تابع گاما تعمیم تابع فاکتوریل است از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد حقیقی و مختلط و برای یک عدد مختلط با بخش حقیقی مثبت به شکل زیر تعریف می‌شود:[۱]
Γ
(
z
)
=
∫
0
∞
t
z
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t}
در ضمن برای هر عدد طبیعی z داریم:
Γ
(
z
)
=
(
z
−
1
)
!
{\displaystyle \Gamma (z)=(z-1)!\,}
همچنین می‌توان ثابت کرد که:
Γ
(
z
+
1
)
=
z
.
Γ
(
z
)
=
z
.
(
z
−
1
)
!
{\displaystyle \Gamma (z+1)=z.\Gamma (z)=z.(z-1)!\,}
این تابع در بسیاری از تابع‌های توزیع احتمال ظاهر می‌شود و در زمینه‌های مختلفی از جمله آمار و احتمال کاربرد دارد.[۱]
نمایش این تابع با
Γ
(
t
)
{\displaystyle \Gamma (t)}
لژاندر است. اگر بخش حقیقی عدد مختلط
t
{\displaystyle t}
Γ
(
t
)
=
∫
0
∞
x
t
−
1
e
−
x
,
d
x
{\displaystyle \Gamma (t)=\int _{0}^{\infty }x^{t-1}e^{-x},dx}
مطلقاً همگرا است. به این انتگرال، انتگرال اویلر نوع دوم نیز گفته می‌شود. انتگرال اویلر نوع اول، به نام تابع بتا شناخته می‌شود. با انتگرال‌گیری جزءبه‌جزء می‌توان رابطهٔ بازگشتی زیر را به دست آورد:[۱]
Γ
(
z
+
1
)
=
∫
0
∞
x
z
e
−
x
d
x
=
[
−
x
z
e
−
x
]
0
∞
+
∫
0
∞
z
x
z
−
1
e
−
x
d
x
=
lim
x
→
∞
(
−
x
z
e
−
x
)
−
(
0
e
−
0
)
+
z
∫
0
∞
x
z
−
1
e
−
x
d
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\int _{0}^{\infty }x^{z}e^{-x}\,dx\\&={\Big [}-x^{z}e^{-x}{\Big ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }zx^{z-1}e^{-x}\,dx\\&=\lim _{x\to \infty }(-x^{z}e^{-x})-(0e^{-0})+z\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx\end{aligned}}}
از آنجا که
x
→
∞
,
−
x
z
e
−
x
→
0
,
{\displaystyle x\to \infty ,-x^{z}e^{-x}\to 0,}
[۱]
Γ
(
z
+
1
)
=
z
∫
0
∞
x
z
−
1
e
−
x
d
x
=
z
Γ
(
z
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=z\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx\\&=z\Gamma (z)\end{aligned}}}
همچنین
Γ
(
1
)
{\displaystyle \Gamma (1)}
[۱]
Γ
(
1
)
=
∫
0
∞
x
1
−
1
e
−
x
d
x
=
[
−
e
−
x
]
0
∞
=
lim
x
→
∞
(
−
e
−
x
)
−
(
−
e
−
0
)
=
0
−
(
−
1
)
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (1)&=\int _{0}^{\infty }x^{1-1}e^{-x}\,dx\\&={\Big [}-e^{-x}{\Big ]}_{0}^{\infty }\\&=\lim _{x\to \infty }(-e^{-x})-(-e^{-0})\\&=0-(-1)\\&=1\end{aligned}}}
با توجه به این‌که
Γ
(
1
)
=
1
{\displaystyle \Gamma (1)=1}
n
{\displaystyle n}
[۱]
Γ
(
n
)
=
(
n
−
1
)
!
{\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}
دیگر تعریف‌ها [ ویرایش ] دو ضرب نامتناهی زیر را که به ترتیب لئونارد اویلر و وایرشتراس به‌دست آورده‌اند، تعریف‌های دیگری برای تابع گاما هستند:
Γ
(
t
)
=
lim
n
→
∞
n
!
n
t
t
(
t
+
1
)
⋯
(
t
+
n
)
=
1
t
∏
n
=
1
∞
(
1
+
1
n
)
t
1
+
t
n
{\displaystyle \Gamma (t)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{t}}{t\;(t+1)\cdots (t+n)}}={\frac {1}{t}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{t}}{1+{\frac {t}{n}}}}}
Γ
(
t
)
=
lim
n
→
∞
n
!
n
t
t
(
t
+
1
)
⋯
(
t
+
n
)
=
1
t
∏
n
=
1
∞
(
1
+
1
n
)
t
1
+
t
n
{\displaystyle \Gamma (t)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{t}}{t\;(t+1)\cdots (t+n)}}={\frac {1}{t}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{t}}{1+{\frac {t}{n}}}}}
که در آن
γ
≈
0.577216
{\displaystyle \gamma \approx 0.577216}
ثابت اویلر-ماسکرونی نامیده می‌شود.
وقتی
z
{\displaystyle z}
تقریب استرلینگ به شکل پایین محاسبه کرد،[۲]
∼
{\displaystyle \sim }
[۱]
z
→
∞
⇒
Γ
(
z
+
1
)
∼
2
π
z
(
z
e
)
z
{\displaystyle z\rightarrow \infty \Rightarrow \Gamma (z+1)\sim {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}}
خاصیت پایین برای اعداد مختلط به کار می‌رود:
Γ
(
z
)
¯
=
Γ
(
z
¯
)
⇒
Γ
(
z
)
Γ
(
z
¯
)
∈
R
{\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\;\Rightarrow \;\Gamma (z)\Gamma ({\overline {z}})\in \mathbb {R} }
به‌طور خاص اگر
z
=
a
+
b
i
{\displaystyle z=a+bi}
|
Γ
(
a
+
b
i
)
|
2
=
|
Γ
(
a
)
|
2
∏
k
=
0
∞
1
1
+
b
2
(
a
+
k
)
2
{\displaystyle |\Gamma (a+bi)|^{2}=|\Gamma (a)|^{2}\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1+{\frac {b^{2}}{(a+k)^{2}}}}}}
|
Γ
(
b
i
)
|
2
=
π
b
sinh
(
π
b
)
{\displaystyle |\Gamma (bi)|^{2}={\frac {\pi }{b\sinh {(\pi b)}}}}
|
Γ
(
1
2
+
b
i
)
|
2
=
π
cosh
(
π
b
)
{\displaystyle |\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+bi\right)|^{2}={\frac {\pi }{\cosh {(\pi b)}}}}
خاصیت انعکاس اویلری:
Γ
(
1
−
z
)
Γ
(
z
)
=
π
sin
(
π
z
)
,
z
∉
Z
{\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin {(\pi z)}},\qquad z\not \in \mathbb {Z} }
جستارهای وابسته [ ویرایش ] 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\int _{0}^{\infty }x^{z}e^{-x}\,dx\\&={\Big [}-x^{z}e^{-x}{\Big ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }zx^{z-1}e^{-x}\,dx\\&=\lim _{x\to \infty }(-x^{z}e^{-x})-(0e^{-0})+z\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/904b5ad975410f0e3388c7bc69e50c1ee7283358)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (1)&=\int _{0}^{\infty }x^{1-1}e^{-x}\,dx\\&={\Big [}-e^{-x}{\Big ]}_{0}^{\infty }\\&=\lim _{x\to \infty }(-e^{-x})-(-e^{-0})\\&=0-(-1)\\&=1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aee8222f3c83ac869643ecd5a28e154d862f418b)
