انتگرال چندگانه

انتگرال دوگانه برای بدست آوردن حجم محصور در زیر توابعی به کار می‌رود که دو متغیر دارند.

انتگرال چندگانه (به انگلیسی: Multiple Integral) گونه‌ای از انتگرال‌های معین است که در تابع‌هایی که بیش از یک متغیر حقیقی دارند، مانند ƒ(x, y) یا ƒ(x, y, z) به کار می‌رود. انتگرال تابعی با دو متغیر بر روی ناحیه‌ای از ℝ^۲ انتگرال دوگانه (Double Integral) نام دارد.

روش نمایش

توابع با بیش از یک متغیر را با $\;f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ یا $\;f(x,y,z,t)$ نمایش می‌دهند.

و روش نمایش انتگرال چندگانه به صورت زیر است:

$\iint \ldots \int _{\mathbf {D} }\;f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\;\mathbf {d} x_{1}\mathbf {d} x_{2}\!\ldots \mathbf {d} x_{n}$

انتگرال‌های چندگانه

انتگرال دوگانه: معرف حجم زیر تابع است که دو متغیر دارد. مثلاً:

$\iint f(x,y)\ dx\,dy$

انتگرال سه گانه: معرف پارالل زیر نمودار (می‌توان آن را نوعی ضرب حجم در زمان گرفت) است مثلاً\

$\iiint _{\mathrm {parallelepiped} }f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz$

تعریف ریاضی

در نظر بگیرید که برای n> 1 بازهٔ «نیمه باز» و n بُعدی T به صورت زیر تعریف شده است:

$T=\left[a_{1},b_{1}\right)\times \left[a_{2},b_{2}\right)\times \cdots \times \left[a_{n},b_{n}\right)\subseteq \mathbb {R} ^{n}.$

هر بازهٔ [a_j, b_j) را به.

تبدیل انتگرال چندگانه به انتگرال خطی

برای انواع مختلف تابع این روش متفاوت می‌باشد ولی راحترینش برای توابع مستطیلی (توابعی سه بعدی که x و y آنها به هم ارتباط نداشته باشد) است که به راحتی اول از این تابع یک انتگرال خطی برحسب یکی از متغیرها گرفته می‌شود و سپس از تابع دوم (که دارای یکی دیگر از متغیرهاست) برحسب متغیر دوم انتگرال خطی گرفته می‌شود.

اما برای توابعی که مستطیلی نیستند از نظریه‌های متفاوتی استفاده می‌شود منجمله: قضیه دیورژانس٬قضیه گرین و...

برخی کاربردهای عملی

به طور کلی، درست مانند یک متغیر، می‌توان از انتگرال چندگانه برای یافتن میانگین یک تابع روی یک مجموعه داده شده استفاده کرد. با توجه به یک مجموعه D ⊆ R'n و یک تابع انتگرال‌پذیر f روی D، مقدار میانگین f روی دامنه آن به صورت زیر داده می‌شود:

${\bar {f}}={\frac {1}{m(D)}}\int _{D}f(x)\,dx$،

که در آن m(D) معیار D است.

علاوه بر این، انتگرال‌های چندگانه در بسیاری از کاربردها در فیزیک استفاده می‌شوند. مثال‌های زیر نیز برخی از تغییرات در نمادگذاری را نشان می‌دهند.

در سینماتیک، مکان نسبت به زمان ($x(t)$) انتگرال دوگانه شتاب نسبت به زمان ($a(t)$) است.

در مکانیک، گشتاور اینرسی به صورت انتگرال حجمی (انتگرال سه‌گانه) چگالی محاسبه می‌شود که با مربع فاصله از محور سنجیده می‌شود:

$I_{z}=\iiint _{V}\rho r^{2}\,dV$.

پتانسیل گرانشی مرتبط با یک توزیع جرم که توسط یک جرم اندازه dm روی فضای اقلیدسی سه‌بعدی داده می‌شود، به صورت زیر است:

$V(\mathbf {x} )=-\iiint _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,dm(\mathbf {y} )$.

اگر یک تابع پیوسته ρ(x) وجود داشته باشد که چگالی توزیع را در x نشان دهد، به طوری که dm(x) = ρ(x)d³x، که در آن d³x عنصر حجم اقلیدسی است، آنگاه پتانسیل گرانشی برابر است با:$V(\mathbf {x} )=-\iiint _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,\rho (\mathbf {y} )\,d^{3}\mathbf {y}$.

در الکترومغناطیس، معادلات ماکسول را می‌توان با استفاده از انتگرال‌های چندگانه برای محاسبه کل میدان‌های مغناطیسی و الکتریکی نوشت. در مثال زیر، میدان الکتریکی تولید شده توسط توزیع بارها داده شده توسط حجم چگالی بار ρ( r→ ) توسط یک "انتگرال سه گانه" از یک تابع برداری بدست می آید:

${\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{\left\|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right\|^{3}}}\rho ({\vec {r}}')\,d^{3}r'$.

این را همچنین می‌توان به صورت یک انتگرال نسبت به یک معیار علامت‌دار که توزیع بار را نشان می‌دهد، نوشت.

جستارهای وابسته

• انتگرال
• حساب
• انتگرال خطی
• کاربرد انتگرال‌ها

منابع

• ویکی‌پدیای انگلیسی

پیوند به بیرون

• Mathematical Assistant on Web online evaluation of double integrals in Cartesian coordinates and polar coordinates (includes intermediate steps in the solution, powered by مکسیما)