تابع بسل

توابع بسل اولین بار توسط دانیل برنولی تعریف شد و سپس فردریش بسل فرم عمومی آن را بررسی نمود. توابع بسل جواب‌هایِ معادله دیفرانسیل زیر می‌باشند:

$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(m^{2}x^{2}-\alpha ^{2})y=0$

معادلهٔ بسلی معادله‌ای است که از معادلات قابل‌حل با سری‌هاست و دارای نقطه تکین منظّم است. نقطهٔ $x=0$ یگانه نقطهٔ غیرعادی معادلهٔ فوق است. جواب‌های متعامد معادله اشتورم-لیوویل به توابع بسل معروفند.

تابعِ بسل اصلاح شده:

${\textstyle {\ce {x^2 {\frac {d^2 y}{dx^2}}+ x {\frac {dy}{dx}}- (x^2 + n^2)y = 0}}}$

در معادلهٔ بالا، $n$ یک عدد صحیح است که مرتبهٔ تابع بسل را مشخص می‌کند. به‌طورکلّی، توابع بسل از حل معادلات دیفرانسیل پاره‌ای لاپلاس و معادله هلمهولتز در مختصات استوانه‌ای و مختصات کروی بدست می‌آید. از این رو، این توابع در تئوری انتشار امواج و تئوری پتانسیل اهمیت به‌سزایی دارد، البته این توابع در حل معادلات ارتعاشات، معادلات رسانایی گرما و امواج الکترومغناطیس در مختصات استوانه‌ای ظاهر می‌شود.

تعریف

توابع بسل نوع اول آن دستهٔ از توابعی هستند که مربوط به $\alpha$ بوده و به‌عنوان عدد طبیعی منفی هستند که در صفر متناهی می‌باشد:

$J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }$

که $\Gamma (z)$ تابع گاما است که حالت کلّی فاکتوریل برای اعداد غیرطبیعی است.

نمودار توابع بسل از نوع اول، J_α(x)، به ازای مقادیر صحیح مرتبه α=۰٬۱,۲.

توابع بسل نوع دوم آن دسته توابعی هستند که در مبدأ مختصات (نقطه صفر) تکینه هستند:

$Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}$

نمودار توابع بسل از نوع دوّم، (Y_α(x، به‌ازای مقادیر صحیح مرتبهٔ a=۰,۱,۲.

منابع

• معادلات دیفرانسیل معمولی، صفار-اشراقی، ۸۴، ص. ۱۷۶، شابک ۹۶۴-۵۹۷۳-۱۳-۹