قانون سینوس‌ها

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
یک مثلث دلخواه.

در مثلثات، قانون سینوس‌ها معادله‌ای است که میان طول ضلع هر مثلث دلخواه و زاویهٔ مقابل آن ضلع رابطه برقرار می‌کند؛ این قانون عبارت است از:

 \frac{a}{\sin (\alpha)} = \frac{b}{\sin (\beta)} = \frac{c}{\sin (\gamma)}

که a و b و c به ترتیب ضلع‌های مثلث و \alpha و \beta و \gamma به ترتیب زاویه‌های مقابل به هر ضلع اند. هنگامی که دو زاویه و یک ضلع مثلث را داشته باشیم از قانون سینوس‌ها استفاده می‌کنیم تا طول ضلع‌های دیگر مثلث را بدست آوریم.

پیشینه[ویرایش]

قانون کروی سینوس‌ها در قرن ۱۰ میلادی کشف شد. این قانون را بیشتر به ابومحمود حامدبن خضر خجندی، ابوالوفای بوزجانی، خواجه نصیر طوسی و ابونصر منصور[۱] نسبت می‌دهند.

الجیانی در قرن ۱۱ میلادی کتابی نوشت با عنوان «کتاب کمان‌های ناشناخته در کره» (به انگلیسی: The book of unknown arcs of a sphere) و در آن به معرفی کلی قانون سینوس‌ها پرداخت.[۲] پس از او در قرن ۱۳ میلادی خواجه نصیر الدین طوسی به بیان این قانون میان صفحه‌ها پرداخت. او در کتابی با عنوان انگلیسی On the Sector Figure قانون سینوس‌ها را برای صفحه‌ها و مثلث‌های کروی بیان کرد و برای قانونش اثبات‌هایی را ارائه کرد.[۳]

نمونه[ویرایش]

در ادامه روش استفاده از قانون سینوس‌ها برای حل یک مسئله گفته شده‌است.

نمونه

اگر فرض کنیم: ضلع‌های a = ۴۰ و c = ۴۸ و زاویهٔ C = ۴۰° باشد، با استفاده از قانون سینوس‌ها می‌توان نتیجه گرفت که:

\frac{\sin A}{20} = \frac{\sin 40^\circ}{24}.
 A = \arcsin\left(\frac{20\sin 40^\circ}{24} \right) \cong 32.39^\circ.

رابطه با دایرهٔ محیطی مثلث[ویرایش]

یک مثلث دلخواه محاط در دایره.

اگر داشته باشیم:

\,\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = \frac{abc}{2 S} = 2R،

مقدار تک تک کسرهایی که در قانون سینوس‌ها نوشته می‌شود برابر است با قطر دایرهٔ محیطی مثلث می‌توان نشان داد که این مقدار خود برابر است با:

\begin{align}
\frac{abc} {2S} & {} = \frac{abc} {2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}} \\[6pt]
& {} = \frac {2abc} {\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}},
\end{align}

که در آن S مساحت مثلث است و p برابر با نصف محیط p = \frac{a+b+c} {2} می‌باشد. همچنین رابطهٔ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} فرمول هرون بود که از آن در بالا استفاده شد.

حالت مبهم برای مثلث[ویرایش]

وقتی از قانون سینوس‌ها استفاده می‌کنیم تا زاویه‌های یک مثلث را بدست آوریم، حالت‌هایی وجود دارند که ابهام برانگیزند و ما به جای یک جواب به دو جواب (دو مثلث) می‌رسیم.

Sine Law - Ambiguous Case.svg

اگر ABC یک مثلث دلخواه باشد اگر شرایط زیر اتفاق افتد:

  • اطلاعات ما دربارهٔ مثلث تنها زاویهٔ A و ضلع‌های a و b باشد.
  • زاویهٔ A یک زاویهٔ تند باشد (کوچکتر از ۹۰ درجه).
  • ضلع a کوچکتر از ضلع b باشد (a b sin A).

اگر تمام شرط‌های بالا برقرار باشد، بسته به اینکه زاویهٔ B تند است یا باز، یکی از جواب‌های بدست آمده درست خواهد بود.

B = \arcsin {b \sin A \over a}

یا

B= 180^\circ - \arcsin {b \sin A \over a}

حالت کلی در فضای اقلیدوسی[ویرایش]

چهاروجهی A۱A۲A۳A۴ را در فضای اقلیدوسی در نظر بگیرید. در شکل مقابل اطلاعات مربوط به زاویه‌ها و ضلع مقابل به هر گوشه نشان داده شده‌است:

گوشه‌ها و ضلع‌های چهاروجهی.
  • \,\mathrm S_k ضلع مقابل به گوشهٔ \,\mathrm A_k.
  • \,\Delta_k صفحه‌ای که \,\mathrm S_k بر روی آن قرار دارد.
  • \,\theta_{ij} زاویهٔ میان دو سطح \widehat{(\Delta_i, \Delta_j)}.


سینوس زاویهٔ دو سطحی که بوسیلهٔ گوشهٔ A۱ بوجود آمده به روش زیر بدست می‌آید:

  • \sin A_1 = \frac{\sqrt{1-\cos^2\theta_{23}-\cos^2\theta_{24}-\cos^2\theta_{34}-2\cos\theta_{23}\cos\theta_{24}\cos\theta_{34}}}{\sin\theta_{23}\sin\theta_{24}\sin\theta_{34}} ;

برای دیگر زاویه‌ها هم به روش بالا بدست می‌آید. بنابراین:

 \frac{S_1}{\sin A_1} = \frac{S_2}{\sin A_2} = \frac{S_3}{\sin A_3} = \frac{S_4}{\sin A_4} = \frac{2S_1S_2S_3S_4}{9V}،

که در آن V حجم چهاروجهی است.[۴]

حالت کلی قانون سینوس‌ها در هندسهٔ نااقلیدوسی[ویرایش]

مثلث کروی با ضلع‌های کاهش یافتهٔ a و b و c و زاویه‌های α و β و γ.

برای صفحه‌ای در هندسهٔ نااقلیدوسی با انحنای K و شعاع انحنای ρ، خواهیم داشت که:

\,\rho = 1/\sqrt{|K|}.

حال ابعاد کاهش یافتهٔ مثلث از رابطه‌های زیر بدست می‌آید:

\,a = BC/\rho،
\,b = AC/\rho،
\,c = AB/\rho.

در حالتی که یک مثلث کروی داشته باشیم، اندازهٔ a و b و c برابر است با اندازهٔ زاویهٔ مقابل به کمان‌های بزرگ [BC] و [AC] و [AB] (شکل روبرو).

هندسهٔ کروی[ویرایش]

در یک مثلث کروی مانند ABC با شعاع ρ که بر روی کره‌ای با مرکز O کشیده شده‌است، قانون سینوس‌ها به صورت زیر نوشته می‌شود:

\frac{\sin a}{\sin\alpha} = \frac{\sin b}{\sin\beta} = \frac{\sin c}{\sin\gamma} = \frac{6 V_{\mathrm{OABC}}}{\rho^3\sin a\,\sin b\,\sin c} ،

که در آن VOABC حجم چهاروجهی OABC است و α و β و γ سه زاویهٔ تشکیل شده در مرکز کره‌اند

هندسهٔ هذلولوی[ویرایش]

در هندسهٔ هذلولوی هنگامی که انحنا ۱- باشد، قانون سینوس‌ها به صورت زیر نوشته می‌شود:

\frac{\sinh a}{\sin\alpha} = \frac{\sinh b}{\sin\beta} = \frac{\sinh c}{\sin\gamma}.

در حالت ویژه‌ای که زاویهٔ \beta راست‌گوشه (۹۰ درجه) باشد، خواهیم داشت:

\sin \gamma = \frac{\sinh c}{\sinh b} \,

منابع[ویرایش]

  • مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Law of sines»، ویکی‌پدیای انکلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۱۶ اوت ۲۰۱۱).
  1. Sesiano just lists al-Wafa as a contributor. Sesiano, Jacques (۲۰۰۰) «Islamic mathematics» pp. ۱۳۷— , page 157, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 1402002602 
  2. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani", MacTutor History of Mathematics archive, دانشگاه سنت اندروز .
  3. Berggren, J. Lennart (2007). "Mathematics in Medieval Islam". The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. p. 518. ISBN 9780691114859. 
  4. مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Loi des sinus»، ویکی‌پدیای فرانسه، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۱۶ اوت ۲۰۱۱).

جستارهای وابسته[ویرایش]