاربرد های نظریه نمایش وسیعند،[۶] به علاوه اثرات آن بر روی جبر، نظریه نمایش بر روی موارد زیر هم اثرگذار است:

ثانیاً، رهیافت های گسترده ای به نظریه نمایش وجود دارد. همان اشیاء را می توان با استفاده از روش های هندسه جبری، نظریه مدول، نظریه تحلیلی اعداد، هندسه دیفرانسیل، نظریه عملگر ها، ترکیبیات جبری و توپولوژی نیز مطالعه کرد.[۱۰]

موفقیت نظریه نمایش منجر به چندین تعمیم شده است. یکی از عام ترین های آن نظریه رسته هاست.[۱۱] اشیاء جبری که نظریه نمایش را می توان از دیدگاه آن (از دیدگاه نظریه رسته ها) به صورت رسته های خاصی دید، و نمایش ها را به صورت فانکتور هایی از اشیاء رسته به رسته فضاهای برداری دید. این توصیف به دو تعمیم آشکار اشاره می کند: اولین آن این که اشیاء جبری را می توان با رسته های عام تری جایگزین کرد؛ دومین آن این که رسته هدف را می توان به جای رسته فضاهای برداری با رسته های شناخته شده ی دیگری جایگزین نمود.

تعاریف و مفاهیم[ویرایش]

فرض کنید یک فضای برداری روی میدانی چون .[۳] به عنوان مثال، فرض کنید یکی از یا باشد، یعنی به ترتیب یک فضای برداری معمولی -بعدی روی یا باشد. در این صورت ایده نظریه نمایش این است که جبر مجرد را با استفاده از ماتریس های از اعداد حقیقی یا مختلط ملموس کنند.

سه نوع مختلف از اشیاء جبری وجود دارد که برای آن ها این کار (ملموس سازی با استفاده از ماتریس ها) را می توان انجام داد: گروه ها، جبر های شرکت‌پذیر و جبر های لی.[۱۲]

  • مجموعه تمام ماتریس های معکوس‌پذیر تحت ضرب ماتریسی تشکیل گروه می دهند و نظریه نمایش گروه ها به تحلیل یک گروه با توصیف ("نمایش") عناصرش بر اساس ماتریس های معکوس پذیر می پردازد.
  • جمع و ضرب ماتریسی مجموعه تمام ماتریس های را تبدیل به جبر شرکت‌پذیر کرده و لذا متناظر با نظریه نمایش جبر های شرکت‌پذیر خواهد بود.
  • اگر ضرب ماتریسی MN را با جابجاگر ماتریسی جایگزین کنیم، آنگاه ماتریس های تبدیل به جبر لی می شوند، که منجر به نظریه نمایش جبر های لی خواهد شد.

این کار را می توان به هر میدان و هر فضای برداری روی تعمیم داد، که در آن نگاشت های خطی جایگزین ماتریس ها و ترکیب جایگزین ضرب ماتریسی می شود. اشیائی که با این تعمیم شکل می گیرند بدین قرارند: گروهی به نام از خودریختی (اتومورفیسم) های ، جبر شرکت‌پذیر از تمام درون‌ریختی (اندومورفیسم) های و جبر لی متناظر آن یعنی .

یادداشت ها[ویرایش]

  1. متون کلاسیک در مورد نظریه نمایش شامل Curtis & Reiner (1962) و Serre (1977) می شود. دیگر منابع شامل Fulton & Harris (1991) و Goodman & Wallach (1998).
  2. برای مشاهده تاریخچه نظریه نمایش گروه های متناهی Lam (1998) را ببینید. برای گروه های جبری و لی Borel (2001) را ببینید.
  3. ۳٫۰ ۳٫۱ کتاب های زیادی برای فضاهای برداری و جبر خطی وجود دارند، برای بحث پیشرفته ای ازین مباحث Kostrikin & Manin (1997) را ببینید.
  4. Sally & Vogan 1989.
  5. Sternberg 1994.
  6. Lam 1998, p. 372.
  7. Folland 1995.
  8. Goodman & Wallach 1998, Olver 1999, Sharpe 1997.
  9. Borel & Casselman 1979, Gelbart 1984.
  10. پانویس های قبلی و همچنین Borel (2001) را ببینید.
  11. Simson, Skowronski & Assem 2007.
  12. Fulton & Harris 1991, Simson, Skowronski & Assem 2007, Humphreys 1972.

منابع[ویرایش]

پیوند به بیرون[ویرایش]