سری هندسی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات، سری هندسی به مجموع (سری) یک تصاعد هندسی گفته می‌شود و به صورت زیر تعریف می‌شود:

در این سری، a را جمله اول و r را قدر نسبت سری می‌نامند.

برای نمونه مجموع زیر یک سری هندسی با قدر نسبت ۱/۲ است.

ویژگی‌ها[ویرایش]

در سری هندسی اگر باشد این سری همگرا خواهد بود. در غیر این صورت این سری واگرا است.

مجموع[ویرایش]

مجموع یک سری هندسی همگرا () از رابطه زیر به دست می‌آید:

اثبات[ویرایش]

  • موقعی که سری تبدیل می‌شود به:

مجموع این سری می‌شود:

و

(علامت بستگی به منفی یا مثبت بودن دارد).

این واگرائی سری را نشان می‌دهد.

اکنون اگر سری تبدیل می‌شود به:

بنابراین دنباله مجموع آن به شکل زیر در می‌آید:

که واگرا می‌باشد.

  • حالا ملاحظه کنید موقعی که قدر نسبت سری .

مجموع این سری می‌شود:

(١)

هر دو طرف معادله را با ضرب می‌کنیم:

(٢)

(٢) را از (١) کم می‌کنیم:

(٣)

یا:

از آنجائی که در وضعیت مورد نظر ، ما می‌توانیم آن را به شکل زیر بنویسیم:

اگر پس و نتیجه می‌گیریم که سری همگرا است.

مثال[ویرایش]

Geometric Segment.svg

یک سری با قدر نسبت را در نظر بگیرید:

از آنجا که قدر نسبت کوچکتر از یک است این سری همگرا است. همگرایی این سری نیز به سمت 1 است.

جستارهای وابسته[ویرایش]