قانون سینوس‌ها

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
یک مثلث دلخواه.

در مثلثات، قانون سینوس‌ها معادله‌ای است که میان طول ضلع هر مثلث دلخواه و زاویهٔ مقابل آن ضلع رابطه برقرار می‌کند؛ این قانون عبارت است از:

که a و b و c به ترتیب ضلع‌های مثلث و و و به ترتیب زاویه‌های مقابل به هر ضلع اند. هنگامی که دو زاویه و یک ضلع مثلث را داشته باشیم از قانون سینوس‌ها استفاده می‌کنیم تا طول ضلع‌های دیگر مثلث را بدست آوریم.

پیشینه[ویرایش]

قانون کروی سینوس‌ها در قرن ۱۰ میلادی کشف شد. این قانون را بیشتر به ابومحمود حامدبن خضر خجندی، ابوالوفای بوزجانی، خواجه نصیر طوسی و ابونصر منصور[۱] نسبت می‌دهند.

الجیانی در قرن ۱۱ میلادی کتابی نوشت با عنوان «کتاب کمان‌های ناشناخته در کره» (به انگلیسی: The book of unknown arcs of a sphere) و در آن به معرفی کلی قانون سینوس‌ها پرداخت.[۲] پس از او در قرن ۱۳ میلادی خواجه نصیر الدین طوسی به بیان این قانون میان صفحه‌ها پرداخت. او در کتابی با عنوان انگلیسی On the Sector Figure قانون سینوس‌ها را برای صفحه‌ها و مثلث‌های کروی بیان کرد و برای قانونش اثبات‌هایی را ارائه کرد.[۳]

نمونه[ویرایش]

در ادامه روش استفاده از قانون سینوس‌ها برای حل یک مسئله گفته شده‌است.

نمونه

اگر فرض کنیم: ضلع‌های a = ۴۰ و c = ۴۸ و زاویهٔ C = ۴۰° باشد، با استفاده از قانون سینوس‌ها می‌توان نتیجه گرفت که:

رابطه با دایرهٔ محیطی مثلث[ویرایش]

یک مثلث دلخواه محاط در دایره.

اگر داشته باشیم:

،

مقدار تک تک کسرهایی که در قانون سینوس‌ها نوشته می‌شود برابر است با قطر دایرهٔ محیطی مثلث می‌توان نشان داد که این مقدار خود برابر است با:

که در آن S مساحت مثلث است و p برابر با نصف محیط می‌باشد. همچنین رابطهٔ فرمول هرون بود که از آن در بالا استفاده شد.

حالت مبهم برای مثلث[ویرایش]

وقتی از قانون سینوس‌ها استفاده می‌کنیم تا زاویه‌های یک مثلث را بدست آوریم، حالت‌هایی وجود دارند که ابهام برانگیزند و ما به جای یک جواب به دو جواب (دو مثلث) می‌رسیم.

Sine Law - Ambiguous Case.svg

اگر ABC یک مثلث دلخواه باشد اگر شرایط زیر اتفاق افتد:

  • اطلاعات ما دربارهٔ مثلث تنها زاویهٔ A و ضلع‌های a و b باشد.
  • زاویهٔ A یک زاویهٔ تند باشد (کوچکتر از ۹۰ درجه).
  • ضلع a کوچکتر از ضلع b باشد (a <b).
  • ضلع a بزرگتر از ارتفاع مثلث راست‌گوشه با زاویهٔ A و وتر b باشد (a> b sin A).

اگر تمام شرط‌های بالا برقرار باشد، بسته به اینکه زاویهٔ B تند است یا باز، یکی از جواب‌های بدست آمده درست خواهد بود.

یا

حالت کلی در فضای اقلیدوسی[ویرایش]

چهاروجهی A۱A۲A۳A۴ را در فضای اقلیدوسی در نظر بگیرید. در شکل مقابل اطلاعات مربوط به زاویه‌ها و ضلع مقابل به هر گوشه نشان داده شده‌است:

گوشه‌ها و ضلع‌های چهاروجهی.
  • ضلع مقابل به گوشهٔ .
  • صفحه‌ای که بر روی آن قرار دارد.
  • زاویهٔ میان دو سطح .


سینوس زاویهٔ دو سطحی که بوسیلهٔ گوشهٔ A۱ بوجود آمده به روش زیر بدست می‌آید:

  •  ;

برای دیگر زاویه‌ها هم به روش بالا بدست می‌آید. بنابراین:

،

که در آن V حجم چهاروجهی است.[۴]

حالت کلی قانون سینوس‌ها در هندسهٔ نااقلیدوسی[ویرایش]

مثلث کروی با ضلع‌های کاهش یافتهٔ a و b و c و زاویه‌های α و β و γ.

برای صفحه‌ای در هندسهٔ نااقلیدوسی با انحنای K و شعاع انحنای ρ، خواهیم داشت که:

.

حال ابعاد کاهش یافتهٔ مثلث از رابطه‌های زیر بدست می‌آید:

،
،
.

در حالتی که یک مثلث کروی داشته باشیم، اندازهٔ a و b و c برابر است با اندازهٔ زاویهٔ مقابل به کمان‌های بزرگ [BC] و [AC] و [AB] (شکل روبرو).

هندسهٔ کروی[ویرایش]

در یک مثلث کروی مانند ABC با شعاع ρ که بر روی کره‌ای با مرکز O کشیده شده‌است، قانون سینوس‌ها به صورت زیر نوشته می‌شود:

،

که در آن VOABC حجم چهاروجهی OABC است و α و β و γ سه زاویهٔ تشکیل شده در مرکز کره‌اند

هندسهٔ هذلولوی[ویرایش]

در هندسهٔ هذلولوی هنگامی که انحنا ۱- باشد، قانون سینوس‌ها به صورت زیر نوشته می‌شود:

.

در حالت ویژه‌ای که زاویهٔ راست‌گوشه (۹۰ درجه) باشد، خواهیم داشت:

منابع[ویرایش]

  • مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Law of sines»، ویکی‌پدیای انکلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۱۶ اوت ۲۰۱۱).
  1. Sesiano just lists al-Wafa as a contributor. Sesiano, Jacques (۲۰۰۰) «Islamic mathematics» pp. ۱۳۷— , page 157, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 1402002602 
  2. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani", بایگانی تاریخچه ریاضیات مک‌تیوتر, دانشگاه سنت اندروز .
  3. Berggren, J. Lennart (2007). "Mathematics in Medieval Islam". The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. p. 518. ISBN 9780691114859. 
  4. مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Loi des sinus»، ویکی‌پدیای فرانسه، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۱۶ اوت ۲۰۱۱).

جستارهای وابسته[ویرایش]