مشتق دوم

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
مشتق دوم یک تابع درجه دوم یک تابع ثابت است.

مشتق دوم یا مشتق مرتبه دو، مشتقِ مشتق تابع f می‌باشد. به‌طور کلی، مشتق دوم دربارهٔ چگونگی نرخ تغییرات یک کمیت است. برای مثال، مشتق دوم معادله مکان یک وسیله نقلیه، شتاب لحظه‌ای آن را نتیجه می‌دهد.

در نمودار یک تابع، مشتق دوم انحنا یا تقعر یک تابع را مشخص می‌کند. اگر مشتق دوم یک تابع در بازه‌ای مثبت باشد تقعر منحنی رو به بالا، اگر مشتق دوم منفی باشد تقعر رو به پایین و اگر مشتق دوم صفر باشد تابع در آن بازه تقعری ندارد. (مشتق با علامت "روند" نمایش داده می شود در صورتی که اینجا با d نمایش داده شده که علامت انتگرال گیری می باشد اساتید و دوستان محترم اگر ایراد دارد لطفا اصلاح بفرمایید)

ضابطه مشتق دوم[ویرایش]

نشانه گذاری[ویرایش]

مشتق دوم تابع را با نماد نشان می‌دهند.

هنگامی که با استفاده از نماد لایبنیتس برای مشتقات، مشتق دوم یک Y متغیر وابسته، با توجه به متغیر x مستقل نوشته می‌شود:

این نماد از فرمول زیر بدست آمده است:

مثال[ویرایش]

با توجه به تابع


مشتق تابع f می‌شود:


و مشتق تابع f' می‌شود:


در واقع برای بدست آمدن مشتق دوم باید از مشتق اول، یا (از تابع اصلی دوبار) مشتق گرفت.

ارتباط با نمودار[ویرایش]

تابع از دامنه تا خط مماس آبی در نقاطی که تقعر منحنی رو به بالا، خط مماس سبز در نقاطی که تقعر منحنی رو به پایین و خط مماس قرمز در نقاط عطف (0, /۲، و ) می‌باشد.

تقعر[ویرایش]

اگر مشتق دوم تابع f مثبت باشد تقعر منحنی رو به بالا می‌باشد (خط مماس بر منحنی زیر نمودار تابع محدب قرار می‌گیرد) و اگر مشتق دوم تابع f منفی باشد تقعر منحنی رو به پایین می‌باشد (خط مماس بر منحنی در بالای نمودار تابع کاو قرار می‌گیرد)

نقاط عطف[ویرایش]

نقطهٔ عطف، نقطه‌ای بر روی یک خم است که انحنای آن خم در آن نقطه تغییر جهت می‌دهد. در واقع در نقطهٔ عطف جهت تقعر عوض می‌شود. به عبارت دیگر علامت مشتق دوم یک تابع، قبل و بعد از نقطهٔ عطفش بر روی تابع تغییر می‌کند. (مثبت به منفی یا بالعکس)

آزمون مشتق دوم[ویرایش]

برای پیدا کردن نقاط اکسترمم نسبی تابع می‌توان از آزمون مشتق دوم استفاده کرد:

  • اگر باشد آنگاه در آن نقطه ماکسیمم نسبی است.
  • اگر باشد آنگاه در آن نقطه مینیمم نسبی است.
  • اگر باشد آنگاه آزمون مشتق دوم پاسخی ندارد و باید به سراغ آزمون مشتق اول رفت.

حد[ویرایش]

این حد مشتق متقارن دوم است. توجه داشته باشید که مشتق متقارن دوم ممکن است وجود داشته حتی زمانی که (طبق معمول) مشتق دوم وجود نداشته باشد. در سمت راست به عنوان خارج قسمت تفاوت نوشته شده‌است:

این حد را می‌توان به عنوان یک نسخه مداوم از تفاضل محدود برای دنباله در نظر گرفت. باید توجه داشت که وجود حد بالا به این معنا نیست که تابع دارای مشتق دوم می‌باشد. حد بالا فقط یک احتمال برای محاسبه مشتق دوم می‌دهد اما یک تعریف ارائه نمی‌دهد. مثال نقض آن تابع علامت است که از طریق تعریف

تابع علامت صفر است و در نتیجه مشتق دوم برای وجود ندارد. اما حد بالا وجود دارد.

تخمین درجه دوم[ویرایش]

به عنوان مشتق اول به تقریب خطی، مشتق دوم است که به بهترین تقریب درجه دوم برای یک تابع f مرتبط است. این فرمول برای بهترین تقریب درجه دوم به یک تابع f در اطراف نقطه x = A است:

این تقریب درجه دوم مرتبه دوم چند جمله‌ای تیلور برای تابع محور در x = a است.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

در پروژه‌های خواهر می‌توانید در مورد مشتق دوم اطلاعات بیشتری بیابید.


Search Wiktionary در میان واژه‌ها از ویکی‌واژه
Search Wikibooks در میان کتاب‌ها از ویکی‌کتاب
Search Wikiquote در میان گفتاوردها از ویکی‌گفتاورد
Search Wikisource در میان متون از ویکی‌نبشته
Search Commons در میان تصویرها و رسانه‌ها از ویکی‌انبار
Search Wikinews در میان خبرها از ویکی‌خبر

پیوند به بیرون[ویرایش]

  • حساب‌گر توابع WIMS محاسبهٔ برخط مشتق توابع؛ این نرم‌افزار، شامل تمرین‌های تعاملی نیز هست.