سری هندسی

در ریاضیات، سری هندسی به مجموع (سری) یک تصاعد هندسی گفته می‌شود و به صورت زیر تعریف می‌شود:

$\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}\,$$\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}\,$

در این سری، a را جمله اول و r را قدر نسبت سری می‌نامند.

برای نمونه مجموع زیر یک سری هندسی با قدر نسبت ۱/۲ است.

${\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots$${\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots$

ویژگی‌ها

در سری هندسی اگر $r\;<1$$r\;<1$ باشد این سری همگرا خواهد بود. در غیر این صورت این سری واگرا است.

مجموع

مجموع یک سری هندسی همگرا ($r<1$$r<1$) از رابطه زیر به دست می‌آید:

$S_{n}\;=\;{\frac {a}{1-r}}.$$S_{n}\;=\;{\frac {a}{1-r}}.$

اثبات

• موقعی که $|r|\;=\ 1$$|r|\;=\ 1$ سری تبدیل می‌شود به:

$a+a+a+a+....$$a+a+a+a+....$

مجموع این سری می‌شود:

$S_{n}=(n+1)a$$S_{n}=(n+1)a$

و

$\lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }(n+1)a=\pm \infty$$\lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }(n+1)a=\pm \infty$

(علامت بستگی به منفی یا مثبت بودن $a$$a$ دارد).

این واگرائی سری را نشان می‌دهد.

اکنون اگر $r\;=\ -1$$r\;=\ -1$ سری تبدیل می‌شود به:

$a-a+a-a+....$$a-a+a-a+....$

بنابراین دنباله مجموع آن به شکل زیر در می‌آید:

$a,0,a,0,a,...$$a,0,a,0,a,...$

که واگرا می‌باشد.

• حالا ملاحظه کنید موقعی که قدر نسبت سری $|r|\;\neq \ 1$$|r|\;\neq \ 1$.

مجموع این سری می‌شود:

(١) $S_{n}=a+ar+ar^{2}+...+ar^{n}$$S_{n}=a+ar+ar^{2}+...+ar^{n}$

هر دو طرف معادله را با $r$$r$ ضرب می‌کنیم:

(٢) $rS_{n}=ar+ar^{2}+...+ar^{n}+ar^{n+1}$$rS_{n}=ar+ar^{2}+...+ar^{n}+ar^{n+1}$

(٢) را از (١) کم می‌کنیم:

(٣) $S_{n}-rS_{n}=a-ar^{n+1}$$S_{n}-rS_{n}=a-ar^{n+1}$

یا:

$(1-r)S_{n}\;=\;a-ar^{n+1}$$(1-r)S_{n}\;=\;a-ar^{n+1}$

از آنجائی که در وضعیت مورد نظر $|r|\;\neq \ 1$$|r|\;\neq \ 1$، ما می‌توانیم آن را به شکل زیر بنویسیم:

$S_{n}\;=\;{\frac {a-ar^{n+1}}{1-r}}={\frac {a}{1-r}}(1-r^{n+1})$$S_{n}\;=\;{\frac {a-ar^{n+1}}{1-r}}={\frac {a}{1-r}}(1-r^{n+1})$

اگر $r<1$$r<1$ پس $lim_{n\to \infty }r^{n+1}=0$$lim_{n\to \infty }r^{n+1}=0$ و نتیجه می‌گیریم که سری همگرا است.

$\lim _{n\to \infty }S_{n}\;=\;{\frac {a}{1-r}}.$$\lim _{n\to \infty }S_{n}\;=\;{\frac {a}{1-r}}.$

مثال

یک سری با قدر نسبت $r={\frac {1}{2}}$$r={\frac {1}{2}}$ را در نظر بگیرید:

${\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots$${\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots$

از آنجا که قدر نسبت کوچکتر از یک است این سری همگرا است. همگرایی این سری نیز به سمت 1 است.

جستارهای وابسته

• سری
• تصاعد هندسی