ضرب خارجی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
Cross product parallelogram.svg

در ریاضیات، ضرب خارجی (به انگلیسی: Cross Product)، یا ضرب برداری (به انگلیسی: Vector Product)، یک عمل دوتایی (با نماد ×[۱]) بین دو بردار اقلیدسی در فضای سه‌بعدی است که نتیجهٔ آن برداری است که بر هر دو بردار اولیه عمود است.

تعریف[ویرایش]

بیان ریاضی[ویرایش]

برای بردار‌های یکّهٔ پایه تساوی‌های زیر برقرار اند[۲][۳]:

روشی برای حفظ کردن ضرب خارجی و و

از تساوی‌های فوق می‌توان فرمول ضرب خارجی را نتیجه گرفت[۲]:

اگر و :

بیان ماتریسی[ویرایش]

برای حفظ‌کردن راحت‌تر ضرب خارجی می‌توان از تساوی زیر کمک گرفت[۲][۳]:

این دترمینان را می‌توان با روش ساروس محاسبه کرد که در نهایت به فرمول بیان ریاضی می‌رسد.

بیان هندسی[ویرایش]

جهت بردارِ حاصل از ضرب خارجی، عمود بر هر دو بردار و است و به کمک قانون دست راست قابل تشخیص است و طول آن برابر مساحت متوازی‌الاضلاعی با اضلاع بردار‌های اوّلیّه است[۴]؛ پس اگر زاویهٔ بین دو بردار باشد[۲]:

اگر بردار‌ها هم‌راستا باشند یا یکی از بردار‌ها صفر باشد، حاصل ضرب خارجی صفر خواهد شد.

خواص[ویرایش]

  • Cross product vector.svg
    جابه‌جایی ندارد ولی[۲]:
  • پخش‌پذیری[۲]:
  • شرکت‌پذیری ندارد ولی از تساوی جاکوبی پیروی می‌کند:
  • ضرب در عدد[۲]:
  • [۲]

اتّحاد لاگرانژ[ویرایش]

به کمک اتّحاد لاگرانژ می‌توان دریافت[۵]:

منابع[ویرایش]

  1. "Comprehensive List of Algebra Symbols". Math Vault. 2020-03-25. Retrieved 2020-09-06.
  2. ۲٫۰ ۲٫۱ ۲٫۲ ۲٫۳ ۲٫۴ ۲٫۵ ۲٫۶ ۲٫۷ «۱۲٫۴». Thomas' Calculus (14th Edition).
  3. ۳٫۰ ۳٫۱ Weisstein, Eric W. "Cross Product". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-09-06.
  4. "Cross Product". www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-09-06.
  5. WS Massey (Dec 1983). "Cross products of vectors in higher dimensional Euclidean spaces". The American Mathematical Monthly. The American Mathematical Monthly, Vol. 90, No. 10. 90 (10): 697–701. doi:10.2307/2323537. JSTOR 2323537.