تابع‌های مثلثاتی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

تابع مثلثاتی، در ریاضیات، به شش تابع سینوس، کسینوس، تانژانت، کتانژانت، سکانت و کسکانت گفته می‌شود. این توابع، رابطه میان زاویه‌ها و ضلع‌های یک مثلث قائم‌الزاویه را نشان می‌دهند و به همین دلیل، توابع مثلثاتی نامیده می‌شوند.

توابع مثلثاتی بر روی یک زاویه عمل می‌کنند و یک عدد حقیقی را برمی‌گردانند. کاربرد اصلی این تابع‌ها محاسبهٔ اندازهٔ ضلع‌ها و زاویه‌های یک مثلث و سایر عوامل مرتبط با آن‌ها می‌باشد. این کاربرد، در دانش‌های مختلفی مانند نقشه‌برداری، ناوبری و زمینه‌های گوناگون فیزیک مورد استفاده قرار می‌گیرد. هم‌چنین به علت خاصیت تناوبی بودن، این تابع‌ها در مدل‌سازی فرایندهای نوسانی مانند نور و موج به کار می‌روند.

برای تعریف تابع‌های مثلثاتی می‌توان از دایره واحد نیز سود برد. دایره واحد، دایره‌ای با شعاع ۱ است که شعاعی با زاویه مشخص نسبت به محور xها روی آن رسم می‌شود و یک مثلث را تشکیل می‌دهد. هر یک از تابع‌های مثلثاتی را می‌توان با پاره‌خطی در این دایره نشان داد.

تعریف بر پایه مثلث قائم‌الزاویه[ویرایش]

شکل روبرو، یک مثلث قائم‌الزاویه را نشان می‌دهد که از سه ضلع a و b و c و زاویه‌های A و B و C تشکیل شده‌است. زاویه C برابر ۹۰ درجه است و دو زاویه دیگر، زاویه تند متمم هستند. (به عبارت دیگر، مجموع دو زاویه برابر ۹۰ درجه است.) ضلع روبرو به زاویه C را وتر می‌نامند (که در شکل روبرو با نماد c نشان داده شده‌است). دو ضلع دیگر که زاویه قائمه را تشکیل می‌دهند نیز شامل ضلع مجاور زاویه A (و مقابل زاویه B که با حرف b نشان داده می‌شود) و ضلع مقابل زاویه A (و مجاور زاویه B که با حرف a نشان داده می‌شود) هستند. به این ترتیب، تابع‌های اصلی مثلثاتی برای زاویه A به صورت زیر تعریف می‌شوند:[۱][۲]

اجزای مثلث قائم‌الزاویه
  • سینوس زاویه A برابر است با نسبت ضلع مقابل آن به وتر. به بیان ریاضی:
\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{\,c\,}.
  • کسینوس زاویه A برابر است با نسبت ضلع مجاور آن به وتر. به بیان ریاضی:
\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{\,c\,}.
  • تانژانت زاویه A نیز به صورت نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور این زاویه محاسبه می‌شود:
\tan A=\frac{a}{\,b\,}=\frac{a}{\,c\,}*\frac{c}{\,b\,}=\frac{a}{\,c\,} / \frac{b}{\,c\,}=\frac{\sin A}{\cos A}.

بر پایه قضیه تشابه هندسی، اگر دو مثلث دارای زاویه‌های برابر باشند، نسبت ضلع‌هایشان با یکدیگر برابر است. در نتیجه، تابع‌های مثلثاتی که نسبت میان ضلع‌های مثلث را نشان می‌دهند، وابسته به اندازه ضلع‌ها نیستند و مقدار آن‌ها با تغییر اندازه ضلع‌ها تغییر نمی‌کند.

می‌توان برای زاویه B نیز تابع‌های مثلثاتی را به همین ترتیب محاسبه نمود. ضلع مجاور زاویه B (ضلع a) همان ضلع مقابل زاویه A است و ضلع مقابل زاویه B (ضلع b) نیز ضلع مجاور زاویه A می‌باشد. بنابراین می‌توان چنین گفت که سینوس زاویه B برابر با کسینوس زاویه A است و برعکس. رابطه سینوس و کسینوس دو زاویه متمم به زبان ریاضی، به صورت زیر است:

\sin A=\cos B=\cos \left(\frac{\pi}{2} - A \right)،
\cos A=\sin B=\sin \left(\frac{\pi}{2} - A \right).

با افزایش مقدار زاویه A از صفر تا ۹۰ درجه، به تدریج اندازه ضلع مجاور آن کاهش و اندازه ضلع مقابل، افزایش می یابد. هنگامی که این مقدار به ۹۰ درجه نزدیک شود، مقدار ضلع مجاور به صفر نزدیک می‌شود. در نتیجه کسینوس زاویه A (نسبت ضلع مجاور به وتر) به صفر میل می‌کند. از سوی دیگر، مقدار ضلع مقابل به وتر نزدیک می‌شود. (البته بر پایه قضیه فیثاغورس، وتر همواره از دو ضلع دیگر بزرگ‌تر است.) در نتیجه، سینوس زاویه A (نسبت ضلع مقابل به وتر) به ۱ میل می‌کند. به طور کلی، مقدار سینوس و کسینوس یک زاویه در مثلث قائم‌الزاویه، عددی در بازه صفر و یک است. تغییرات تانژانت زاویه A را نیز به همین ترتیب می‌توان دنبال کرد. در نزدیکی ۹۰ درجه، تانژانت A (که نسبت سینوس به کسینوس زاویه A است) به سمت بی‌نهایت میل می‌کند و با نزدیک شدن به صفر، مقدار آن به صفر نزدیک می‌شود. بنابراین مقدار تانژانت یک زاویه، عددی مثبت (از صفر تا بی‌نهایت) خواهد بود.

سه تابع دیگر مثلثاتی را می‌توان به عنوان عکس سه تابع بالا تعریف نمود:

سکانت (معکوس کسینوس):
\sec A=\frac{1}{\cos A}=\frac{c}{b}
کسکانت (معکوس سینوس):
\csc A=\frac{1}{\sin A}=\frac{c}{a}
کتانژانت (معکوس تانژانت):
\cot A=\frac{1}{\tan A}=\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{b}{a}

رابطه میان دو زاویه متمم، مانند آنچه که بالاتر در مورد سینوس و کسینوس گفته شد، در مورد سایر تابع‌های مثلثاتی نیز برقرار است.

\tan A=\cot B=\cot \left(\frac{\pi}{2} - A \right)،
\cot A=\tan B=\tan \left(\frac{\pi}{2} - A \right)،
\sec A=\csc B=\csc \left(\frac{\pi}{2} - A \right)،
\csc A=\sec B=\sec \left(\frac{\pi}{2} - A \right).

به طور خلاصه، رابطه میان تابع‌های مثلثاتی و ضلع‌های مثلث قائم‌الزاویه را می‌توان در جدول زیر نشان داد:

نام تعریف رابطه
سینوس سینوس یک زاویه برابر است با نسبت ضلع مقابل آن زاویه به وتر sinθ = ضلع مقابل/وتر
کسینوس کسینوس یک زاویه برابر است با نسبت ضلع مجاور آن زاویه به وتر cosθ = ضلع مجاور/وتر
تانژانت تانژانت یک زاویه برابر است با نسبت ضلع مقابل آن زاویه به ضلع مجاور tanθ = ضلع مقابل/ضلع مجاور
کتانژانت کتانژانت یک زاویه برابر است با نسبت ضلع مجاور آن زاویه به ضلع مقابل (عکس تانزانت) cotθ = ضلع مجاور/ضلع مقابل
سکانت سکانت یک زاویه برابر است با نسبت وتر به ضلع مجاور آن زاویه (عکس کسینوس) secθ = وتر/ضلع مجاور
کسکانت کسکانت یک زاویه برابر است با نسبت وتر به ضلع مقابل آن زاویه (عکس سینوس) cscθ = وتر/ضلع مقابل

مقدار تابع‌های مثلثاتی برای زاویه‌های خاص[ویرایش]

برای بعضی زاویه‌ها می‌توان به سادگی مقدار تابع‌های مثلثاتی را به دست آورد.[۳]

زاویه‌های ۰ و ۹۰ درجه[ویرایش]

همان گونه که بالاتر گفته شد، در زاویه صفر، سینوس برابر صفر و کسینوس برابر ۱ است. عکس آن در زاویه ۹۰ درجه، کسینوس صفر و سینوس ۱ می‌باشد. بنابراین:

\sin 0^\circ=\cos 90^\circ=0،
\sin 90^\circ=\cos 0^\circ=1.

بر پایه این مقدارها، سایر تابع‌های مثلثاتی این دو زاویه نیز به دست می‌آیند.

زاویه ۴۵ درجه[ویرایش]

مثلث قائم‌الزاویه‌ای که یک زاویه ۴۵ درجه داشته باشد، زاویه تند دیگر آن نیز ۴۵ درجه است و مثلث قائم‌الزاویه متساوی‌الساقین نامیده می‌شود. در این مثلث، بر پایه قضیه فیثاغورس اندازه وتر، ۲√ برابر اندازه هر یک از دو ساق است. بنابراین:

\sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}،
\tan 45^\circ=\cot 45^\circ=1.

زاویه‌های ۳۰ و ۶۰ درجه[ویرایش]

بر پایه یک قضیه هندسی می‌توان ثابت کرد که ضلع روبرو به زاویه ۳۰ درجه، نصف وتر است. بنابراین:

\sin 30^\circ=\cos 60^\circ=\frac{1}{2}.

به همین ترتیب، اندازه ضلع دیگر نیز با استفاده از قضیه فیثاغورس برابر ۳/۲√ به دست می‌آید. در نتیجه:

\sin 60^\circ=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}.

سایر تابع‌های مثلثاتی این زاویه‌ها نیز با استفاده از رابطه‌های داده‌شده، محاسبه می‌شوند.

یکای اندازه‌گیری[ویرایش]

چند یکای بی‌بعد برای اندازه‌گیری زاویه وجود دارد.

  • درجه: یکایی است که از گذشته دور مورد استفاده قرار گرفته‌است. مقدار این یکا با تقسیم‌بندی یک دایره به ۳۶۰ قسمت مساوی به دست می‌آید. به بیان دیگر، یک درجه برابر با زاویه روبرو به کمانی است که اندازه آن، ۱/۳۶۰ محیط دایره باشد.
  • رادیان: یکای مورد استفاده در محاسبات مربوط به مثلثات است. یک رادیان برابر با زاویه روبرو به کمانی است که طول آن برابر با طول شعاع دایره متناظر باشد. طبق این تعریف، یک دایره کامل برابر ۲π رادیان (۶٫۲۸۳۲ رادیان) است.

یکاهای دیگری نیز برای تعریف زاویه وجود دارند. برای نمونه، می‌توان از گراد نام برد. یک دایره کامل ۴۰۰ گراد است.

در همه محاسبات مثلثاتی از یکای رادیان استفاده می‌شود. یکای پیش‌فرض در محاسبات رایانه‌ای نیز، رادیان است.

مشتق تابع‌های مثلثاتی[ویرایش]

مشتق دو تابع مثلثاتی اصلی (سینوس و کسینوس) با استفاده از تعریف مشتق، به دست می‌آید. برای مشتق‌گیری سایر تابع‌های مثلثاتی می‌توان از قاعده مشتق‌گیری تابع کسری بهره برد. مشتق تابع‌های مثلثاتی در جدول زیر داده شده‌است:

تابع مشتق اول[۴] مشتق دوم
\sin(x) \cos(x) -\sin(x)
\cos(x) -\sin(x) -\cos(x)
\tan(x) \sec^2(x) 2\sec^2(x).\tan(x)
\cot(x) -\csc^2(x) 2\csc^2(x).\cot(x)
\sec(x) \sec(x).\tan(x) \sec(x)(\sec^2(x)+\tan^2(x))
\csc(x) -\csc(x).\cot(x) \csc(x)(\csc^2(x)+\cot^2(x))

تابع اولیه تابع‌های مثلثاتی[ویرایش]

تابع اولیه گرفتن از سینوس و کسینوس بسیار ساده و عکس مشتق آن‌ها می‌باشد. برای سایر تابع‌ها از روش‌های انتگرال‌گیری پیچیده‌تر مانند تغییر متغیر، استفاده می‌شود. جدول زیر، تابع اولیه تابع‌های مثلثاتی را نشان می‌دهد.

تابع تابع اولیه
\sin(x) -\cos(x)
\cos(x) \sin(x)
\tan(x) -\ln |\cos(x)|
\cot(x) \ln |\sin(x)|
\sec(x) \ln |\sec(x)+\tan(x)|
\csc(x) -\ln |\csc(x)+\cot(x)|

تعریف بر پایه دایره واحد[ویرایش]

نمایش تابع‌های مثلثاتی زاویه θ روی دایره واحد مثلثاتی
تابع‌های مثلثاتی در مختصات دکارتی: سینوس، کسینوس، تانژانت، کسکانت (خط‌چین)، سکانت (خط‌چین) و کتانژانت (خط‌چین)
نوشتار اصلی: دایره واحد

شکل روبرو، یک دایره واحد را نشان می‌دهد که تابع‌های مثلثاتی زاویه θ روی آن رسم شده‌اند. هنگامی که شعاع OA با زاویه θ نسبت به محور افقی روی دایره زده شود، می‌توان مقدار تابع‌های مثلثاتی را به صورت اندازه پاره‌خط‌هایی مشخص به دست آورد. مقدار تابع‌های سینوس و کسینوس با پاره‌خط‌هایی (به ترتیب به رنگ قرمز و آبی) روی دو محور اصلی مختصات رسم شده‌اند. به بیان دیگر، تصویر پاره‌خط OA روی محور افقی برابر با کسینوس A و تصویر آن روی محور عمودی برابر با سینوس A است. اندازه پاره‌خطی (به رنگ قهوه‌ای کمرنگ) که مماس بر دایره از نقطه A تا محور افقی امتداد دارد، تانژانت A می‌باشد. امتداد همین پاره‌خط از نقطه A تا محور عمودی (به زنگ نارنجی) نیز کتانژانت A را نشان می‌دهد. به همین ترتیب، می‌توان مقدار سکانت و کسکانت زاویه A را نیز محاسبه کرد.[۵]

در دایره واحد، امکان محاسبه تابع‌های مثلثاتی برای زاویه‌های بزرگتر از ۹۰ درجه نیز وجود دارد. مقدار تابع‌های مثلثاتی برای هر زاویه‌ای، به شکلی مشابه بالا تعیین می‌شود. علامت یک تابع بر پایه مقدار زاویه در دایره واحد بر پایه جدول زیر به دست می‌آید:

تابع ربع اول ربع دوم ربع سوم ربع چهارم
سینوس
کسکانت
+ +
کسینوس
سکانت
+ +
تانژانت
کتانژانت
+ +

دوران[ویرایش]

تابع‌های مثلثاتی برای زاویه‌های بزرگتر از ۹۰ درجه را می‌توان با استفاده از روابط دوران پیرامون مرکز دایره به دست آورد. هم‌چنین زاویه‌های کوچکتر از صفر با دوران پیرامون محور افقی قابل محاسبه هستند. جدول زیر، نشان دهنده این تابع‌ها می‌باشد:

دوران حول محور افقی دوران با زاویه π/۲ دوران با زاویه π دوران با زاویه ۲π
\sin(-A)= -\sin A \sin(A + \tfrac{\pi}{2})= +\cos A \sin(A + \pi) = -\sin A \sin(A + 2\pi) = +\sin A
\cos(-A)= +\cos A \cos(A + \tfrac{\pi}{2})= -\sin A \cos(A + \pi) = -\cos A \cos(A + 2\pi) = +\cos A
\tan(-A)= -\tan A \tan(A + \tfrac{\pi}{2})= -\cot A \tan(A + \pi) = +\tan A \tan(A + 2\pi) = +\tan A
\cot(-A)= -\cot A \cot(A + \tfrac{\pi}{2})= -\tan A \cot(A + \pi) = +\cot A \cot(A + 2\pi) = +\cot A
\sec(-A)= +\sec A \sec(A + \tfrac{\pi}{2})= -\csc A \sec(A + \pi) = -\sec A \sec(A + 2\pi) = +\sec A
\csc(-A)= -\csc A \csc(A + \tfrac{\pi}{2})= +\sec A \csc(A + \pi) = -\csc A \csc(A + 2\pi) = +\csc A

تقارن حول مبدأ مختصات[ویرایش]

تابع زوج، به تابعی گویند که مقدار تابع در یک نقطه با مقدار آن در نقطه قرینه برابر باشد. به عبارت دیگر (f(-x)=f(x. از سوی دیگر، اگر مقدار تابعی در یک نقطه، منفی مقدار آن در نقطه قرینه باشد، تابع فرد نامیده می‌شود. به زبان ریاضی (f(-x)=-f(x. بر پایه جدول بالا می‌توان گفت:

  • کسینوس و سکانت، تابع زوج هستند.
  • سینوس، تانژانت، کتانژانت و کسکانت، تابع فرد هستند.

تناوب[ویرایش]

نوشتار اصلی: تابع متناوب

از تعریف دایره مثلثاتی و هم‌چنین در جدول بالا مشاهده می‌شود که تابع‌های مثلثاتی با یک تناوب مشخص، تکرار می‌شوند. این تناوب برای تابع‌های تانژانت و کتانژانت، ۱۸۰ درجه و برای سایر تابع‌های مثلثاتی، ۳۶۰ درجه است.[۶] در تبدیل فوریه و معادلات موج از این خاصیت تناوبی تابع‌های مثلثاتی در حل معادلات دیفرانسیل استفاده می‌کنند.

تعریف بر پایه سری توانی[ویرایش]

بر پایه سری مکلورن هر تابع پیوسته‌ای را می‌توان به صورت یک سری توانی حول نقطه صفر (به شکل رابطه زیر) نوشت:

f(x)=f(0)+\frac {f'(0)}{1!} x+ \frac{f''(0)}{2!} x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+ \cdots .

ضریب‌های رابطه بالا با معلوم بودن مقدار تابع و مشتق‌های آن در نقطه صفر، قابل محاسبه هستند. بنابراین می‌توان مقدار تقریبی یک تابع را به صورت مجموع یک سری نامتناهی به دست آورد. در محاسبات ریاضی، از جمله‌های مرتبه بالا (که مرتبه بر اساس دقت محاسبه تعیین می‌شود) چشم‌پوشی می‌کنند.

سری توانی تابع‌های مثلثاتی[ویرایش]

برای محاسبه تقریبی تابع‌های مثلثاتی از رابطه‌های زیر استفاده می‌شود.[۷]

تابع سینوس (آبی) و سری تیلور آن (قرمز، تا درجه ۷) در یک تناوب کامل (متقارن نسبت به مبدأ) تقریباً با یکدیگر برابر هستند.

سری توانی سینوس و کسینوس[ویرایش]

شکل روبرو، نمودار تابع سینوس و بسط مکلورن متناظر با آن را نشان می‌دهد. مقدار تابع سینوس در نقطه صفر برابر صفر است. بنابراین جمله‌های زوج سری توانی سینوس (که شامل خود تابع و مشتقات مرتبه زوج آن می‌شوند) صفر هستند. در نتیجه، سری توانی سینوس تنها دارای جمله‌های با توان فرد خواهد بود.

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}.

به طور مشابه، جمله‌های فرد سری توانی کسینوس صفر هستند و این سری تنها دارای جمله‌های با توان زوج است.

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}.

سری توانی سایر تابع‌های مثلثاتی[ویرایش]

تابع‌های دیگر مثلثاتی، دارای نقطه تکین در دامنه خود هستند. بنابراین نمی‌توان سری توانی مکلورن آن‌ها را برای هر مقداری تعریف نمود. برای تابع‌های تانژانت و سکانت که در ۹۰ درجه (π/۲) تعریف نمی‌شوند، دامنه تعریف سری توانی بین π/۲- تا π/۲ است. هم‌چنین برای تابع‌های کتانژانت و کسکانت که در صفر درجه تعریف نمی‌شوند، دامنه تعریف سری توانی بین صفر تا π می‌باشد.

\tan x =\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}=x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \cdots, \qquad \text{for } |x| <\frac{\pi}{2}.
\cot x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}= x^{-1} - \frac{1}{3}x - \frac{1}{45}x^3 - \frac{2}{945}x^5 - \cdots, \qquad \text{for } 0 <|x| <\pi.
\sec x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{24}x^4 + \frac{61}{720}x^6 + \cdots, \qquad \text{for } |x| <\frac{\pi}{2}.
\csc x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1} 2 (2^{2n-1}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} = x^{-1} + \frac{1}{6}x + \frac{7}{360}x^3 + \frac{31}{15120}x^5 + \cdots, \qquad \text{for } 0 <|x| <\pi.

اتحادهای مثلثاتی[ویرایش]

بعضی از رابطه‌های مثلثاتی برای هر زاویه دلخواهی برقرار هستند. این رابطه‌ها را اتحاد مثلثاتی می‌نامند. نمونه‌هایی از این اتحادها در زیر آورده می‌شوند.

قضیه فیثاغورس[ویرایش]

ساده‌ترین شکل قضیه فیثاغورس در مثلثات به صورت زیر است:[۸]

 \cos^{2} A + \sin^{2} A = 1 .

جمع و تفاضل دو زاویه[ویرایش]

کسینوس حاصل جمع:[۹] \cos (a \pm b) = \cos a. \cos b \mp \sin a. \sin b \,
سینوس حاصل جمع:[۱۰] \sin (a \pm b) = \sin a. \cos b \pm \cos a. \sin b \,

زاویه دو برابر[ویرایش]

رابطه‌های زیر برای محاسبه سینوس و کسینوس زاویه‌ای دو برابر زاویه معلوم به کار می‌روند:[۱۱]

\cos 2a = 1 - 2 \sin^2 a ،
\sin 2a = 2\sin a. \cos a .

تابع وارون[ویرایش]

تابع‌های وارون مثلثاتی به عنوان قرینه تابع‌های مثلثاتی نسبت به خط y=x تعریف می‌شوند. این تابع‌ها را با افزودن آرک به ابتدای نام تابع اصلی، معرفی می‌کنند. این تابع‌ها یک مقدار را می‌گیرند و یک زاویه را برمی‌گردانند.

تابع‌های مثلثاتی در همه دامنه خود یک به یک و وارون‌پذیر نیستند. برای آن که بتوان تابع وارون برای این توابع تعریف نمود، باید تابع به دامنه‌ای که در آن وارون‌پذیر است، محدود شود. این دامنه، برای تابع‌های مختلف به صورت جدول زیر است:[۱۲]

تابع اصلی دامنه تابع اصلی تابع وارون دامنه تابع وارون
 \sin y = x \,  -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2} \,  \arcsin x = y \,  -1 \le x \le 1 \,
 \cos y = x \,  0 \le y \le \pi \,  \arccos x = y \,  -1 \le x \le 1 \,
 \tan y = x \,  -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2} \,  \arctan x = y \, اعداد حقیقی
 \csc y = x \,  -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}, y \ne 0 \,  \arccsc x = y \, اعداد حقیقی
 \sec y = x \,  0 \le y \le \pi, y \ne \frac{\pi}{2} \,  \arcsec x = y \,  1 \le x\, or \, x \le -1 \,
 \cot y = x \,  0 < y < \pi \,  \arccot x = y \,  1 \le x\, or \,x \le -1 \,

مشتق تابع‌های وارون[ویرایش]

محاسبه مشتق تابع وارون با روش مشتق‌گیری ضمنی انجام می‌شود. جدول زیر، مشتق تابع‌های وارون مثلثاتی را نشان می‌دهد:[۱۳]

تابع وارون مشتق تابع وارون
آرک‌سینوس \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
آرک‌کسینوس \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}
آرک‌تانژانت \frac{1}{1+x^2}
آرک‌کتانژانت \frac{-1}{1+x^2}
آرک‌سکانت \frac{1}{x^2 \sqrt{1 - x^{-2}}}
آرک‌کسکانت  \frac{-1}{x^2 \sqrt{1 - x^{-2}}}

کاربرد[ویرایش]

تابع‌های مثلثاتی کاربردهای قابل توجهی در بسیاری از علوم پایه و مهندسی دارند. یکی از کاربردهای بنیادی این تابع‌ها محاسبه مشخصات هر مثلث دلخواه است. هم‌چنین سری‌های مثلثاتی (مانند تبدیل فوریه) کاربردهای بسیاری از جمله در معادلات دیفرانسیل دارند.

قانون سینوس‌ها[ویرایش]

با استفاده از قانون سینوس‌ها در هر مثلث دلخواه، می‌توان با معلوم بودن اندازه یک ضلع و دو زاویه مجاور آن، اندازه دو ضلع دیگر را محاسبه نمود. هم‌چنین می‌توان مساحت مثلث (Δ) و شعاع دایره محیطی آن (R) را به دست آورد:[۱۴]

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R = \frac{abc}{2\Delta}.

بر اساس اتحاد بالا، مساحت مثلث با معلوم بودن اندازه دو ضلع و زاویه میان آن‌ها از رابطه زیر، قابل محاسبه است:

\Delta = \frac{1}{2}a b\sin C.

قانون کسینوس‌ها[ویرایش]

با استفاده از قانون کسینوس‌ها در هر مثلث دلخواه، با معلوم بودن اندازه دو ضلع و زاویه میان آن‌ها، اندازه ضلع سوم به صورت زیر تعیین می‌شود:[۱۵]

c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.

هم‌چنین با این قانون می‌توان با داشتن اندازه سه ضلع مثلث، اندازه زاویه‌های آن را به دست آورد.

اعداد مختلط[ویرایش]

با استفاده از تعریف مختصات قطبی می‌توان اعداد مختلط را به صورت تابع‌های مثلثاتی بیان کرد:

 z= |z|(\cos\theta + i\sin\theta) ،

که در آن، |z| اندازه بردار z (فاصله از مبدأ) و θ زاویه آن با محور افقی است. افزون بر این، رابطه میان تابع نمایی و تابع مثلثاتی توسط قضیه اولر برقرار می‌شود:[۱۶]

 e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta .

با استفاده از تعریف بسط مکلورن برای تابع‌های هذلولوی و مثلثاتی، می‌توان رابطه‌های زیر را به دست آورد:

\sin z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{2i}\, = \frac{\sinh \left( i z\right) }{i} ،
\cos z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} = \frac{e^{i z} + e^{-i z}}{2}\, = \cosh \left(i z\right) ،

که در آن‌ها i ۲=−۱. می‌توان تابع‌های سینوس و کسینوس مختلط را برحسب اجزای حقیقی و مجازی آن‌ها نیز نوشت:

\sin (x + iy) = \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y،
\cos (x + iy) = \cos x \cosh y - i \sin x \sinh y.

این اتحاد، رابطه میان تابع‌های سینوس و کسینوس مختلط و تابع‌های حقیقی (سینوس و کسینوس) و حقیقی هذلولوی (سینوس هذلولوی و کسینوس هذلولوی) آن‌ها را نشان می‌دهد.

نقشه‌برداری[ویرایش]

مثلثات، پایه بیشتر شیوه‌های نقشه‌برداری مانند مثلث‌سازی و پیمایش است. برای نمونه، از قانون کسینوس‌ها برای محاسبه زاویه مثلث‌ها در مثلث‌سازی و تعیین دقیق موقعیت هر نقطه و از تابع‌های مثلثاتی برای محاسبه موقعیت ایستگاه‌ها در پیمایش استفاده می‌شود.[نیازمند منبع]

پردازش تصویر[ویرایش]

با استفاده از تبدیل فوریه، می‌توان هر تابع تناوبی را به صورت یک سری مثلثاتی (بر حسب تابع سینوس یا کسینوس) نوشت. برای نمونه، در ذخیره‌سازی تصویر با قالب JPEG از تبدیل کسینوس گسسته برای کاهش حجم تصویر با وجود حفظ نسبی کیفیت آن استفاده می‌کنند.[۱۷]

حرکت نوسانی[ویرایش]

نمایش ساخته شدن موج مربعی با برهم‌نهی تابع‌های نوسانی

فیزیک‌دانان برای توصیف حرکت هماهنگ ساده، از تابع‌های سینوس و کسینوس استفاده می‌کنند. این حرکت، بسیاری از پدیده‌های فیزیکی مانند حرکت جرم متصل به فنر، حرکت آونگی جسم معلق با یک طناب و جرکت دایره‌ای یکنواخت یک‌بعدی را مدل می‌کند. هم‌چنین تابع‌های مثلثاتی در مطالعه تابع‌های متناوب به کار می‌روند. ساختار موجی‌شکل تابع‌های متناوب برای مدل‌سازی پدیده‌های رفت و برگشتی مانند نور، صدا و موج دریا، مورد استفاده قرار می‌گیرد.

در شرایط عمومی، می‌توان یک تابع متناوب (f(x را با سری فوریه به صورت مجموع موج‌های سینوسی یا موج‌های کسینوسی بیان کرد.[۱۸] اگر تابع سینوس یا کسینوس را با φk نشان دهیم، بسط تابع متناوب (f(t به صورت زیر خواهد بود:

f(t) = \sum _{k=1}^\infty c_k \varphi_k(t).

برای نمونه، موج مربعی را می‌توان با سری فوریه زیر نشان داد:

 f_\text{square}(t) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^\infty {\sin \left ( (2k-1)t \right ) \over 2k-1}.

همان گونه که در شکل روبرو دیده می‌شود، چند جمله اول سری می‌توانند تقریب نسبتاً خوبی را ایجاد کنند.

تاریخچه[ویرایش]

نمونه‌ای از جداول نجومی خوارزمی

یونان باستان[ویرایش]

شواهد به کار گیری تابع‌های مثلثاتی در زمینه‌های گوناگون، به ویژه در نجوم، در بسیاری از متون به جا مانده از دوران پیش از میلاد از جمله در یونان و مصر وجود دارد. می‌توان قضیه فیثاغورس را سنگ بنای مثلثات دانست.[۱۹] در بسیاری از متون یونان باستان، کاربردهای مثلثات مورد توجه قرار گرفته‌اند. برای نمونه، بطلمیوس در المجسطی، رابطه سینوس و کسینوس مجموع و تفاضل دو زاویه را بیان کرده‌است.[۲۰]

هند[ویرایش]

مطالعه در زمینه تابع‌های مثلثاتی در هند نیز رواج داشته‌است. از جمله، در کتاب سوریا سیدهانتا در سده چهارم میلادی از جدول سینوس به جای جدول وتری در نجوم استفاده شده‌است.[۲۱]

دوران اسلامی[ویرایش]

دوران طلایی اسلام، تأثیر قابل توجهی بر پیشرفت علوم ریاضی و از جمله آن‌ها مثلثات داشت. خوارزمی، جدول‌های نجومی و مثلثاتی (مربوط به سینوس و تانژانت) را تهیه کرد.[۲۲] در آثار بتانی در سده سوم شمسی (سده نهم میلادی)، مثثات به طور وسیعی به کار رفته‌است که از جمله می‌توان به جدول کتانژانت اشاره کرد. هم‌چنین ابوالوفا محمد بوزجانی در سده چهارم شمسی (سده دهم میلادی)، قضیه سینوس را به دست آورد.[۲۳]

دوران جدید[ویرایش]

احتمالاً رتیکوس نخستین شخص اروپایی بود که در سده شانزدهم میلادی، تابع‌های مثلثاتی را به جای دایره برحسب زاویه قائمه تعریف کرد و جدول‌های هر شش تابع را تهیه نمود. مقاله اولر در ۱۷۴۸ میلادی به عنوان پایه‌گذار اصلی رفتار تحلیلی با تابع‌های مثلثاتی در اروپا دانسته می‌شود. اولر تابع‌های مثلثاتی را به صورت سری نامتناهی تعریف کرد و فرمول اویلر را ارائه نمود.[۲۴]

پانویس[ویرایش]

  1. کاکسفورد. ۵۳. 
  2. آدامز. ۱۴۶. 
  3. سیلورمن. ۹۱. 
  4. سیلورمن؛ تابع سینوس و کسینوس: ص. ۱۷۹؛ سایر تابع‌ها: صص. ۲۱۰-۲۱۱
  5. کاسکفورد. ۲۸۵. 
  6. آدامز. ۱۳۸. 
  7. آبراموویچ و استگان. ۷۴-۷۵. 
  8. سیلورمن. ۸۸. 
  9. کاکسفورد. ۱۵۲-۱۵۴. 
  10. کاکسفورد. ۱۵۸-۱۵۹. 
  11. کاکسفورد. ۱۶۷-۱۶۸. 
  12. سیلورمن. ۴۶۵-۴۷۴. 
  13. کاکسفورد، صص ۲۴۴-۲۴۵، ۲۵۱
  14. کاکسفورد، صص ۱۸۹-۱۹۰
  15. کاکسفورد، صص ۱۹۴-۱۹۵
  16. آبراموویچ و استگان، ص. ۱۶
  17. استیون اسمیت. «(JPEG (Transform Compression». راهنمای دانشمندان و مهندسان برای پردازش تصویر دیجیتال (انگلیسی). بازبینی‌شده در ۸ فروردین ۱۳۹۴. 
  18. برای نمونه: Gerald B Folland. «Convergence and completeness». در Fourier Analysis and its Applications. ویرایش Reprint of Wadsworth & Brooks/Cole 1992. American Mathematical Society، 2009. 77 ff. شابک ‎۰-۸۲۱۸-۴۷۹۰-۲. 
  19. دانتزیگ، توبیاس. میراث یونان. ترجمهٔ عباس گرمان. توکا، ۱۳۵۶. 
  20. استرویک. ۷۵. 
  21. استرویک. ۸۶. 
  22. استرویک. ۹۲. 
  23. استرویک. ۹۳. 
  24. بویر، کارل. تاریخ حسابان. ترجمهٔ عبدالحسین مصحفی. علمی و فرهنگی، ۱۳۸۴. شابک ‎۹۶۴-۴۴۵-۶۹۸-X. 

منابع[ویرایش]

  • کاکسفورد، آرتور. اصول و کاربردهای مثلثات. ترجمهٔ عادل ارشقی. انتشارات رسا، ۱۳۷۰. 
  • آدامز، رابرت. حساب دیفرانسیل و انتگرال، جلد اول. ترجمهٔ سید حسین اورعی. انتشارات دانشگاه فردوسی مشهد، ۱۳۸۸. شابک ‎۹۶۴-۳۸۶-۰۱۵-۹. 
  • لیت‌هولد، لوئیس. حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه تحلیلی. ترجمهٔ علی‌اکبر عالم‌زاده. چاپ سی‌ام. تهران: علوم نوین، ۱۳۸۷. شابک ‎۹۷۸-۹۶۴-۶۱۳۳-۰۳-۷. 
  • سیلورمن، ریچارد. حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه تحلیلی، جلد اول. ترجمهٔ علی‌اکبر عالم‌زاده. انتشارات ققنوس، ۱۳۸۶. شابک ‎۹۷۸-۹۶۴-۳۱۱-۰۰۵-۵. 
  • Abramowitz, M. and Stegun, I. A.. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover، 1972. 16. شابک ‎۹۷۸-۰۴۸۶۶۱۲۷۲۰.