دستگاه مختصات کروی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو
نقطه‌ای که با دستگاه مختصات کروی نمایش داده شده است

در ریاضیات، دستگاه مختصات کروی یک دستگاه مختصات برای نمایش حساب‌ها و اعداد هندسی در فضای سه بعدی با استفاده از سه مختصه است: فاصلهٔ شعاعی یک نقطه از یک مبدأ ثابت(r)، زاویهٔ سمت‌الرأس (zenith angle) از قسمت مثبت محور z(اصطلاحا فی) و زاویهٔ گرایی (azimuth angle) از قسمت مثبت محور x(اصطلاحا تتا).

مشخصات[ویرایش]

دستگاه مختصات کروی، دستگاه مختصاتی با سه مختصه‌است:

  • مختصه (یا ) که روی کره‌های هم مرکز حول مبدأ است.
  • مختصه روی مخروط‌های دوار قائم حول محور با راس واقع در مبدأ.
  • مختصه که روی نیم صفحاتی که از محور قطبی می‌گذرد.

در فیزیک بنا به سنت جای و معکوس است یعنی زاویه با محور است.

محدوده مختصات[ویرایش]

سه مختصه در محدوده‌های زیر می‌توانند باشند:

  • مختصه (یا ):
  • مختصه زاویه قطبی :
  • مختصه زاویه سمتی :

رابطه با مختصات دکارتی[ویرایش]

مختصات دستگاه کروی را با استفاده از روابط زیر به دستگاه مختصات دکارتی می‌توان تبدیل کرد:

  • برای مختصه :
  • برای مختصه زاویه قطبی :
  • برای مختصه زاویه سمتی :

مختصات دکارتی نیز را با روابط زیر می‌توان به دستگاه مختصات کروی برد:

  • مختصه :
  • مختصه :
  • مختصه :

حساب برداری[ویرایش]

  • بردار در مختصات کروی به صورت زیر نمایش داده می‌شود:
  • کرل بردار در دستگاه کروی:

تبدیل‌های دستگاه مختصات[ویرایش]

دستگاه مختصات جغرافیایی[ویرایش]

دستگاه مختصات جغرافیایی بک مدل دیگر از دستگاه مختصات کروی است که کاربرد اصلی آن در جغرافیا است اما در ریاضیات و فیزیک نیز استفاده‌هایی دارد. در جغرافی، ρ معمولاً حذف یا با مقداری که ارتفاع یا بلندی از سطح دریا را نشان می‌دهد جایگزین می‌شود.

عرض جغرافیایی ، مکمل سمت‌الرأس یا متمم عرض جغرافیایی است و می‌تواند با این روابط تبدیل شود:

یا

با این وجود عرض جغرافیایی عمدتاً با φ نیز نمایش داده می‌شود. این، یک زاویه سمت‌الرأس را که از صفحهٔ xy سرچشمه می‌گیرد با دامنهٔ ‎ -۹۰° ≤ φ ≤ ۹۰° ‏ بیان می‌کند. طول جغرافیایی به وسیلهٔ درجه به شرق یا به غرب از °۰ اندازه‌گیری می‌شود، بنابراین دامنه‌اش ‎ -۱۸۰° ≤ θ ≤ ۱۸۰° ‏ است.

دیفرانسیل‌ها[ویرایش]

  • دیفرانسیل خطی:
  • دیفرانسیل سطحی:
  • دیفرانسیل حجمی:

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]