ماتریس ژاکوبی

ماتریس ژاکوبی، نامیده شده به اسم ریاضیدان آلمانی: کارل گوستاو ژاکوب ژاکوبی، ماتریسی است که در آن تمام مشتق‌های جزئی مرتبه اول یک تابع چند متغیره $f\colon {\mathbb {R} ^{n}}\to {\mathbb {R} ^{m}}$ موجود می‌باشد. این ماتریس تعمیم یافته‌ای از مشتق یک بعدی است.

تعریف

اگر $f\colon {\mathbb {R} ^{n}}\to {\mathbb {R} ^{m}}$ یک تابع مشتق‌پذیر چند متغیره باشد که مقادیر آن $[y_{1}(x_{1}\cdots x_{n}),\cdots ,y_{m}(x_{1}\cdots x_{n})]$ باشند، آنگاه مشتق آن در هر نقطه $(x_{1}\cdots x_{n})$، یک نگاشت خطی از فضای ${\mathbb {R} ^{n}}$ به ${\mathbb {R} ^{m}}$ می‌باشد، به طوری که ماتریس این نگاشت خطی به صورت زیر نوشته می‌شود.

$J_{F}(x_{1},\ldots ,x_{n}):={\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}:={\begin{bmatrix}{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}$

چند مثال

مثال ۱: تابع $F:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ را با این تعریف در نظر بگیرید:

$F(x,y)={\begin{bmatrix}x^{2}y\\5x+\sin(y)\end{bmatrix}}.$

که در آن

$F_{1}(x,y)=x^{2}y$

و

$F_{2}(x,y)=5x+\sin(y)$

ماتریس ژاکوبی F چنین است:

$J_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial F_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial F_{1}}{\partial y}}\\{\dfrac {\partial F_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial F_{2}}{\partial y}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2xy&x^{2}\\5&\cos(y)\end{bmatrix}}$

و دترمینان ژاکوبی:

$\det(J_{F}(x,y))=2xy\cos(y)-5x^{2}.$

مثال ۲: ماتریس ژاکوبی تابع F : R³ → R⁴ شامل:

$y_{1}=x_{1}\,$

$y_{2}=5x_{3}\,$

$y_{3}=4x_{2}^{2}-2x_{3}\,$

$y_{4}=x_{3}\sin(x_{1})\,$

چنین است:

$J_{F}(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos(x_{1})&0&\sin(x_{1})\end{bmatrix}}.$

این مثال همچنین نشان می‌دهد که ماتریس ژاکوبی لزوماً نباید مربعی باشد.

کاربردها

از مهم‌ترین استفاده‌های این ماتریس، دترمینان آن است (مسلماً در صورتی که ماتریس، مربعی باشد) که در محاسبه انتگرال‌های چند بعدی، مورد استفاده قرار می‌گیرد. به این روش، روش تغییر متغیر در محاسبه انتگرال‌ها گفته می‌شود.

منابع بیشتر:فصل های۱۴_۱۶ ریاضیات توماس