برهان بزرگتر بودن ۲۲/۷ از عدد پی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

برهان معروفی که نشان می‌دهد عدد گویای ۲۲/۷ بزرگتر از عدد پی به دوران باستان بر می‌گردد. یکی از این برهان‌ها که از طریق حساب دیفرانسیل به دست می‌آید به تازگی به خاطر زیبایی ریاضی و ارتباطش با نظریه تقریب دیوفانته مورد توجه قرار گرفته‌است. استیون لوکاس این برهان را «یکی از زیباترین نتایج مرتبط با تقریب عدد پی» می‌نامد.[۱]

هدف اصلی این برهان اثبات اینکه ۲۲/۷ بزرگتر از عدد پی است، نیست. ۲۲/۷ (یا ۳۱۷) قطعا بزرگتر از π است.

پس‌زمینه[ویرایش]

۲۲/۷ در تقریب دیوفانته تقریبا برابر با عدد پی در نظر گرفته می‌شود. مقادیر این دو عدد به صورت زیر هستند.

در سده سوم پیش از میلاد ارشمیدس نگاشته‌بود که ۲۲/۷ یک تقریب بزرگتر از عدد پی است. اثبات وی بر مبانی اندازه‌گیری نسبت محیط دایره محیطی یک ۹۶ ضلعی منتظم استوار بود.

اثبات[ویرایش]

برهان به صورت زیر قابل خلاصه شدن است.

بنابرین, ۲۲/۷ > π.

محسابه این انتگرال اولین بار در مسابقه ریاضی ویلیام لاول پاتنام سال ۱۹۶۸ مطرح گردید.[۲]

پانویس[ویرایش]

  1. Lucas, Stephen (2005), "Integral proofs that 355/113 > [[عدد پی|π]]", Australian Mathematical Society Gazette 32 (4): 263–266, MR 2176249, Zbl 1181.11077  Wikilink embedded in URL title (help)
  2. Alexanderson, Gerald L.; Klosinski, Leonard F.; Larson, Loren C. (editors) (1985), The William Lowell Putnam Mathematical Competition: Problems and Solutions: 1965–1984, Washington, D.C.: The Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-463-5, Zbl 0584.00003