تابع گاما

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
تابع گاما در صفحه مختلط

تابع گاما تعمیم تابع فاکتوریل است از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد حقیقی و مختلط و برای یک عدد مختلط با بخش حقیقی مثبت به شکل زیر تعریف می‌شود:

در ضمن برای هر عدد طبیعی z داریم:

همچنین می‌توان ثابت کرد که:

این تابع در بسیاری از تابع‎های توزیع‎ احتمال ظاهر می‎شود و در زمینه‎های مختلفی از جمله آمار و احتمال کاربرد دارد.

تعریف[ویرایش]

تعریف اصلی[ویرایش]

نمایش این تابع با کاری از لژاندر است. اگر بخش حقیقی عدد مختلط مثبت باشد، در آن‎صورت انتگرال زیر:

مطلقا همگرا است. به این انتگرال، انتگرال اویلر نوع دوم نیز گفته می‎شود. انتگرال اویلر نوع اول، به نام تابع بتا شناخته می‎شود. با انتگرال‎گیری جزء‎به‎جزء می‎توان رابطه‎ی بازگشتی زیر را به دست آورد:

با توجه به این‎که به ازای های حقیقی و مثبت، از رابطه‎ی بالا نتیجه می‎شود:

دیگر تعریف‎ها[ویرایش]

دو ضرب نامتناهی زیر را که به ترتیب اویلر و وایرشتراس به‎دست آورده‎اند، تعریف‎های دیگری برای تابع گاما هستند:

که در آن ثابت اویلر-ماسکرونی نامیده می‎شود.

جستارهای وابسته[ویرایش]

نگارخانه[ویرایش]

منابع[ویرایش]

ایتیویکی