از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
حرکت یک پالس در ریسمانی که دو سر آن ثابت است. مدل نمایش داده شده با استفاده از معادله موج بدست آمده است.
معادله موج (Wave equation) معادله‌ای خطی و کلاسیک از نوع معادلات دیفرانسیل هذلولوی پاره‌ای است. در حالت دو بعدی (نسبت به مکان ) معادلهٔ درجهٔ دوم موج به صورت زیر نمایش داده می‌شود:
∂
2
u
∂
t
2
=
c
2
∇
2
u
{\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}\nabla ^{2}u\!}
که در اینجا
∇
2
=
∂
2
u
∂
x
2
+
∂
2
u
∂
y
2
{\displaystyle \nabla ^{2}={\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}\!}
عملگر لاپلاس ،
t
{\displaystyle t\!}
زمان ،
u
{\displaystyle u\!}
دامنهٔ موج ، و
c
{\displaystyle c\!}
به عنوان تعمیمی از معادلهٔ خطی موج، می‌توان سرعت را تابعی از دامنه موج گرفت. در این حالت، معادلهٔ غیرخطی موج خواهیم داشت
∂
2
u
∂
t
2
=
c
(
u
)
2
∇
2
u
{\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c(u)^{2}\nabla ^{2}u}
معادله درجهٔ اول موج [ ویرایش ] امواج کروی صادره از یک منبع نقطه‌ای.
(در حالت یک‌بعدی نسبت به‌مکان ) معادلهٔ درجهٔ دوم بالا را می‌توانیم به دو معادله درجه اول موج به‌صورت زیر قسمت کنیم:
[
∂
∂
t
−
c
∂
∂
x
]
[
∂
∂
t
+
c
∂
∂
x
]
u
=
0
{\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}-c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]u=0}
⇓
{\displaystyle {\Big \Downarrow }}
∂
u
∂
t
−
c
∂
u
∂
x
=
0
and
∂
u
∂
t
+
c
∂
u
∂
x
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-c{\frac {\partial u}{\partial x}}=0\qquad {\mbox{and}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial t}}+c{\frac {\partial u}{\partial x}}=0}
در حالت یک بعدی داریم:
∂
2
u
∂
t
2
−
c
2
∂
2
u
∂
x
2
=
0
{\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}-c^{2}{\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}=0\!}
برای حل مسئله ابتدا تغییر متغیر زیر را انجام می‌دهیم:
x
+
c
t
=
ξ
{\displaystyle x+ct=\xi \!}
x
−
c
t
=
η
{\displaystyle x-ct=\eta \!}
به سادگی می‌توان نشان داد که در دستگاه مختصات جدید
ξ
{\displaystyle \xi \!}
η
{\displaystyle \eta \!}
u
ξ
η
=
∂
2
u
∂
ξ
∂
η
=
0
{\displaystyle u_{\xi \eta }={\partial ^{2}u \over \partial \xi \,\partial \eta }=0\!}
که با انتگرال‌گیری ازآن داریم:
u
=
f
(
ξ
)
+
g
(
η
)
{\displaystyle u=f(\xi )+g(\eta )\!}
که در اینجا
f
{\displaystyle f\!}
g
{\displaystyle g\!}
جواب سینوسی [ ویرایش ] یک جواب معادلهٔ موج می‌تواند به این شکل باشد:
u
(
x
,
t
)
=
A
sin
(
k
x
−
ω
t
+
ϕ
)
{\displaystyle u(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\phi )\,}
k
{\displaystyle k}
عدد موج ،
ω
{\displaystyle \omega }
سرعت زاویه‌ای ،
λ
{\displaystyle \lambda }
طول موج ،
ϕ
{\displaystyle \phi }
T
{\displaystyle T}
دوره تناوب و
f
{\displaystyle f}
ω
=
2
π
T
=
2
π
f
,
k
=
2
π
λ
,
c
=
λ
T
{\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}=2\pi f\quad ,\quad k={\frac {2\pi }{\lambda }}\quad ,\quad c={\frac {\lambda }{T}}}
سرعت فاز و سرعت گروه [ ویرایش ] جایی که (A(z,t پوشش دامنه‌ای که برای موج داریم و K تعداد موج و
ϕ
{\displaystyle \phi }
v p
v
p
=
ω
k
=
λ
f
,
{\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{k}}=\lambda f,\,}
λ
{\displaystyle \lambda }
جستارهای وابسته [ ویرایش ]
Farlow, S. J., Partial Differential Equations for Scientists and Engieers , Dover, New York, 1982
Smoller, J., Shock Waves and Reaction - Diffusion Equations , Springer-Verlag, New York, Inc., 1983. ISBN 0-387-90752-1
![{\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}-c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]u=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64871fbed80a7f222c71a96de523a60a71bf9a23)
