تابع گاما

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
تابع گاما در صفحه مختلط

تابع گاما تعمیم تابع فاکتوریل است از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد حقیقی و مختلط و برای یک عدد مختلط با بخش حقیقی مثبت به شکل زیر تعریف می‌شود:

 \Gamma(z) = \int_0^\infty  t^{z-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t

در ضمن برای هر عدد طبیعی z داریم:

 \Gamma(z) = (z-1)!\,

همچنین می‌توان ثابت کرد که:

 \Gamma(z+1) = z.\Gamma(z) = z.(z-1)!\,

این تابع در بسیاری از تابع‎های توزیع‎ احتمال ظاهر می‎شود و در زمینه‎های مختلفی از جمله آمار و احتمال کاربرد دارد.

تعریف[ویرایش]

تعریف اصلی[ویرایش]

نمایش این تابع با \Gamma(t) کاری از لژاندر است. اگر بخش حقیقی عدد مختلط t مثبت باشد، در آن‎صورت انتگرال زیر:

\Gamma(t) = \int_0^\infty x^{t-1} e^{-x} ,dx

مطلقا همگرا است. به این انتگرال، انتگرال اویلر نوع دوم نیز گفته می‎شود. انتگرال اویلر نوع اول، به نام تابع بتا شناخته می‎شود. با انتگرال‎گیری جزء‎به‎جزء می‎توان رابطه‎ی بازگشتی زیر را به دست آورد:

\Gamma(t+1) = t\Gamma(t)

با توجه به این‎که \Gamma(1) = 1 به ازای nهای حقیقی و مثبت، از رابطه‎ی بالا نتیجه می‎شود:

\Gamma(n) = (n-1)!

دیگر تعریف‎ها[ویرایش]

دو ضرب نامتناهی زیر را که به ترتیب اویلر و وایرشتراس به‎دست آورده‎اند، تعریف‎های دیگری برای تابع گاما هستند:


\Gamma(t) = \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^t}{t \; (t+1)\cdots(t+n)}
=  \frac{1}{t} \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^t}{1+\frac{t}{n}}

\Gamma(t) = \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^t}{t \; (t+1)\cdots(t+n)}
=  \frac{1}{t} \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^t}{1+\frac{t}{n}}

که در آن \gamma \approx 0.577216 ثابت اویلر-ماسکرونی نامیده می‎شود.

جستارهای وابسته[ویرایش]

نگارخانه[ویرایش]

منابع[ویرایش]