ماتریس ژاکوبی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
حساب دیفرانسیل و انتگرال
قضیه اساسی حسابان
حد
تابع پیوسته
قضیه مقدار میانگین
حساب ماتریس‌ها
مشتق پاره‌ای
انتگرال چندگانه
انتگرال خطی
انتگرال سطحی
انتگرال حجمی
ماتریس ژاکوبی

ماتریس ژاکوبی، نامیده شده به اسم ریاضیدان آلمانی: کارل گوستاو ژاکوب ژاکوبی، ماتریسی است که در آن تمام مشتق‌های جزئی مرتبه اول یک تابع چند بعدی موجود می‌باشد. این ماتریس تعمیم یافته‌ای از مشتق یک بعدی است.

تعریف[ویرایش]

اگر یک تابع مشتق‌پذیر چند بعدی باشد که مقادیر آن باشند، آنگاه مشتق آن در هر نقطه ، یک نگاشت خطی از فضای به می‌باشد، به طوری که ماتریس این نگاشت خطی به صورت زیر نوشته می‌شود.


چند مثال[ویرایش]

مثال ۱: تابع را با این تعریف در نظر بگیرید:

که در آن

و

ماتریس ژاکوبی F چنین است:

و دترمینان ژاکوبی:

مثال ۲: ماتریس ژاکوبی تابع F : R3R4 شامل:

چنین است:

این مثال همچنین نشان می‌دهد که ماتریس ژاکوبی لزوماً نباید مربعی باشد.

کاربردها[ویرایش]

از مهم‌ترین استفاده‌های این ماتریس، دترمینان آن است (در صورتی که مسلماً مربعی باشد) که در محاسبه انتگرال‌های چند بعدی، مورد استفاده قرار می‌گیرد. به این روش، روش تغییر متغیر در محاسبه انتگرال‌ها گفته می‌شود.