مشتق توابع مثلثاتی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

مشتق‌گیری از تابع‌های مثلثاتی یک فرایند ریاضی است که برای یافتن مشتق یک تابع مثلثاتی یا نرخ تغییرات آن برحسب متغیر، انجام می‌شود. مشتق همه تابع‌های مثلثاتی را می‌توان برحسب مشتق سینوس و کسینوس به دست آورد. زیرا همه این تابع‌ها را می‌توان به صورت تابعی از سینوس یا کسینوس بیان کرد. قاعده خارج قسمت برای مشتق‌گیری از تابع مورد نظر به کار می‌رود. مشتق تابع‌های وارون مثلثاتی با استفاده از مشتق ضمنی و مشتق تابع‌های معمول مثلثاتی، قابل محاسبه است.

فهرست مشتق تابع‌های مثلثاتی و وارون آن‌ها[ویرایش]

به طور خلاصه، مشتق تابع‌های مثلثاتی و مشتق تابع‌های وارون مثلثاتی را می‌توان در جدول زیز نشان داد:

تابع مشتق[۱] تابع وارون مشتق تابع وارون[۲]

اثبات مشتق تابع‌های مثلثاتی[ویرایش]

برای اثبات مشتق‌ها نخست باید چند قضیه مهم حد که در استخراج رابطه برای مشتق‌ها مورد نیاز هستند، اثبات شوند.

حد sin θ/θ در θ→۰[ویرایش]

دایره به مرکز O و شعاع r

نمودار سمت چپ، یک دایره به مرکز O و شعاع r را نشان می‌دهد. زاویه θ در مرکز دایره قرار دارد و از دو شعاع OA و OB ساخته شده‌است. از آن‌جایی که می‌خواهیم θ را به سمت صفر میل دهیم، آن را یک مقدار کوچک مثبت در نظر می‌گیریم.

اکنون دو مثلث OAB و OAC و قطاع دایره‌ای OAB بین آن‌ها را در نظر می‌گیریم. از روی شکل به سادگی می‌توان گفت که نامعادله زیر بین مساحت این سه شکل برقرار است:

مساحت مثلث OAB <مساحت قطاع OAB <مساحت مثلث OAC.

برپایه تابع‌های مثلثاتی، مساحت مثلث‌ها به دست می‌آید:

  • مثلث OAB (کوچک): ۱/۲ ||OA|| . ||OB|| .sinθ = ۱/۲ r۲ .sinθ
  • مثلث OAC (بزرگ): ۱/۲ ||OA|| . ||AC|| = ۱/۲ r. r.tanθ = ۱/۲ r۲ .tanθ

مساحت قطاع OAB که روبرو به زاویه θ است، نیز برابر است با ۱/۲ r۲.

با جایگذاری مقادیر بالا در نامعادله، داریم:

۱/۲ r۲.sinθ <۱/۲ r۲.θ <۱/۲ r۲.tanθ.

از آن‌جایی که شعاع دایره بزرگتر از صفر است، می‌توان طرف‌های نامعادله را بر r۲ تقسیم کرد. هم‌چنین با توجه به این که زاویه θ بزرگ‌تر از صفر است، سینوس آن نیز بزرگ‌تر از صفر می‌باشد و می‌توان طرف‌های نامعادله را بر sinθ نیز تقسیم کرد. بنابراین، نامعادله به صورت زیر در می‌آید:

۱ <θ/sinθ <۱/cosθ۱> sinθ/θ> cosθ

در نامعادله دوم خط بالا، طرف‌های نامعادله معکوس شدند و از آن‌جایی که هر سه طرف مثبت هستند، پس از معکوس کردن، علامت نامساوی نیز عکس می‌شود. اگر از این نامعادله را در نزدیکی صفر حد بگیریم:

  • طرف سمت چپ نامعادله مقدار ثابت یک است.
  • طرف راست نامعادله، cos(θ) است که با نزدیک شدن به صفر، مقدار آن به یک میل می‌کند.

اکنون با استفاده از قضیه فشردگی، می‌توان حد sin x/x در x→۰ را به دست آورد. از آن‌جایی که این تابع بین دو تابع دیگر قرار دارد که حد هر دو در صفر، برابر یک است، پس حد این تابع نیز برابر با یک خواهد بود:

.

برای مقدارهای منفی نزدیک به صفر نیز می‌توان از ویژگی فرد بودن تابع سینوس استفاده کرد:

.
پرونده:Squeeze FbN.png
Squeeze: The curves y = 1 and y = cos(θ) shown in red, the curve y = sin(θ)/θ shown in blue.

حد cos θ - ۱/θ در θ→۰[ویرایش]

در این بخش، از نتیجه بخش پیشین استفاده می‌شود. برخلاف سینوس، کسینوس در نزدیکی صفر، همواره مثبت است. بنابراین علامت θ در محاسبه، اهمیتی ندارد.

.

اتحاد sin۲θ + cos۲θ = ۱ را می‌توان به صورت cos۲θ - ۱ = -sin۲θ نیز نوشت. بنابراین با دانستن این که حد حاصل‌ضرب با حاصل‌ضرب حدها برابر است، حد بالا به صورت زیر در می‌آید:

.

حد tan θ/θ در θ→۰[ویرایش]

با بهره گرفتن از حد تابع سینوس، فرد بودن تابع تانژانت و این که حد حاصل‌ضرب با حاصل‌ضرب حدها برابر است، داریم:

.

مشتق تابع سینوس[ویرایش]

برای به دست آوردن مشتق تابع سینوس، از تعریف مشتق استفاده می‌کنیم:

.

با استفاده از اتحاد جمع دو زاویه (sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α) داریم:

.

با استفاده از حد تابع‌های سینوس و کسینوس (که بالاتر، اثبات شده‌اند):

.

مشتق تابع کسینوس[ویرایش]

از تعریف مشتق[ویرایش]

برای محاسبه مشتق تابع کسینوس، از تعریف مشتق به صورت زیر بهره می‌بریم:

.

با سود بردن از اتحاد cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β داریم:

.

با استفاده از حد تابع‌های سینوس و کسینوس (که بالاتر، اثبات شده‌اند):

.

از قاعده زنجیری[ویرایش]

برای بهره بردن از قاعده زنجیری در محاسبه مشتق تابع کسینوس، از مشتق تابع سینوس (که بالاتر به دست آمده) و اتحاد زیر استفاده می‌کنیم:

.

با مشتق‌گیری از دو طرف اتحاد بالا داریم:

.

استفاده از قاعده زنجیری، با در نظر گرفتن دو تابع به صورت f(θ)=sinθ , g(θ)=θ+π/۲ نتیجه می‌دهد:

.

بازنویسی رابطه بالا، منجر به رابطه زیر می‌شود:

.

بنابراین نشان دادیم که

.

مشتق تابع تانژانت[ویرایش]

از تعریف مشتق[ویرایش]

برای محاسبه مشتق تابع تانژانت، از تعریف مشتق به صورت زیر بهره می‌بریم:

.

با استفاده از اتحاد جمع دو زاویه (tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β)) داریم:

.

پس از تبدیل حد حاصل‌ضرب به حاصل‌ضرب حدها:

.

اکنون از حد تابع تانژانت و به صفر میل کردن تانژانت در نزدیکی صفر، بهره می‌بریم:

.

رابطه بالا را به صورت زیر نیز می‌توان نوشت:

.

از قاعده زنجیری[ویرایش]

می‌توان مشتق تابع تانژانت را با قاعده زنجیری نیز به دست آورد:

.

صورت کسر، بنابر قضیه فیثاعورس، برابر ۱ است. در نتیجه:

.

اثبات مشتق تابع‌های وارون مثلثاتی[ویرایش]

برای محاسبه مشتق تابع‌های وارون مثلثاتی، متغیر y را به عنوان تابع وارون مثلثاتی در نظر می‌گیریم که مشتق‌گیری از آن، مد نظر است. با مشتق‌گیری ضمنی و حل معادله برای dy/dx، مشتق تابع وارون برحسب y پیدا می‌شود. برای تبدیل dy/dx به تابعی بر حسب x می‌توانیم از اتحادهای مثلثاتی مانند قضیه فیثاغورس بهره بگیریم.

مشتق تابع وارون سینوس[ویرایش]

تابع وارون سینوس را به صورت (y=arcsin(x در بازه /۲ ≤ y ≤ π/۲ تعریف می‌کنیم. بنابراین sin(y)=x. اکنون با استفاده از مشتق ضمنی و حل آن برای dy/dx داریم:

با جایگذاری و سپس (x=sin(y در معادله بالا:

مشتق تابع وارون کسینوس[ویرایش]

تابع وارون کسینوس را به صورت (y=arccos(x در بازه ۰ ≤ y ≤ π تعریف می‌کنیم. بنابراین cos(y)=x. اکنون با استفاده از مشتق ضمنی و حل آن برای dy/dx داریم:

با جایگذاری و سپس (x=cos(y در معادله بالا:

مشتق تابع وارون تانژانت[ویرایش]

تابع وارون سینوس را به صورت (y=arctan(x در بازه /۲ ≤ y ≤ π/۲ تعریف می‌کنیم. بنابراین tan(y)=x. اکنون با استفاده از مشتق ضمنی و حل آن برای dy/dx داریم:

طرف چپ:

طرف راست:

بنابراین

با جایگذاری (x=tan(y در معادله بالا:

مشتق تابع وارون کتانژانت[ویرایش]

تابع وارون سینوس را به صورت (y=arccot(x در بازه /۲ ≤ y ≤ π/۲ تعریف می‌کنیم. بنابراین cot(y)=x. اکنون با استفاده از مشتق ضمنی و حل آن برای dy/dx داریم:

با جایگذاری در معادله بالا:

با جایگذاری (x=cot(y در معادله بالا:

جستارهای وابسته[ویرایش]

پانویس[ویرایش]

  1. سیلورمن؛ تابع سینوس و کسینوس: ص. ۱۷۹؛ سایر تابع‌ها: صص. ۲۱۰-۲۱۱
  2. کاکسفورد. ۲۴۴، ۲۴۵، ۲۵۱. 

منابع[ویرایش]