مدار بیضی

پویانمایی مدار بر اساس خروج از مرکز

دو جسم با جرم مشابه که به دور یک مرکز سنگینی سراسری مشترک در مدارهای بیضی‌گون می‌چرخند.

دو جسم با جرم نابرابر که به دور یک مرکز سنگینی سراسری مشترک در مدارهای دایره‌ای می‌چرخند.

دو جسم با جرم بسیار نابرابر که به دور یک مرکز سنگینی سراسری مشترک در مدارهای دایره‌ای می‌چرخند.

یک مدار بیضی‌گون در ربع بالا-راست این نمودار نشان داده شده است، جایی که چاه گرانشی جرم مرکزی، انرژی پتانسیل را نشان می‌دهد و انرژی جنبشی سرعت مداری با رنگ قرمز مشخص شده است. ارتفاع انرژی جنبشی با کاهش سرعت جسم در حال گردش و افزایش فاصله، مطابق با قوانین کپلر، کاهش می‌یابد.

در اخترپویاشناسی یا مکانیک سماوی، یک مدار بیضی‌گون یا مدار خارج از مرکز، مداری با خروج از مرکز کمتر از ۱ است؛ این شامل حالت خاص مدار دایره‌ای، با خروج از مرکز برابر با ۰ نیز می‌شود. برخی مدارها در صورتی که خروج از مرکز «بالا» باشد، به عنوان «مدارهای کشیده» نامیده شده‌اند، اما این یک اصطلاح توصیفی نیست. برای مسئله دو جسم ساده، تمام مدارها بیضی‌شکل هستند.

در یک مسئله دو جسم گرانشی، هر دو جسم مدارهای بیضی‌گون مشابهی را با دوره تناوب مداری یکسان به دور مرکز سنگینی سراسری مشترک خود دنبال می‌کنند. موقعیت نسبی یک جسم نسبت به دیگری نیز از یک مدار بیضی‌گون پیروی می‌کند.

نمونه‌هایی از مدارهای بیضی‌گون شامل مدار انتقال هوهمان، مدار مولنیا و مدار توندرا است.

سرعت

تحت مفروضات استاندارد، یعنی هیچ نیروی دیگری به جز دو جسم کروی متقارن $(m_{1})$ و $(m_{2})$ وجود نداشته باشد، سرعت مداری ($v\,$) یک جسم که در یک مدار بیضی‌گون حرکت می‌کند، را می‌توان از معادله ویس-ویوا به صورت زیر محاسبه کرد:

$v={\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)}}$

که در آن:

• $\mu \,$ پارامتر گرانشی استاندارد، $G(m_{1}+m_{2})$ است که اغلب زمانی که یک جسم بسیار بزرگ‌تر از دیگری باشد، به صورت $GM$ بیان می‌شود.
• $r\,$ فاصله بین مرکز جرم دو جسم است.
• $a\,\!$ طول نیم‌قطر بزرگ است.

معادله سرعت برای یک مسیر هذلولوی یا دارای جمله $+{\frac {1}{a}}$ است، یا با این قرارداد که در آن حالت $a$ منفی است، مشابه همین معادله خواهد بود.

دوره تناوب مداری

تحت مفروضات استاندارد، دوره تناوب مداری ($T\,\!$) یک جسم که در امتداد یک مدار بیضی‌گون حرکت می‌کند را می‌توان به صورت زیر محاسبه کرد:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}$

که در آن:

• $\mu$ پارامتر گرانشی استاندارد است.
• $a\,\!$ طول نیم‌قطر بزرگ است.

نتایج:

• دوره تناوب مداری برابر با دوره تناوب یک مدار دایره‌ای است که شعاع مداری آن برابر با نیم‌قطر بزرگ ($a\,\!$) باشد.
• برای یک نیم‌قطر بزرگ معین، دوره تناوب مداری به خروج از مرکز بستگی ندارد (همچنین ببینید: قانون سوم کپلر).

انرژی

تحت مفروضات استاندارد، انرژی مشخصه مداری ($\epsilon$) یک مدار بیضی‌گون منفی است و معادله پایستگی انرژی مداری (معادله ویس-ویوا) برای این مدار می‌تواند به شکل زیر باشد:

${\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}=-{\frac {\mu }{2a}}=\epsilon <0$

که در آن:

• $v\,$ سرعت مداری جسم در حال گردش است،
• $r\,$ فاصله جسم در حال گردش از جرم مرکزی است،
• $a\,$ طول نیم‌قطر بزرگ است،
• $\mu \,$ پارامتر گرانشی استاندارد است.

نتایج:

• برای یک نیم‌قطر بزرگ معین، انرژی مشخصه مداری مستقل از خروج از مرکز است.

با استفاده از قضیه ویریال می‌توان یافت:

• میانگین زمانی انرژی پتانسیل مشخصه برابر با $-2\epsilon$ است.
• میانگین زمانی $r^{-1}$ برابر با $a^{-1}$ است.
• میانگین زمانی انرژی جنبشی مشخصه برابر با $\epsilon$ است.

انرژی بر حسب نیم‌قطر بزرگ

دانستن انرژی بر حسب نیم‌قطر بزرگ (و جرم‌های درگیر) می‌تواند مفید باشد. انرژی کل مدار از رابطه زیر به دست می‌آید:

$E=-G{\frac {Mm}{2a}}$

که در آن $a$ نیم‌قطر بزرگ است.

استخراج

از آنجایی که گرانش یک نیروی مرکزی است، تکانه زاویه‌ای ثابت است:

${\dot {\mathbf {L} }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times F(r)\mathbf {\hat {r}} =0$

در نزدیک‌ترین و دورترین نقاط مدار، تکانه زاویه‌ای بر فاصله از جرم مورد گردش عمود است، بنابراین:

$L=rp=rmv$.

انرژی کل مدار از رابطه زیر به دست می‌آید:

$E={\frac {1}{2}}mv^{2}-G{\frac {Mm}{r}}$.

با جایگزینی $v$، معادله به این شکل درمی‌آید:

$E={\frac {1}{2}}{\frac {L^{2}}{mr^{2}}}-G{\frac {Mm}{r}}$.

این رابطه برای $r$ در نزدیک‌ترین/دورترین فاصله برقرار است، بنابراین یک دستگاه دو معادله همزمان ایجاد می‌شود که با حل آن برای $E$ داریم:

$E=-G{\frac {Mm}{r_{1}+r_{2}}}$

از آنجایی که $r_{1}=a+a\epsilon$ و $r_{2}=a-a\epsilon$ است، که در آن اپسیلون ($\epsilon$) خروج از مرکز مدار است، نتیجه بیان شده به دست می‌آید.

زاویه مسیر پرواز

زاویه مسیر پرواز، زاویه بین بردار سرعت جسم در حال گردش (که مماس بر مدار لحظه‌ای است) و افق محلی است. تحت مفروضات استاندارد پایستگی تکانه زاویه‌ای، زاویه مسیر پرواز $\phi$ در معادله زیر صدق می‌کند:

$h\,=r\,v\,\cos \phi$

که در آن:

• $h\,$ تکانه زاویه‌ای نسبی ویژه مدار است،
• $v\,$ سرعت مداری جسم در حال گردش است،
• $r\,$ فاصله شعاعی جسم در حال گردش از جرم مرکزی است،
• $\phi \,$ زاویه مسیر پرواز است.

$\psi$ زاویه بین بردار سرعت مداری و نیم‌قطر بزرگ است. $\nu$ آنومالی حقیقی محلی است. $\phi =\nu +{\frac {\pi }{2}}-\psi$، بنابراین:

$\cos \phi =\sin(\psi -\nu )=\sin \psi \cos \nu -\cos \psi \sin \nu ={\frac {1+e\cos \nu }{\sqrt {1+e^{2}+2e\cos \nu }}}$

$\tan \phi ={\frac {e\sin \nu }{1+e\cos \nu }}$

که در آن $e$ خروج از مرکز است.

تکانه زاویه‌ای به ضرب خارجی بردار موقعیت و سرعت مربوط است که متناسب با سینوس زاویه بین این دو بردار است. در اینجا $\phi$ به عنوان زاویه‌ای تعریف می‌شود که ۹۰ درجه با این زاویه تفاوت دارد، بنابراین کسینوس به جای سینوس ظاهر می‌شود.

معادله حرکت

از روی موقعیت و سرعت اولیه

یک معادله مدار مسیر یک جسم در حال گردش $m_{2}\,\!$ را به دور جرم مرکزی $m_{1}\,\!$ نسبت به $m_{1}\,\!$ تعریف می‌کند، بدون آنکه موقعیت را به عنوان تابعی از زمان مشخص کند. اگر خروج از مرکز کمتر از ۱ باشد، معادله حرکت یک مدار بیضی‌گون را توصیف می‌کند. از آنجا که معادله کپلر $M=E-e\sin E$ هیچ جواب بستهٔ کلی برای آنومالی خارج از مرکز (E) بر حسب آنومالی میانگin (M) ندارد، معادلات حرکت به عنوان تابعی از زمان نیز جواب بسته ندارند (اگرچه جواب‌های عددی برای هر دو وجود دارد).

با این حال، معادلات مسیر مستقل از زمان به فرم بسته برای یک مدار بیضی‌گون نسبت به یک جسم مرکزی را می‌توان تنها از روی موقعیت اولیه ($\mathbf {r}$) و سرعت اولیه ($\mathbf {v}$) تعیین کرد.

برای این حالت، استفاده از مفروضات زیر که تا حدودی با مفروضات استاندارد بالا متفاوت است، راحت‌تر است:

1. موقعیت جسم مرکزی در مبدأ و کانون اصلی ($\mathbf {F1}$) بیضی قرار دارد (به‌طور جایگزین، اگر جسم در حال گردش جرم قابل توجهی داشته باشد، می‌توان از مرکز جرم استفاده کرد).
2. جرم جسم مرکزی (m1) معلوم است.
3. موقعیت اولیه ($\mathbf {r}$) و سرعت اولیه ($\mathbf {v}$) جسم در حال گردش معلوم هستند.
4. بیضی در صفحه XY قرار دارد.

فرض چهارم را می‌توان بدون از دست دادن کلیت مسئله در نظر گرفت، زیرا هر سه نقطه (یا بردار) باید در یک صفحه مشترک قرار گیرند. تحت این مفروضات، کانون دوم (که گاهی «کانون خالی» نامیده می‌شود) نیز باید در صفحه XY قرار گیرد: $\mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)$ .

با استفاده از بردارها

معادله کلی یک بیضی تحت این مفروضات با استفاده از بردارها به صورت زیر است:

$|\mathbf {F2} -\mathbf {p} |+|\mathbf {p} |=2a\qquad \mid z=0$

که در آن:

• $a\,\!$ طول نیم‌قطر بزرگ است.
• $\mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)$ کانون دوم («خالی») است.
• $\mathbf {p} =\left(x,y\right)$ هر مقدار (x,y) است که در معادله صدق می‌کند.

طول نیم‌قطر بزرگ (a) را می‌توان به صورت زیر محاسبه کرد:

$a={\frac {\mu |\mathbf {r} |}{2\mu -|\mathbf {r} |\mathbf {v} ^{2}}}$

که در آن $\mu \ =Gm_{1}$ پارامتر گرانشی استاندارد است.

کانون خالی ($\mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)$) را می‌توان ابتدا با تعیین بردار خروج از مرکز پیدا کرد:

$\mathbf {e} ={\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}-{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {h} }{\mu }}$

که در آن $\mathbf {h}$ تکانه زاویه‌ای ویژه جسم در حال گردش است:

$\mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v}$

سپس

$\mathbf {F2} =-2a\mathbf {e}$

با استفاده از مختصات XY

این کار را می‌توان در مختصات کارتزین با استفاده از روش زیر انجام داد:

معادله کلی یک بیضی تحت مفروضات بالا به صورت زیر است:

${\sqrt {\left(f_{x}-x\right)^{2}+\left(f_{y}-y\right)^{2}}}+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=2a\qquad \mid z=0$

با فرض:

$r_{x},r_{y}\quad$ مختصات موقعیت اولیه

$v_{x},v_{y}\quad$ مختصات سرعت اولیه

و

$\mu =Gm_{1}\quad$ پارامتر گرانشی

آنگاه:

$h=r_{x}v_{y}-r_{y}v_{x}\quad$ تکانه زاویه‌ای ویژه

$r={\sqrt {r_{x}^{2}+r_{y}^{2}}}\quad$ فاصله اولیه از F1 (در مبدأ)

$a={\frac {\mu r}{2\mu -r\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\right)}}\quad$ طول نیم‌قطر بزرگ

$e_{x}={\frac {r_{x}}{r}}-{\frac {hv_{y}}{\mu }}\quad$ مختصات بردار خروج از مرکز

$e_{y}={\frac {r_{y}}{r}}+{\frac {hv_{x}}{\mu }}\quad$

و در نهایت، مختصات کانون خالی:

$f_{x}=-2ae_{x}\quad$

$f_{y}=-2ae_{y}\quad$

اکنون مقادیر نتیجه‌شده fx, fy و a را می‌توان در معادله کلی بیضی بالا به کار برد.

پارامترهای مداری

وضعیت یک جسم در حال گردش در هر زمان معین توسط موقعیت و سرعت آن نسبت به جسم مرکزی تعریف می‌شود که می‌توان آن را با مختصات کارتزین سه‌بعدی (موقعیت جسم با x, y, و z) و مؤلفه‌های کارتزین مشابه سرعت آن نشان داد. این مجموعه از شش متغیر، به همراه زمان، بردارهای حالت مداری نامیده می‌شوند. با داشتن جرم دو جسم، این پارامترها مدار کامل را تعیین می‌کنند. دو حالت عمومی‌تر با این ۶ درجه آزادی، مدار بیضی‌گون و مدار هذلولوی هستند. موارد خاص با درجات آزادی کمتر، مدار دایره‌ای و مدار سهموی هستند.

از آنجا که برای نمایش کامل یک مدار بیضی‌گون با این مجموعه از پارامترها حداقل شش متغیر کاملاً ضروری است، پس برای نمایش یک مدار با هر مجموعه‌ای از پارامترها به شش متغیر نیاز است. مجموعه دیگری از شش پارامتر که معمولاً استفاده می‌شوند، المان‌های مداری هستند.

منظومه شمسی

در منظومه شمسی، سیارهها، سیارک‌ها، بیشتر دنباله‌دارها و برخی از قطعات زباله فضایی تقریباً مدارهای بیضی‌گون به دور خورشید دارند. به بیان دقیق، هر دو جسم به دور کانون مشترک بیضی می‌چرخند که این کانون به جسم پرجرم‌تر نزدیک‌تر است. اما زمانی که یک جسم به‌طور قابل توجهی پرجرم‌تر باشد، مانند خورشید در مقایسه با زمین، کانون ممکن است درون جسم بزرگ‌تر قرار گیرد و بنابراین گفته می‌شود که جسم کوچک‌تر به دور آن می‌چرخد. نمودار زیر از اوج و حضیض سیاره‌ها، سیاره کوتوله‌ها و دنباله‌دار هالی، تنوع خروج از مرکز مدارهای بیضی‌گون آنها را نشان می‌دهد. برای فواصل مشابه از خورشید، نوارهای عریض‌تر نشان‌دهنده خروج از مرکز بیشتر است. به خروج از مرکز تقریباً صفر زمین و زهره در مقایسه با خروج از مرکز عظیم دنباله‌دار هالی و اریس توجه کنید.

مسیر شعاعی بیضی‌گون

یک مسیر شعاعی می‌تواند یک پاره‌خط دوتایی باشد، که یک مخروطی تباهیده به شکل بیضی با نیم‌قطر کوچک = ۰ و خروج از مرکز = ۱ است. اگرچه خروج از مرکز ۱ است، اما این یک مدار سهموی نیست. بیشتر ویژگی‌ها و فرمول‌های مدارهای بیضی‌گون در اینجا نیز کاربرد دارند. با این حال، مدار نمی‌تواند بسته باشد. این یک مدار باز است که مربوط به بخشی از بیضی تباهیده از لحظه‌ای است که اجسام به یکدیگر برخورد کرده و از هم دور می‌شوند تا زمانی که دوباره به هم برخورد کنند. در مورد جرم‌های نقطه‌ای، یک مدار کامل، که با یک تکینگی شروع و پایان می‌یابد، امکان‌پذیر است. سرعت‌ها در ابتدا و انتها بی‌نهایت و در جهت‌های مخالف هستند و انرژی پتانسیل برابر با منفی بی‌نهایت است.

مسیر شعاعی بیضی‌گون، راه‌حل یک مسئله دو جسم با سرعت صفر در یک لحظه است، مانند حالت رها کردن یک جسم (با نادیده گرفتن مقاومت هوا).

همچنین ببینید: سقوط آزاد § میدان گرانشی قانون عکس مربع

تاریخچه

اخترشناسی بابلی‌ها اولین کسانی بودند که دریافتند حرکت خورشید در امتداد دایرةالبروج یکنواخت نیست، هرچند دلیل آن را نمی‌دانستند؛ امروزه می‌دانیم که این به دلیل حرکت زمین در یک مدار بیضی‌گون به دور خورشید است، که در آن زمین هنگام نزدیک‌تر بودن به خورشید در حضیض خورشیدی سریع‌تر و هنگام دورتر بودن در اوج خورشیدی کندتر حرکت می‌کند.

در قرن هفدهم، یوهانس کپلر کشف کرد که مدارهایی که سیارات به دور خورشید طی می‌کنند بیضی‌هایی هستند که خورشید در یکی از کانون‌های آنها قرار دارد و این موضوع را در قانون اول حرکت سیاره‌ای خود توصیف کرد. بعدها، ایزاک نیوتن این موضوع را به عنوان نتیجه‌ای از قانون جهانی گرانش نیوتن توضیح داد.

جستارهای وابسته

• اوج و حضیض
• بیضی
• خروج از مرکز مداری
• مسیر سهموی

منابع برای مطالعه بیشتر

• D'Eliseo، Maurizio M. (۲۰۰۷). «The First-Order Orbital Equation». American Journal of Physics. ج. ۷۵ ش. ۴. صص. ۳۵۲–۳۵۵. doi:10.1119/1.2432126. بیبکد:2007AmJPh..75..352D.
• D'Eliseo، Maurizio M.؛ Mironov، Sergey V. (۲۰۰۹). «The Gravitational Ellipse». Journal of Mathematical Physics. ج. ۵۰ ش. ۲. صص. ۰۲۲۹۰۱. arXiv:0802.2435. doi:10.1063/1.3078419. بیبکد:2009JMP....50a2901M.
• Curtis، Howard D. (۲۰۱۹). Orbital Mechanics for Engineering Students (ویراست ۴th). باترورث-هاینمن. شابک ۹۷۸-۰-۰۸-۱۰۲۱۳۳-۰.

پیوند به بیرون

• اوج - حضیض مقایسه تصویری قمری
• اوج خورشیدی - حضیض خورشیدی مقایسه تصویری خورشیدی
• Canadian Astronomy, Satellite Tracking and Optical Research (CASTOR)