فهرست اتحادهای مثلثاتی

مثلثات
تاریخ کاربرد توابع تعمیم یافته توابع وارون مطالعه بیشتر
منابع
اتحادها مقدارهای دقیق جدول‌ها
قوانین و قضایا
قانون سینوس‌ها قانون کسینوس‌ها قانون تانژانت‌ها قانون کتانژانت‌ها قضیه فیثاغورس
حساب دیفرانسیل و انتگرال
جانشینی مثلثاتی انتگرال توابع مشتق توابع انتگرال توابع وارون

قضیه فیثاغورس

$\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$$\cos ^{{2}}\theta +\sin ^{{2}}\theta =1$

$1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta$$1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta$

$1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta$$1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta$

تبدیل زاویه

جمع و تفاضل دو زاویه

کسینوس

$\cos(\theta +\beta )=\cos \theta .\cos \beta -\sin \theta .\sin \beta \,$$\cos(\theta +\beta )=\cos \theta .\cos \beta -\sin \theta .\sin \beta \,$

$\cos(\theta -\beta )=\cos \theta .\cos \beta +\sin \theta .\sin \beta \,$$\cos(\theta -\beta )=\cos \theta .\cos \beta +\sin \theta .\sin \beta \,$

سینوس

$\sin(\theta +\beta )=\sin \theta .\cos \beta +\cos \theta .\sin \beta \,$$\sin(\theta +\beta )=\sin \theta .\cos \beta +\cos \theta .\sin \beta \,$

$\sin(\theta -\beta )=\sin \theta .\cos \beta -\cos \theta .\sin \beta \,$$\sin(\theta -\beta )=\sin \theta .\cos \beta -\cos \theta .\sin \beta \,$

تانژانت

$\tan(\theta +\beta )={\frac {\tan \theta +\tan \beta }{1-\tan \theta .\tan \beta }}\,$$\tan(\theta +\beta )={\frac {\tan \theta +\tan \beta }{1-\tan \theta .\tan \beta }}\,$

$\tan(\theta -\beta )={\frac {\tan \theta -\tan \beta }{1+\tan \theta .\tan \beta }}\,$$\tan(\theta -\beta )={\frac {\tan \theta -\tan \beta }{1+\tan \theta .\tan \beta }}\,$

کتانژانت

$\cot(\theta +\beta )={\frac {\cot \theta .\cot \beta -1}{\cot \theta +\cot \beta }}\,$$\cot(\theta +\beta )={\frac {\cot \theta .\cot \beta -1}{\cot \theta +\cot \beta }}\,$

$\cot(\theta -\beta )={\frac {\cot \theta .\cot \beta +1}{\cot \theta -\cot \beta }}\,$$\cot(\theta -\beta )={\frac {\cot \theta .\cot \beta +1}{\cot \theta -\cot \beta }}\,$

زاویه دو برابر

$\cos 2a=\cos ^{2}a-\sin ^{2}a=2\cos ^{2}a-1=1-2\sin ^{2}a\,$$\cos 2a=\cos ^{2}a-\sin ^{2}a=2\cos ^{2}a-1=1-2\sin ^{2}a\,$

$\sin 2a=2\sin a.\cos a\,$$\sin 2a=2\sin a.\cos a\,$

$\tan 2a={\frac {2\tan a}{1-\tan ^{2}a}}$$\tan 2a={\frac {2\tan a}{1-\tan ^{2}a}}$

$\cot 2a={\frac {\cot ^{2}a-1}{2\cot a}}$$\cot 2a={\frac {\cot ^{2}a-1}{2\cot a}}$

زاویه سه برابر

$\sin 3a=-\sin ^{3}a+3\cos ^{2}a\sin a=-4\sin ^{3}a+3\sin a$$\sin 3a=-\sin ^{3}a+3\cos ^{2}a\sin a=-4\sin ^{3}a+3\sin a$

$\cos 3a=\cos ^{3}a-3\sin ^{2}a\cos a=4\cos ^{3}a-3\cos a$$\cos 3a=\cos ^{3}a-3\sin ^{2}a\cos a=4\cos ^{3}a-3\cos a$

$\tan 3a={\frac {3\tan a-\tan ^{3}a}{1-3\tan ^{2}a}}$$\tan 3a={\frac {3\tan a-\tan ^{3}a}{1-3\tan ^{2}a}}$

$\cot 3a={\frac {3\cot a-\cot ^{3}a}{1-3\cot ^{2}a}}$$\cot 3a={\frac {3\cot a-\cot ^{3}a}{1-3\cot ^{2}a}}$

نصف کمان

$\cos a={\sqrt {{\frac {1}{2}}\ (1+\cos 2a)}}$$\cos a={\sqrt {{\frac {1}{2}}\ (1+\cos 2a)}}$

$\sin a={\sqrt {{\frac {1}{2}}\ (1-\cos 2a)}}$$\sin a={\sqrt {{\frac {1}{2}}\ (1-\cos 2a)}}$

تبدیل ضرب به جمع

$\cos a.\cos b={\frac {1}{2}}(\cos(a+b)+\cos(a-b))$$\cos a.\cos b={\frac {1}{2}}(\cos(a+b)+\cos(a-b))$

$\sin a.\sin b={\frac {1}{2}}(\cos(a-b)-\cos(a+b))$$\sin a.\sin b={\frac {1}{2}}(\cos(a-b)-\cos(a+b))$

$\sin a.\cos b={\frac {1}{2}}(\sin(a+b)+\sin(a-b))$$\sin a.\cos b={\frac {1}{2}}(\sin(a+b)+\sin(a-b))$

تبدیل جمع به ضرب

$\cos a+\cos b=2\cos {\frac {a+b}{2}}.\cos {\frac {a-b}{2}}\,$$\cos a+\cos b=2\cos {\frac {a+b}{2}}.\cos {\frac {a-b}{2}}\,$

$\cos a-\cos b=-2\sin {\frac {a+b}{2}}.\sin {\frac {a-b}{2}}\,$$\cos a-\cos b=-2\sin {\frac {a+b}{2}}.\sin {\frac {a-b}{2}}\,$

$\sin a+\sin b=2\sin {\frac {a+b}{2}}.\cos {\frac {a-b}{2}}\,$$\sin a+\sin b=2\sin {\frac {a+b}{2}}.\cos {\frac {a-b}{2}}\,$

$\sin a-\sin b=2\cos {\frac {a+b}{2}}.\sin {\frac {a-b}{2}}\,$$\sin a-\sin b=2\cos {\frac {a+b}{2}}.\sin {\frac {a-b}{2}}\,$

جمع سینوس و کسینوس یک زاویه

$\sin \theta +\cos \theta ={\sqrt {2}}\sin \left({\frac {\pi }{4}}+\theta \right)$$\sin \theta +\cos \theta ={\sqrt {2}}\sin \left({\frac {\pi }{4}}+\theta \right)$

منابع

آرتور کاکسفورد، ترجمه عادل ارشقی. اصول و کاربردهای مثلثات. انتشارات رسا.  بهمن اصلاح پذیر. حسابان. شرکت چاپ و نشر کتاب های درسی ایران.