تاو (ریاضی)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
حساب دیفرانسیل و انتگرال
قضیه اساسی حسابان
حد
تابع پیوسته
قضیه مقدار میانگین
گرادیان
دیورژانس
کرل
عملگر لاپلاس
قضیه گرادیان
قضیه گرین
قضیه استوکس
قضیه دیورژانس

کرل (به انگلیسی: Curl) یا تاو عبارت است از ضرب برداری عملگر \nabla در یک بردار.

تعریف[ویرایش]

کرل میدان برداری A که با curl A نمایش داده می شود، برداری است که اندازه آن حداکثر گردش خالص A در واحد سطح است وقتی که سطح به سوی صفر میل می‌کند و جهت آن جهت عمود سطح است زمانی که سطح طوری جهت داده شده باشدکه گردش خالص را حداکثر نماید.

یک میدان برداری بدون کرل، میدان غیر گردشی یا میدان ذخیره شونده نامیده می شود.

اگر بردار v به صورت v(x,y,z) = vx i + vy j + vz k تعریف شده باشد، کرل v عبارت است از:

\mbox{curl}\;\vec v = \left( {\partial v_z \over \partial y} - {\partial v_y \over \partial z} \right) \mathbf{i} + \left( {\partial v_x \over \partial z} - {\partial v_z \over \partial x} \right) \mathbf{j} + \left( {\partial v_y \over \partial x} - {\partial v_x \over \partial y} \right) \mathbf{k} = \nabla \times \vec v

که معادل است با دترمینان ماتریسی که

\nabla \times \vec v = \left|\begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \\ {\frac{\partial}{\partial x}} & {\frac{\partial}{\partial y}} & {\frac{\partial}{\partial z}} \\ \\ v_x & v_y & v_z \end{matrix}\right|.

نمایش تانسوری آن به صورت زیر است:


\mbox{curl}(v)_i = \epsilon_{ijk}\partial_j v_k

در اینجا مطابق سنت اینشتین اندیس تکرار شونده نشانهٔ جمع بر اندیس است و \partial_i عملگر مشتق (دل) است.

تعبیر هندسی[ویرایش]

نام “کرل” یا “تاو” یا “چرخش” به خوبی انتخاب شده است، زیرا کرل یک میدان برداری در یک نقطه معیاری از این است که آن میدان برداری چه مقدار چرخش حول آن نقطه دارد. برای درک مفهوم “تاو” فرض کنید که در کنار یک استخر ایستاده اید و پره ای کوچک (مثلا یک چوب پنبه به همراه چند خلال دندان که در آن فرو رفته اند میتواند نقش پره را بازی کند) در استخر انداخته اید. اگر پره در نقطه ای قرار بگیرد که مقدار تاو در آن غیر صفر است شروع به چرخش می کند. در این مثال سرعت آب میدان برداری مورد نظر است که پره مقدار کرل این میدان برداری را در هر نقطه اندازه می گیرد [۱].

برخی خواص[ویرایش]

\nabla \times (f \vec v) = (\nabla f) \times \vec v + f \nabla \times \vec v
\nabla \times (\vec u \times \vec v) = \vec u \, \nabla \cdot \vec v -  \vec v \, \nabla \cdot \vec u +  (\vec v \cdot \nabla) \vec u - (\vec u \cdot \nabla) \vec v

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  • الکترومغناطیس میدان و موج (دیوید.ک.چنگ؛ ترجمه دکتر جبه دار مارالانی و دکتر قوامی)
  1. فیلم آموزشی معرفی کرل، .