سری هندسی

در ریاضیات، سری هندسی به دنباله ای از اعداد می گویند که هر جمله آن، ضرب یک عدد ثابت بنام قدر نسبت در جمله قبلی باشد که در آن جمله اول هر عددی می تواند باشد، در اینصورت مجموع سری یک تصاعد هندسی به صورت زیر تعریف می‌شود:

$\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}\,$

در این سری، a را جمله اول و r را قدر نسبت سری می‌نامند.

باید توجه کرد که هر سری، خود یک دنباله است و توسط دنباله دیگری بنام دنباله مولد سری مذکور، با قانون خاصی که نوع سری را مشخص می کند، به دست می آید و نباید سری را با مجموع آن سری اشتباه کرد و این اشتباه درباره سری ها بصورت چشمگیری مشاهده می شود

برای نمونه مجموع زیر یک سری هندسی با قدر نسبت ۱/۲ است.

${\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots$

ویژگی‌ها

در سری هندسی اگر $r\;<1$ باشد این سری همگرا خواهد بود. در غیر این صورت این سری واگرا است.

مجموع

مجموع یک سری هندسی همگرا ($r<1$) از رابطه زیر به دست می‌آید:

$S_{n}\;=\;{\frac {a}{1-r}}.$

اثبات

• موقعی که $|r|\;=\ 1$ سری تبدیل می‌شود به:

$a+a+a+a+....$

مجموع این سری می‌شود:

$S_{n}=(n+1)a$

و

$\lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }(n+1)a=\pm \infty$

(علامت بستگی به منفی یا مثبت بودن $a$ دارد).

این واگرائی سری را نشان می‌دهد.

اکنون اگر $r\;=\ -1$ سری تبدیل می‌شود به:

$a-a+a-a+....$

بنابراین دنباله مجموع آن به شکل زیر در می‌آید:

$a,0,a,0,a,...$

که واگرا می‌باشد.

• حالا ملاحظه کنید موقعی که قدر نسبت سری $|r|\;\neq \ 1$.

مجموع این سری می‌شود:

(١) $S_{n}=a+ar+ar^{2}+...+ar^{n}$

هر دو طرف معادله را با $r$ ضرب می‌کنیم:

(٢) $rS_{n}=ar+ar^{2}+...+ar^{n}+ar^{n+1}$

(٢) را از (١) کم می‌کنیم:

(٣) $S_{n}-rS_{n}=a-ar^{n+1}$

یا:

$(1-r)S_{n}\;=\;a-ar^{n+1}$

از آنجائی که در وضعیت مورد نظر $|r|\;\neq \ 1$، ما می‌توانیم آن را به شکل زیر بنویسیم:

$S_{n}\;=\;{\frac {a-ar^{n+1}}{1-r}}={\frac {a}{1-r}}(1-r^{n+1})$

اگر $r<1$ پس $lim_{n\to \infty }r^{n+1}=0$ و نتیجه می‌گیریم که سری همگرا است.

$\lim _{n\to \infty }S_{n}\;=\;{\frac {a}{1-r}}.$

مثال

یک سری با قدر نسبت $r={\frac {1}{2}}$ را در نظر بگیرید:

${\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots$

از آنجا که قدر نسبت کوچکتر از یک است این سری همگرا است. همگرایی این سری نیز به سمت 1 است.

جستارهای وابسته

• سری
• تصاعد هندسی