دستگاه مختصات کروی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
نقطه‌ای که با دستگاه مختصات کروی نمایش داده شده است

در ریاضیات، دستگاه مختصات کروی یک دستگاه مختصات برای نمایش حساب‌ها و اعداد هندسی در فضای سه بعدی با استفاده از سه مختصه است: فاصلهٔ شعاعی یک نقطه از یک مبدأ ثابت، زاویهٔ سمت‌الرأس (zenith angle) از قسمت مثبت محور z و زاویهٔ گرایی (azimuth angle) از قسمت مثبت محور x.

مشخصات[ویرایش]

دستگاه مختصات کروی، دستگاه مختصاتی با سه مختصه‌است:

  • مختصه (یا ) که روی کره‌های هم مرکز حول مبدأ است.
  • مختصه روی مخروط‌های دوار قائم حول محور با راس واقع در مبدأ.
  • مختصه که روی نیم صفحاتی که از محور قطبی می‌گذرد.

در فیزیک بنا به سنت جای و معکوس است یعنی زاویه با محور است.

محدوده مختصات[ویرایش]

سه مختصه در محدوده‌های زیر می‌توانند باشند:

  • مختصه (یا ):
  • مختصه زاویه قطبی :
  • مختصه زاویه سمتی :

رابطه با مختصات دکارتی[ویرایش]

مختصات دستگاه کروی را با استفاده از روابط زیر به دستگاه مختصات دکارتی می‌توان تبدیل کرد:

  • برای مختصه :
  • برای مختصه زاویه قطبی :
  • برای مختصه زاویه سمتی :

مختصات دکارتی نیز را با روابط زیر می‌توان به دستگاه مختصات کروی برد:

  • مختصه :
  • مختصه :
  • مختصه :

حساب برداری[ویرایش]

  • بردار در مختصات کروی به صورت زیر نمایش داده می‌شود:
  • کرل بردار در دستگاه کروی:

تبدیل‌های دستگاه مختصات[ویرایش]

دستگاه مختصات جغرافیایی[ویرایش]

دستگاه مختصات جغرافیایی بک مدل دیگر از دستگاه مختصات کروی است که کاربرد اصلی آن در جغرافیا است اما در ریاضیات و فیزیک نیز استفاده‌هایی دارد. در جغرافی، ρ معمولاً حذف یا با مقداری که ارتفاع یا بلندی از سطح دریا را نشان می‌دهد جایگزین می‌شود.

عرض جغرافیایی ، مکمل سمت‌الرأس یا متمم عرض جغرافیایی است و می‌تواند با این روابط تبدیل شود:

یا

با این وجود عرض جغرافیایی عمدتاً با φ نیز نمایش داده می‌شود. این، یک زاویه سمت‌الرأس را که از صفحهٔ xy سرچشمه می‌گیرد با دامنهٔ ‎ -۹۰° ≤ φ ≤ ۹۰° ‏ بیان می‌کند. طول جغرافیایی به وسیلهٔ درجه به شرق یا به غرب از °۰ اندازه‌گیری می‌شود، بنابراین دامنه‌اش ‎ -۱۸۰° ≤ θ ≤ ۱۸۰° ‏ است.

دیفرانسیل‌ها[ویرایش]

  • دیفرانسیل خطی:
  • دیفرانسیل سطحی:
  • دیفرانسیل حجمی:

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]