حد (ریاضی)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
این مقاله به بیان کلی مفهوم حد در ریاضی می‌پردازد، برای آگاهی بیشتر مقاله‌های حد تابع و حد دنباله را نگاه کنید.
تدریس حد و پیوستگی در کلاس درس ریاضیات

مفهوم حد در ریاضی را می‌توان با این مثال توضیح داد: رشته عددهای ۱, ۱/۲, ۱/۴, ۱/۸,... اگر به همین حالت ادامه یابند همواره به دو نزدیک‌تر می‌شوند ولی هیچ‌گاه به دو نمی‌رسند بنابر این اصطلاحاً می‌گوییم که دو حَدّ این رشته عدد است.

به عبارتی، وقتی که مقادیر متوالی به یک متغیر نسبت داده می‌شود، و درنتیجه بی نهایت به عدد ثابتی نزدیک شوند، به طوری که اختلاف آنها از مقدار ثابت به هر اندازه کوچک قابل انتخاب باشد، این مقدار ثابت را حد همه مقادیر متغیر می‌گویند

کاربرد مفهوم حد در ریاضی در توصیف مقداری است که یک تابع یا دنباله به آن نزدیک می‌شود، هنگامی که ورودی آن تابع یا شمارندهٔ آن دنباله به یک مقدار مشخص نزدیک می‌شود.[۱] حد یک مفهوم اساسی در حساب دیفرانسیل و انتگرال و در حالت کلی در آنالیز ریاضی است و در تعریف پیوستگی، مشتق و انتگرال کاربرد دارد. موضوع حد، به منظور بیان رفتار یک تابع می‌پردازد و می‌تواند رفتار آن را در نقاط روی صفحه و یا در بی نهایت هم ارزیابی کند.

مفهوم حد یک دنباله به حالت کلی تر حد شبکهٔ مکان‌شناسی گسترش می‌یابد و ارتباط نزدیکی با حد و حد مستقیم در نظریهٔ رده‌ها دارد.

ریاضی‌دانان پیش از آنکه مفهوم دقیق تر حد را ارائه کنند، در مورد آن مجادله‌های بسیار کرده‌اند. یونانی‌ها در عصر باستان درکی از مفهوم حد داشته‌اند. برای نمونه ارشمیدس مقدار تقریبی را با استفاده از پیرامون چند ضلعی‌های منتظم محاط در دایره به شعاع یک، وقتی که تعداد اضلاع بدون کران افزایش می‌یابد به دست می‌آورد. در قرون وسطی نیز تا دورهٔ رنسانس مفهوم حد برای بدست آوردن مساحت شکل‌های گوناگون بکار گرفته می‌شد.[۲]

در نوشتار ریاضی حد را گاهی به صورت lim نمایش می‌دهند مانند lim(an) = a، گاهی با یک پیکان رو به راست (→) نمایش می‌دهند مانند: ana و گاهی هم به فارسی حد می‌نویسند.

حد تابع[ویرایش]

نوشتار اصلی: حد تابع
هرگاه نقطه‌ای مانند x در فاصلهٔ δ از c باشد f(x) در فاصلهٔ ε از L قرار می‌گیرد.
برای تمامی x> S، مقدار f(x) در بازهٔ ε از L قرار می‌گیرد.

فرض کنید f(x)‎ تابعی حقیقی و c عددی حقیقی باشد. عبارت

 \lim_{x \to c}f(x) = L

بدین معنا است که اگر x به‌اندازهٔ کافی به c نزدیک شود مقدار f(x)‎ به‌اندازهٔ دلخواه به L نزدیک خواهد شد. رابطهٔ ریاضی بالا را چنین می‌خوانیم: «حد f از x هنگامی که x به c نزدیک می‌شود برابر L است.»

کوشی در ۱۸۲۱[۳] و به دنبال او کارل وایراشتراس تعریفی که در بالا برای حد داده شد را ریاضی وار بیان کردند، این تعریف در سدهٔ ۱۹ میلادی با نام «تعریف (ε, δ) حد» شناخته شد. آن‌ها در این تعریف از اپسیلون، ε، برای نشان دادن یک مقدار مثبت بسیار کوچک بهره بردند. هنگامی که «f(x) به‌اندازهٔ دلخواه به L نزدیک می‌شود» به این معنی است که مقدار f(x) کم کم در بازهٔ (L - ε, L + ε) جای می‌گیرد. با کمک قدر مطلق[۳] چنین می‌نویسیم: |f(x) - L| <ε.
عبارت «هنگامی که x به‌اندازهٔ کافی به c نزدیک می‌شود» به این معنی است که مقدارهای حقیقی از x را در نظر داریم که فاصلهٔ آن‌ها از c کمتر از عدد مثبت دلتا، δ باشد. یعنی x عضو یکی از دو بازهٔ (c - δ, c) یا (c, c + δ) است، نوشتار ریاضی این عبارت چنین است: ۰ <|x - c| <δ. نامساوی نخست یعنی فاصلهٔ میان c و x بیشتر از صفر است و x ≠ c است در حالی که نامساوی دوم می‌گوید فاصلهٔ x از c کمتر از δ است.[۳]

توجه داشته باشید که تعریف بالا برای حد می‌تواند درست باشد حتی اگر f(c) \neq L باشد. در حقیقت حتی نیازی نیست که f(x) در c تعریف شده باشد.

برای نمونه اگر داشته باشیم:

 f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}

آنگاه f(1) تعریف نشده‌است (بخش بر صفر) حال هر چه x به ۱ نزدیک می‌شود، f(x) متناسب با آن نیز به ۲ نزدیک می‌شود:

f(۰٫۹) f(۰٫۹۹) f(۰٫۹۹۹) f(۱٫۰) f(۱٫۰۰۱) f(۱٫۰۱) f(۱.۱)
۱٫۹۰۰ ۱٫۹۹۰ ۱٫۹۹۹ ⇒ تعریف نشده ⇐ ۲٫۰۰۱ ۲٫۰۱۰ ۲٫۱۰۰

بنابراین، مقدار f(x) به ۲ نزدیک می‌شود هرگاه بتوانیم x را به‌اندازهٔ کافی به ۱ نزدیک کنیم.

به عبارت دیگر  \lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = 2

یک تابع علاوه برداشتن حد در مقدارهای معین، می‌تواند در بی نهایت هم دارای حد باشد. برای نمونه:

f(x) = {2x-1 \over x}
  • f(۱۰۰) = ۱٫۹۹۰۰
  • f(۱۰۰۰) = ۱٫۹۹۹۰
  • f(۱۰۰۰۰) = ۱٫۹۹۹۹۰

هرگاه x مقدارهای بی نهایت بزرگ به خود گیرد، مقدار f(x) به سوی ۲ کشیده می‌شود. در این حالت می‌گوییم حد f(x) به ازای xهای رو به بی نهایت، برابر ۲ است. بیان ریاضی این گفته چنین است:

 \lim_{x \to \infty} \frac{2x-1}{x} = 2.

اثبات[ویرایش]

روش اثبات اپسیلون و دلتا مشهور است که بار اول توسط ریاضیدان آلمانی کارل ویستراس عنوان شد[منبع توسط نویسنده یاد نشده]. با استفاده از آن حد را چنین تعریف می‌کنیم:

Epsilondelta.jpg

گوییم f(x) در نقطه‌ای مانند  x_0 دارای حد L است اگر به ازای هر عدد مثبت \epsilon عدد مثبتی مثل \delta موجود باشد به طوری که اگر 0 <|x-x_0| <\delta، آنگاه|f(x)-L| <\epsilon.

به عبارت دیگر برای هر  \varepsilon\ >0 یک  \delta\ >0 وجود داشته باشد، که برای هر x_0 با خاصیت  |x-x_0|< \delta\ ، داشته باشیم |f(x)-L|< \varepsilon.

برای تعریف غیرصوری باید گفت حد تابع f(x) ،L است اگر وقتی x \to a، f(x) به حد L نزدیک بشود، یا f(x) در a دارای حد L است، اگر هنگامی که x به a میل می‌کند، f(x) به L نزدیک شود.

مثال[ویرایش]

اثبات 
\lim_{x \to 0}\sqrt{x} = 0 
 :

برای هر  \varepsilon\ >0 یک  \delta\ >0 وجود دارد به شکلی که:

 |\sqrt{x}-0|< \varepsilon\ اگر  0<x<\delta

یا  \sqrt{x}< \varepsilon\ اگر  0<x<\delta

با گرفتن جذر هر دو سمت می‌توانیم عبارت قبلی را به شکل زیر بنوسیم:

 \sqrt{x}< \epsilon^2 اگر  0<x<\delta

بنا بر این \delta \le \epsilon^2

و این \lim_{x \to 0}\sqrt{x} = 0 را اثبات می‌کند.

حد یک دنباله[ویرایش]

نوشتار اصلی: حد یک دنباله

دنبالهٔ روبرو را در نظر بگیرید: ۱٫۷۹, ۱٫۷۹۹, ۱٫۷۹۹۹,... می‌توان دریافت که اعداد این دنباله به عدد ۱٫۸ نزدیک می‌شوند. ۱٫۸ حد این دنباله‌است.

فرض کنید a۱, a۲,... دنباله‌ای از عددهای حقیقی است. آنگاه می‌توان گفت عدد حقیقی L حد این دنباله‌است هرگاه:

 \lim_{n \to \infty} a_n = L

یعنی:

به ازای هر عدد حقیقی ε> ۰ می‌توان یک عدد طبیعی n۰ پیدا کرد به گونه‌ای که برای تمام n> n۰ آنگاه .

عبارت بالا بدان معنا است که همهٔ عضوهای دنباله به حد دنباله نزدیک می‌شوند چون عبارت قدر مطلقی برابر است با فاصلهٔ میان an و L. همهٔ دنباله‌ها دارای حد نیستند، اگر دنباله‌های حد داشت به آن همگرا و اگر نداشت واگرا می‌گوییم. می‌توان نشان داد که دنباله‌های همگرا، حد یکتا دارند.

حد یک دنباله و حد یک تابع رابطهٔ نزدیکی با هم دارند.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  • Carl B. Boyer, A history of mathematics, 2nd edition, by John Wiley & Sons, Inc., 1991

پانویس[ویرایش]

  1. Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5. 
  2. «حد»(فارسی)‎. دانشنامه رشد. بازبینی‌شده در ژانویه2011. 
  3. ۳٫۰ ۳٫۱ ۳٫۲ Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2010). Calculus of a single variable (Ninth ed.). Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 978-0-547-20998-2.