سری هندسی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات، سری هندسی به مجموع (سری) یک تصاعد هندسی گفته می‌شود و به صورت زیر تعریف می‌شود:

\sum_{k=0}^{n} ar^k = ar^0+ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^n \,

در این سری، a را جمله اول و r را قدر نسبت سری می‌نامند.

برای نمونه مجموع زیر یک سری هندسی با قدر نسبت ۱/۲ است.

\frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{8} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \cdots

ویژگی‌ها[ویرایش]

در سری هندسی اگر r\; <1 باشد این سری همگرا خواهد بود. در غیر این صورت این سری واگرا است.

مجموع[ویرایش]

مجموع یک سری هندسی همگرا (r <1) از رابطه زیر به دست می‌آید:

S_{n} \;=\; \frac{a}{1-r}.

اثبات[ویرایش]

  • موقعی که |r| \;=\ 1 سری تبدیل می‌شود به:
a + a + a + a +... .

مجموع این سری می‌شود:

S_{n} = (n+1)a

و

\lim_{n\to \infty} S_{n} = \lim_{n\to \infty} (n+1)a = \pm \infty

(علامت بستگی به منفی یا مثبت بودن a دارد).

این واگرائی سری را نشان می‌دهد.

اکنون اگر r \;=\ -1 سری تبدیل می‌شود به:

a - a + a - a +... .

بنابراین دنباله مجموع آن به شکل زیر در می‌آید:

a,0,a,0,a,...

که واگرا می‌باشد.

  • حالا ملاحظه کنید موقعی که قدر نسبت سری |r| \;\neq\ 1.

مجموع این سری می‌شود:

(١) S_{n} = a+ar+ar^2+...+ar^n

هر دو طرف معادله را با r ضرب می‌کنیم:

(٢) rS_{n} = ar+ar^2+...+ar^n+ar^{n+1}

(٢) را از (١) کم می‌کنیم:

(٣) S_{n} - rS_{n} = a-ar^{n+1}

یا:

(1-r)S_{n} \;=\; a-ar^{n+1}

از آنجائی که در وضعیت مورد نظر |r| \;\neq\ 1، ما می‌توانیم آن را به شکل زیر بنویسیم:

S_{n} \;=\; \frac{a-ar^{n+1}}{1-r}= \frac{a}{1-r}(1-r^{n+1})

اگر r <1 پس lim_{n \to \infty} r^{n+1} =0 و نتیجه می‌گیریم که سری همگرا است.

\lim_{n\to \infty} S_{n} \;=\; \frac{a}{1-r}.

مثال[ویرایش]

Geometric Segment.svg

یک سری با قدر نسبت r = \frac{1}{2} را در نظر بگیرید:

\frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{8} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \cdots

از آنجا که قدر نسبت کوچکتر از یک است این سری همگرا است. همگرایی این سری نیز به سمت 1 است.

جستارهای وابسته[ویرایش]