قواعد مشتق‌گیری

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در حساب دیفرانسیل برای گرفتن مشتق از یک تابع باید از یک سری قواعد پیروی کنیم. این قواعد به صورت‌های زیر طبقه‌بندی و خلاصه می‌شود.

باید دقت شود که هر قاعده نتیجه‌ای است بدیهی و قابل اثبات که از طریق رابطهٔ اصلی مشتق گیری اثبات و بیان می‌شود، و از هر تابع دلخواه می‌توان توسط آن رابطه به طور مستقیم مشتق گرفت. این قواعد تنها برای سهولت و سرعت بیشتر در عمل مشتق گیری می‌باشند.

قواعد اولیهٔ مشتق گیری[ویرایش]

برای هر تابع دلخواه f و g و هر عددحقیقی a داریم:

قاعده ضرب[ویرایش]

اگر برای هر دو تابع دلخواه f و g تعریف شود h(x) = f(x) g(x)، برای مشتق تابع h قاعدهٔ زیر، که به قاعده ضرب مشهور است، تعریف می‌شود:

قاعده زنجیری[ویرایش]

مشتق تابع h که برای هر f و g دلخواهی به صورت h(x) = f(g(x)) تعریف می‌شود، به شکل زیر است:

این قاعده مشهور به قاعده زنجیری یا قاعده مرکب است.

مشتق توابع وارون[ویرایش]

اگر تابع g به صورت تابع وارون تابع f تعریف شود، قاعدهٔ زیر درست است:

قاعده توان[ویرایش]

این قاعده برای هر n غیر صحیح نیز تعمیم می‌یابد. به صورتی که برای هر n عضو اعداد حقیقی این قاعده پابرجاست.

قاعده خارج قسمت[ویرایش]

اگر تابع h به صورت خارج قسمت تقسیم دو تابع f و g برهم تعریف شود، برای مشتق آن داریم:

دقت شود که مقدار تابع g نباید مساوی ۰ شود.

مشتق توابع نمایی و لگاریتمی[ویرایش]

این قاعده برای توابع نمایی به صورت زیر برقرار است:

دقت شود که c لزوماً نمی‌بایست که بزرگ‌تر از ۰ باشد. اما اگر مقدار c کمتر از ۰ باشد، مشتق این تابع یک عدد مختلط می‌شود.

مشتق‌های دیگر برای توابع مشهور توابع لگاریتمی و توابع نمایی به صورت زیر است:

مشتق توابع مثلثاتی[ویرایش]

تقریباً مشتق تمامی توابع مثلثاتی مشهور و پر کاربرد به شکل زیر است:

مشتق توابع هذلولوی[ویرایش]

مشتق یکسری از توابع هذلولوی به صورت زیر می‌باشد:

منابع[ویرایش]

این قواعد در بسیاری از کتاب‌ها و سایت‌های گوناگون وجود دارد. در این جا یک مورد از آن‌ها را ذکر می‌کنیم:

  • Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN: 978-0-07-154855-7.