ضرب داخلی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

ضرب داخلی (به انگلیسی: Inner Product)، که ضرب نقطه‌ای (به انگلیسی: Dot Product) و ضرب اسکالر (به انگلیسی: Scalar Product) نیز نامیده می‌شود، یک عمل دوتایی بین دو بردار در فضای n \! بعدی[۱] اقلیدسی است که نتیجه آن یک عدد حقیقی است.

بنابراین، ضرب داخلی دو کمیت برداری، یک کمیت نرده‌ای است.

تعریف[ویرایش]

ضرب داخلی دو بردار \mathbf{a} = [a_1, a_2, \cdots, a_n] \! و \mathbf{b} = [b_1, b_2, \cdots, b_n] \! به صورت زیر تعریف می‌شود:

\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n

که در اینجا، \sum \! نماد جمع است.

برای دو بردار مختلط، ضرب داخلی به صورت زیر تعریف می‌شود:

\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n{a_i \overline{b_i}}

که در اینجا، \overline{b_i} ، مزدوج مختلط بردار b_i است.

بیان هندسی[ویرایش]

حاصلضرب داخلی AB برابر است با  |\mathbf{A}| \, 
|\mathbf{B}| \cos \theta \,.
 |\mathbf{A}| \, cos \theta \, اندازهٔ تصویر بردار A بر روی B است.

در هندسه اقلیدسی، ضرب داخلی به اندازهٔ بردارها و زاویهٔ بین آنها مربوط است. برای یک بردار دلخواه \mathbf{a}، ضرب داخلی \mathbf{a} . \mathbf{a} برابر با مجذور طول اقلیدسی[۲] بردار \mathbf{a} است:

|\mathbf{a}| = \sqrt{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}} = (\sum_{i=1}^n |a_i|^2)

که |a| نشان‌دهندهٔ اندازه بردار a است.[۳]

همچنین اگر b یک بردار دیگر باشد، آنگاه:

a ⃗ .b ⃗ =|a ⃗ | |b ⃗ | cosθ

 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}| \cos \theta \,

که |a| و |b| نشان‌دهندهٔ اندازهٔ بردارهای a و b و θ زاویهٔ بین دو بردار است.

پانوشته‌ها[ویرایش]

  1. n \! بی‌نهایت هم می‌تواند باشد، که در آن صورت از ضرب داخلی توابع پیوسته ریاضی صحبت می‌کنیم.
  2. Euclidean length
  3. جبر خطّی عددی، ص. ۱۲

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

عملیات دوتایی
عددی تابعی مجموعه‌ای ساختاری
مقدماتی

+ جمع
تفریق
× ضرب
÷ تقسیم
^ توان

حسابی

div خارج قسمت اقلیدسی
mod باقیمانده اقلیدسی
بزرگترین مقسوم علیه مشترک
کوچکترین مضرب مشترک

ترکیباتی

( ) ضریب بینم
A جایگشت

ترکیب
کانولوشن
جبر مجموعه‌ها

اجتماع
\ مجموعه مکمل
اشتراک
Δ تفاضل متقارن

ترتیب کلی

min کمینه
max بیشینه

توری‌ها

کرانه تحتانی
کرانه فوقانی

مجموعه‌ها

× ضرب دکارتی
اجتماع منفصل
^ توان مجموعه‌ای

گروه‌ها

حاصل‌جمع مستقیم
حاصل ضرب آزاد
produit en couronne

مدول‌ها

ضرب تانسوری
Hom هومومورفیزم
Tor پیچش
Ext extensions

درخت‌ها

enracinement

واریته‌های متصل

# جمع متصل

فضاهای نقطه‌دار

bouquet
smash produit
joint

برداری
(.) ضرب اسکالر
ضرب برداری
جبری
[,] کروشه لی
{,} کروشه پواسون
ضرب خارجی
هومولوژی
cup-produit
حاصل ضرب اشتراک
ترتیبی
+ الحاق
منطق بولی
عطف منطقی فصل منطقی یای انحصاری استلزام منطقی اگر و فقط اگر