قواعد مشتق‌گیری

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو

در حساب دیفرانسیل برای گرفتن مشتق از یک تابع باید از یک سری قواعد پیروی کنیم. این قواعد به صورت‌های زیر طبقه‌بندی و خلاصه می‌شود.

باید دقت شود که هر قاعده نتیجه‌ای است بدیهی و قابل اثبات که از طریق رابطهٔ اصلی مشتق‌گیری اثبات و بیان می‌شود، و از هر تابع دلخواه می‌توان توسط آن رابطه به‌طور مستقیم مشتق گرفت. این قواعد تنها برای سهولت و سرعت بیشتر در عمل مشتق‌گیری می‌باشند.

قواعد اولیهٔ مشتق‌گیری[ویرایش]

برای هر تابع دلخواه f و g و هر عددحقیقی a داریم:

قاعده ضرب[ویرایش]

اگر برای هر دو تابع دلخواه f و g تعریف شود h(x) = f(x) g(x)، برای مشتق تابع h قاعدهٔ زیر، که به قاعده ضرب مشهور است، تعریف می‌شود:

قاعده زنجیری[ویرایش]

مشتق تابع h که برای هر f و g دلخواهی به صورت h(x) = f(g(x)) تعریف می‌شود، به شکل زیر است:

این قاعده مشهور به قاعده زنجیری یا قاعده مرکب است.

مشتق توابع وارون[ویرایش]

اگر تابع g به صورت تابع وارون تابع f تعریف شود، قاعدهٔ زیر درست است:

قاعده توان[ویرایش]

این قاعده برای هر n غیر صحیح نیز تعمیم می‌یابد. به صورتی که برای هر n عضو اعداد حقیقی این قاعده پابرجاست.

قاعده خارج قسمت[ویرایش]

اگر تابع h به صورت خارج قسمت تقسیم دو تابع f و g برهم تعریف شود، برای مشتق آن داریم:

دقت شود که مقدار تابع g نباید مساوی ۰ شود.

مشتق توابع نمایی و لگاریتمی[ویرایش]

این قاعده برای توابع نمایی به صورت زیر برقرار است:

دقت شود که c لزوماً نمی‌بایست که بزرگ‌تر از ۰ باشد. اما اگر مقدار c کمتر از ۰ باشد، مشتق این تابع یک عدد مختلط می‌شود.

مشتق‌های دیگر برای توابع مشهور توابع لگاریتمی و توابع نمایی به صورت زیر است:

مشتق توابع مثلثاتی[ویرایش]

تقریباً مشتق تمامی توابع مثلثاتی مشهور و پر کاربرد به شکل زیر است:

مشتق توابع هذلولوی[ویرایش]

مشتق یکسری از توابع هذلولوی به صورت زیر می‌باشد:

منابع[ویرایش]

این قواعد در بسیاری از کتاب‌ها و سایت‌های گوناگون وجود دارد. در این جا یک مورد از آن‌ها را ذکر می‌کنیم:

  • Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN: 978-0-07-154855-7.