ماتریس ژاکوبی ، نامیده شده به اسم ریاضیدان آلمانی : کارل گوستاو ژاکوب ژاکوبی ، ماتریسی است که در آن تمام مشتق‌های جزئی مرتبه اول یک تابع چند متغیره
f
:
R
n
→
R
m
{\displaystyle f\colon {\mathbb {R} ^{n}}\to {\mathbb {R} ^{m}}}
مشتق یک بعدی است.
اگر
f
:
R
n
→
R
m
{\displaystyle f\colon {\mathbb {R} ^{n}}\to {\mathbb {R} ^{m}}}
[
y
1
(
x
1
⋯
x
n
)
,
⋯
,
y
m
(
x
1
⋯
x
n
)
]
{\displaystyle [y_{1}(x_{1}\cdots x_{n}),\cdots ,y_{m}(x_{1}\cdots x_{n})]}
(
x
1
⋯
x
n
)
{\displaystyle (x_{1}\cdots x_{n})}
نگاشت خطی از فضای
R
n
{\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}}
R
m
{\displaystyle {\mathbb {R} ^{m}}}
J
F
(
x
1
,
…
,
x
n
)
:=
∂
(
y
1
,
…
,
y
m
)
∂
(
x
1
,
…
,
x
n
)
:=
[
∂
y
1
∂
x
1
⋯
∂
y
1
∂
x
n
⋮
⋱
⋮
∂
y
m
∂
x
1
⋯
∂
y
m
∂
x
n
]
{\displaystyle J_{F}(x_{1},\ldots ,x_{n}):={\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}:={\begin{bmatrix}{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}}
مثال ۱ : تابع
F
:
R
2
→
R
2
{\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}
F
(
x
,
y
)
=
[
x
2
y
5
x
+
sin
(
y
)
]
.
{\displaystyle F(x,y)={\begin{bmatrix}x^{2}y\\5x+\sin(y)\end{bmatrix}}.}
که در آن
F
1
(
x
,
y
)
=
x
2
y
{\displaystyle F_{1}(x,y)=x^{2}y}
و
F
2
(
x
,
y
)
=
5
x
+
sin
(
y
)
{\displaystyle F_{2}(x,y)=5x+\sin(y)}
ماتریس ژاکوبی F چنین است:
J
F
(
x
,
y
)
=
[
∂
F
1
∂
x
∂
F
1
∂
y
∂
F
2
∂
x
∂
F
2
∂
y
]
=
[
2
x
y
x
2
5
cos
(
y
)
]
{\displaystyle J_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial F_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial F_{1}}{\partial y}}\\{\dfrac {\partial F_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial F_{2}}{\partial y}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2xy&x^{2}\\5&\cos(y)\end{bmatrix}}}
و دترمینان ژاکوبی:
det
(
J
F
(
x
,
y
)
)
=
2
x
y
cos
(
y
)
−
5
x
2
.
{\displaystyle \det(J_{F}(x,y))=2xy\cos(y)-5x^{2}.}
مثال ۲ : ماتریس ژاکوبی تابع F : R 3 → R 4 شامل:
y
1
=
x
1
{\displaystyle y_{1}=x_{1}\,}
y
2
=
5
x
3
{\displaystyle y_{2}=5x_{3}\,}
y
3
=
4
x
2
2
−
2
x
3
{\displaystyle y_{3}=4x_{2}^{2}-2x_{3}\,}
y
4
=
x
3
sin
(
x
1
)
{\displaystyle y_{4}=x_{3}\sin(x_{1})\,}
چنین است:
J
F
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
=
[
∂
y
1
∂
x
1
∂
y
1
∂
x
2
∂
y
1
∂
x
3
∂
y
2
∂
x
1
∂
y
2
∂
x
2
∂
y
2
∂
x
3
∂
y
3
∂
x
1
∂
y
3
∂
x
2
∂
y
3
∂
x
3
∂
y
4
∂
x
1
∂
y
4
∂
x
2
∂
y
4
∂
x
3
]
=
[
1
0
0
0
0
5
0
8
x
2
−
2
x
3
cos
(
x
1
)
0
sin
(
x
1
)
]
.
{\displaystyle J_{F}(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos(x_{1})&0&\sin(x_{1})\end{bmatrix}}.}
این مثال همچنین نشان می‌دهد که ماتریس ژاکوبی لزوماً نباید مربعی باشد.
از مهم‌ترین استفاده‌های این ماتریس، دترمینان آن است (مسلماً در صورتی که ماتریس، مربعی باشد) که در محاسبه انتگرال‌های چند بعدی، مورد استفاده قرار می‌گیرد. به این روش، روش تغییر متغیر در محاسبه انتگرال‌ها گفته می‌شود.
![{\displaystyle [y_{1}(x_{1}\cdots x_{n}),\cdots ,y_{m}(x_{1}\cdots x_{n})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39f59ffa2c0c41ad65f8f9788a343a10ad628065)
![{\displaystyle J_{F}(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos(x_{1})&0&\sin(x_{1})\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4fb9df7b93f356c10f7bca7929ce55d963742a7)
