نمادگذاری‌های مشتق

در حساب دیفرانسیل تنها یک نوع نمادگذاری واحد برای مشتق وجود ندارد و نمادگذاری‌های مختلفی توسط ریاضی‌دان‌ها استفاده شده‌است. در هر زمینه‌ای خاص٬ برخی نمادها مفیدترند.

نمادگذاری لایب‌نیتز

dy

dx

d²y

dx²

معمول‌ترین نمادگذاری استفاده‌شده مربوط به لایب‌نیتز است.در این نمادگذاری مشتق $y$$y$ نسبت به$x$$x$ می‌شود: ${\frac {dy}{dx}}$${\frac {dy}{dx}}$

و مشتق‌های مرتبه‌های بالاتر چنین نمایش داده می‌شوند:

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx^{n}}},{\text{ or }}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}{\bigl (}f(x){\bigr )}$${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx^{n}}},{\text{ or }}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}{\bigl (}f(x){\bigr )}$

نمادگذاری لاگرانژ

یکی دیگر از نمادگذاری های پرکاربرد ٬توسط ژوزف لویی لاگرانژ ابداع شده‌است.سه مرتبه‌ی اول مشتق چنین اند: $f'\;$$f'\;$ ٬$f''\;$$f''\;$ ٬ $f'''\;$$f'''\;$

و مشتق مرتبه $n$$n$ نیز به صورت f ⁽ⁿ⁾ نشان داده می‌شود.

نمادگذاری اویلر

در نمادگذاری اویلر مشتق به شکل یک عملگر دیفرانسیلی به شکل $D$$D$ که قبل از تابع می‌آید نمایش می‌یابد:

مشتق اول: $Df\;$$Df\;$

مشتق دوم: $D^{2}f\;$$D^{2}f\;$

مشتق nام: $D^{n}f\;$$D^{n}f\;$

معمولاً متغیری که نسبت به آن مشتق گرفته‌می‌شود را هم این‌طور نشان می‌دهند: $D_{x}^{n}y\;$$D_{x}^{n}y\;$

نمادگذاری نیوتون

ẋ ẍ

در نمادگذاری نیوتن ٬ مشتق با قرار دادن نقطه بالای تابع مورد نظر نمایش می‌یابد.این نوع نمایش مشتق٬ بیشتر برای مشتق زمانی و حداکثر تا مرتبه‌ی دوم کاربرد دارد:

${\dot {y}}={\frac {dy}{dt}}$${\dot {y}}={\frac {dy}{dt}}$ و ${\ddot {y}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}$${\ddot {y}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}$

نمادگذاری در حساب برداری

در حساب برداری ٬ابتدا یک عملگر دیفرانسیلی با نام عملگر دل تعریف می‌کنیم:

$\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$$\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$

حال گرادیان در دستگاه دکارتی چنین تعریف می‌شود:

$\mathrm {grad\,} \,\varphi =\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)$$\mathrm {grad\,} \,\varphi =\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)$ ,

$=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\varphi$$=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\varphi$ ,

$=\nabla \varphi$$=\nabla \varphi$ .

دیورژانس روی یک میدان برداری عمل می‌کند و به این شکل‌ها نمایش داده‌می‌شود:

$\mathrm {div\,} \mathbf {A} ={\partial A_{x} \over \partial x}+{\partial A_{y} \over \partial y}+{\partial A_{z} \over \partial z}$$\mathrm {div\,} \mathbf {A} ={\partial A_{x} \over \partial x}+{\partial A_{y} \over \partial y}+{\partial A_{z} \over \partial z}$ ,

$=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot \mathbf {A}$$=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot \mathbf {A}$,

$=\nabla \cdot \mathbf {A}$$=\nabla \cdot \mathbf {A}$ .

عملگر لاپلاسین : $\Delta =\nabla ^{2}$$\Delta =\nabla ^{2}$ عملگر لاپلاسین خوانده می‌شود:

$\mathrm {div} \,\mathrm {grad} \,\varphi \,=\nabla \cdot (\nabla \varphi )$$\mathrm {div} \,\mathrm {grad} \,\varphi \,=\nabla \cdot (\nabla \varphi )$

$=(\nabla \cdot \nabla )\varphi =\nabla ^{2}\varphi =\Delta \varphi$$=(\nabla \cdot \nabla )\varphi =\nabla ^{2}\varphi =\Delta \varphi$ ,

و عملگر کرل یا تاو٬ $\mathrm {curl} \,\mathbf {A} \,$$\mathrm {curl} \,\mathbf {A} \,$ یا $\mathrm {rot} \,\mathbf {A} \,$$\mathrm {rot} \,\mathbf {A} \,$ که روی میدان برداری A عمل می‌کند به این صورت‌ها قابل نمایش است:

$\mathrm {curl} \,\mathbf {A} =\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}},{\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}},{\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)$$\mathrm {curl} \,\mathbf {A} =\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}},{\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}},{\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)$

دیگر نمادگذاری‌ها

برخی روش‌های دیگر برای نمایش مشتق ٬ در حساب چندمتغیره یا آنالیز تانسوری استفاده می‌شود.برای مثال:

$f_{x}={\frac {df}{dx}}$$f_{x}={\frac {df}{dx}}$

$f_{xx}={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}.$$f_{xx}={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}.$

و

${\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f=\partial ^{x}f,$${\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f=\partial ^{x}f,$

البته دو نماد آخر تنها در فضای اقلیدسی یکسانند و روی خمینه ها یکی نیستند.

پیوند به بیرون

• Earliest Uses of Symbols of Calculus, maintained by Jeff Miller.

منابع

• Mathematical Analysis I & II,V.A Zorich