تابع گاما

تابع گاما در صفحه مختلط

تابع گاما تعمیم تابع فاکتوریل است از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد حقیقی و مختلط و برای یک عدد مختلط با بخش حقیقی مثبت به شکل زیر تعریف می‌شود:

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t$

در ضمن برای هر عدد طبیعی z داریم:

$\Gamma (z)=(z-1)!\,$

همچنین می‌توان ثابت کرد که:

$\Gamma (z+1)=z.\Gamma (z)=z.(z-1)!\,$

این تابع در بسیاری از تابع‌های توزیع احتمال ظاهر می‌شود و در زمینه‌های مختلفی از جمله آمار و احتمال کاربرد دارد.

تعریف

تعریف اصلی

نمایش این تابع با $\Gamma (t)$ کاری از لژاندر است. اگر بخش حقیقی عدد مختلط $t$ مثبت باشد، در آن‌صورت انتگرال زیر:

$\Gamma (t)=\int _{0}^{\infty }x^{t-1}e^{-x},dx$

مطلقا همگرا است. به این انتگرال، انتگرال اویلر نوع دوم نیز گفته می‌شود. انتگرال اویلر نوع اول، به نام تابع بتا شناخته می‌شود. با انتگرال‌گیری جزءبه‌جزء می‌توان رابطهٔ بازگشتی زیر را به دست آورد:

${\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\int _{0}^{\infty }x^{z}e^{-x}\,dx\\&={\Big [}-x^{z}e^{-x}{\Big ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }zx^{z-1}e^{-x}\,dx\\&=\lim _{x\to \infty }(-x^{z}e^{-x})-(0e^{-0})+z\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx\end{aligned}}$

از آنجا که $x\to \infty ,-x^{z}e^{-x}\to 0,$ از معادله خط پیشین به معادله می‌رسیم:

${\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=z\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx\\&=z\Gamma (z)\end{aligned}}$

همچنین $\Gamma (1)$ را با معادله پایین می‌شود بدست آورد:

${\begin{aligned}\Gamma (1)&=\int _{0}^{\infty }x^{1-1}e^{-x}\,dx\\&={\Big [}-e^{-x}{\Big ]}_{0}^{\infty }\\&=\lim _{x\to \infty }(-e^{-x})-(-e^{-0})\\&=0-(-1)\\&=1\end{aligned}}$

با توجه به این‌که $\Gamma (1)=1$ به ازای $n$های حقیقی و مثبت، از رابطهٔ بالا نتیجه می‌شود:

$\Gamma (n)=(n-1)!$

دیگر تعریف‌ها

دو ضرب نامتناهی زیر را که به ترتیب لئونارد اویلر و وایرشتراس به‌دست آورده‌اند، تعریف‌های دیگری برای تابع گاما هستند:

$\Gamma (t)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{t}}{t\;(t+1)\cdots (t+n)}}={\frac {1}{t}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{t}}{1+{\frac {t}{n}}}}$

$\Gamma (t)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{t}}{t\;(t+1)\cdots (t+n)}}={\frac {1}{t}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{t}}{1+{\frac {t}{n}}}}$

که در آن $\gamma \approx 0.577216$ ثابت اویلر-ماسکرونی نامیده می‌شود.

خواص

• وقتی $z$به سمت بینهایت میل می‌کند تابع گاما را می‌توان با تقریب استرلینگ به شکل پایین محاسبه کرد، در این معادله $\sim$ به این معنی است که حاصل تقسیم سمت چپ و راست به عدد یک میل می‌کند:
  • $z\rightarrow \infty \Rightarrow \Gamma (z+1)\sim {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}$
• خاصیت پایین برای اعداد مختلط به کار می‌رود:
  • ${\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\;\Rightarrow \;\Gamma (z)\Gamma ({\overline {z}})\in \mathbb {R}$
  • بطور خاص اگر $z=a+bi$ باشد آنگاه:

    $|\Gamma (a+bi)|^{2}=|\Gamma (a)|^{2}\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1+{\frac {b^{2}}{(a+k)^{2}}}}}$

    $|\Gamma (bi)|^{2}={\frac {\pi }{b\sinh {(\pi b)}}}$

    $|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+bi\right)|^{2}={\frac {\pi }{\cosh {(\pi b)}}}$

• خاصیت انعکاس اویلری:
  • $\Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin {(\pi z)}},\qquad z\not \in \mathbb {Z}$

جستارهای وابسته

• تابع گامای ناکامل
• فاکتوریل
• انتگرال بارنس

نگارخانه

• 
• 
• 

منابع

• Eric W. Weisstein, Gamma function at مث‌ورلد.