تابع گاما

تابع گاما در صفحه مختلط

تابع گاما تعمیم تابع فاکتوریل است از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد حقیقی و مختلط و برای یک عدد مختلط با بخش حقیقی مثبت به شکل زیر تعریف می‌شود:

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t$$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t$

در ضمن برای هر عدد طبیعی z داریم:

$\Gamma (z)=(z-1)!\,$$\Gamma (z)=(z-1)!\,$

همچنین می‌توان ثابت کرد که:

$\Gamma (z+1)=z.\Gamma (z)=z.(z-1)!\,$$\Gamma (z+1)=z.\Gamma (z)=z.(z-1)!\,$

این تابع در بسیاری از تابع‌های توزیع‌ احتمال ظاهر می‌شود و در زمینه‌های مختلفی از جمله آمار و احتمال کاربرد دارد.

تعریف

تعریف اصلی

نمایش این تابع با $\Gamma (t)$$\Gamma (t)$ کاری از لژاندر است. اگر بخش حقیقی عدد مختلط $t$$t$ مثبت باشد، در آن‌صورت انتگرال زیر:

$\Gamma (t)=\int _{0}^{\infty }x^{t-1}e^{-x},dx$$\Gamma (t)=\int _{0}^{\infty }x^{t-1}e^{-x},dx$

مطلقا همگرا است. به این انتگرال، انتگرال اویلر نوع دوم نیز گفته می‌شود. انتگرال اویلر نوع اول، به نام تابع بتا شناخته می‌شود. با انتگرال‌گیری جزء‌به‌جزء می‌توان رابطه‌ی بازگشتی زیر را به دست آورد:

$\Gamma (t+1)=t\Gamma (t)$$\Gamma (t+1)=t\Gamma (t)$

با توجه به این‌که $\Gamma (1)=1$$\Gamma (1)=1$ به ازای $n$$n$های حقیقی و مثبت، از رابطه‌ی بالا نتیجه می‌شود:

$\Gamma (n)=(n-1)!$$\Gamma (n)=(n-1)!$

دیگر تعریف‌ها

دو ضرب نامتناهی زیر را که به ترتیب اویلر و وایرشتراس به‌دست آورده‌اند، تعریف‌های دیگری برای تابع گاما هستند:

$\Gamma (t)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{t}}{t\;(t+1)\cdots (t+n)}}={\frac {1}{t}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{t}}{1+{\frac {t}{n}}}}$$\Gamma (t)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{t}}{t\;(t+1)\cdots (t+n)}}={\frac {1}{t}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{t}}{1+{\frac {t}{n}}}}$

$\Gamma (t)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{t}}{t\;(t+1)\cdots (t+n)}}={\frac {1}{t}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{t}}{1+{\frac {t}{n}}}}$$\Gamma (t)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{t}}{t\;(t+1)\cdots (t+n)}}={\frac {1}{t}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{t}}{1+{\frac {t}{n}}}}$

که در آن $\gamma \approx 0.577216$$\gamma \approx 0.577216$ ثابت اویلر-ماسکرونی نامیده می‌شود.

جستارهای وابسته

• تابع گامای ناکامل
• فاکتوریل

نگارخانه

• 
• 
• 

منابع

ایتیویکی

• Eric W. Weisstein, Gamma function at مث‌ورلد.