معادله موج

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
حرکت یک پالس در ریسمانی که دو سر آن ثابت است. مدل نمایش داده شده با استفاده از معادله موج بدست آمده است.

معادله موج (Wave equation) معادله‌ای خطی و کلاسیک از نوع معادلات دیفرانسیل هذلولوی پاره‌ای است. در حالت دو بعدی (نسبت به مکان) معادلهٔ درجهٔ دوم موج به صورت زیر نمایش داده می‌شود:

که در اینجا عملگر لاپلاس، زمان، دامنهٔ موج، و ضریبی است ثابت برابر با سرعت موج.

به عنوان تعمیمی از معادلهٔ خطی موج، می‌توان سرعت را تابعی از دامنه موج گرفت. در این حالت، معادلهٔ غیرخطی موج خواهیم داشت:

معادله درجهٔ اول موج[ویرایش]

امواج کروی صادره از یک منبع نقطه‌ای.

(در حالت یک‌بعدی نسبت به‌مکان) معادلهٔ درجهٔ دوم بالا را می‌توانیم به دو معادله درجه اول موج به‌صورت زیر قسمت کنیم:

جواب‌ها[ویرایش]

در حالت یک بعدی داریم:

برای حل مسئله ابتدا تغییر متغیر زیر را انجام می‌دهیم:

،

به سادگی می‌توان نشان داد که در دستگاه مختصات جدید و معادله موج به صورت زیر در می‌آید:

که با انتگرال‌گیری ازآن داریم:

که در اینجا و توابع دلخواه (ولی مشتق‌پذیر) هستند.

جواب سینوسی[ویرایش]

یک جواب معادله‌ٔ موج می‌تواند به این شکل باشد:

عدد موج، سرعت زاویه‌ای، طول موج، فاز، دوره تناوب و بسامد حرکت نوسانی نام دارند.

سرعت فاز و سرعت گروه[ویرایش]

جایی که (A(z,t پوشش دامنه‌ای که برای موج داریم و K تعداد موج و نمایانگر فاز موج است. سرعت فاز vp این موج توسط نشان داده می‌شود. ( نمایانگر طول موج است.

پانوشته‌ها[ویرایش]


جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  • Farlow, S. J., Partial Differential Equations for Scientists and Engieers, Dover, New York, 1982
  • Smoller, J., Shock Waves and Reaction - Diffusion Equations, Springer-Verlag, New York, Inc., 1983. ISBN 0-387-90752-1