قانون کسینوس‌ها

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در مثلثات قانون کسینوس که به نام قانون کاشانی هم شناخته می‌شود و در مورد هر نوع مثلثی صدق می‌کند به این شکل است:

تصویر یک مثلث
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma) , \,
b^2 = c^2 + a^2 - 2ca\cos(\beta) , \,
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\alpha) , \,
\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\ . \,

اثبات[ویرایش]

اثبات قانون کسینوس‌ها بر اساس قضیه فیثاقورس حالت زاویه باز
اثبات قانون کسینوس‌ها بر اساس قضیه فیثاقورس حالت زاویه تند

چند روش برای اثبات قانون کسینوس‌ها وجود دارد که در اینجا اثبات بر اساس قضیه فیثاغورس را می‏بینیم.


در اینجا اندازه ارتفاع وارد بر ضلع b را با h و فاصله پایه ارتفاع مذکور تا راس C را با d نشان داده‏ایم.

c^2=(b+d)^2+h^2
c^2=b^2+2bd+d^2+h^2
c^2=b^2+2bd+a^2,d=a\cos(\pi-\gamma)=-a\cos(\gamma)
c^2=b^2-2ab\cos(\gamma)+a^2
c^2=(b-a\cos(\gamma))^2+(a\sin(\gamma))^2
c^2=b^2-2ab\cos(\gamma)+a^2\cos^2(\gamma)+a^2\sin^2(\gamma),cos^2(\gamma)+sin^2(\gamma)=1
c^2=b^2-2ab\cos(\gamma)+a^2

منابع[ویرایش]

  • مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Law of cosines»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۲۹ می ۲۰۱۱).

جستارهای وابسته[ویرایش]

پیوند به بیرون[ویرایش]