تابع هولومورفیک

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

توابع هولومورفیک موضوع اصلی در مطالعهٔ آنالیز مختلط هستند. آنها توابعی هستند که بر روی یک زیر مجموعهٔ باز از صفحهٔ مختلط C تعریف شده‌اند با مقادیری در C که در هر نقطه مشتق مختلط دارند. iهولومورفیک بودن یک شرط قویتر از مشتقپذیری مختلط است و دلالت بر این دارد که تابع بینهایت بار مشتقپذیر است و می‌تواند با سری تیلوراش نشان داده شود. واژهٔ تابع تحلیلی اغلب بطور قابل معاوضه به جای «تابع هولومورفیک» استفاده می‌شود. اگرچه دقت شود که عبارت اول معانی دیگری نیز دارد. تابعی که بر کل صفحهٔ مختلط هولومورفیک باشد تابع تام نامیده می‌شود. عبارت «هولومورفیک در نقطهٔ a» به معنی نه تنها مشتقپذیر در a، بلکه مشتقپذیر در هر جا درون یک دیسک باز به مرکز a (یک همسایگی a) در صفحهٔ مختلط است.

تعریف[ویرایش]

اگر U یک زیر مجموعهٔ باز از C و f : UC یک تابع باشد، می گوییم f در نقطهٔ z۰ از U مشتق مختلط دارد اگر حد

f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z
- z_0 }

وجود داشته باشد. در اینجا حد بر روی تمام دنباله های اعداد مختلط که به z۰ میل می‌کنند گرفته شده است، و برای تمام چنین دنباله‌هایی حد باید به عدد f '(z۰) میل کند. به طور مستقیم، اگر f در z۰ مشتقپذیر مختلط بوده و ما در جهت r به z۰ نزدیک شویم، آنگاه تصاویر نقاط از جهت f '(z۰) r به f(z۰) نزدیک می‌شوند، که ضرب آخر ضرب اعداد مختلط است. این مفهوم مشتقپذیری جند خصوصیت مشترک با مشتقپذیری حقیقی دارد: خطی است و از قوانین ضرب، تقسیم و قاعدهٔ زنجیری تبعیت می‌کند. اگر f در هر نقطه z۰ از U مشتق‌پذیر مختلط باشد، می گوییم f بر U هولومورفیک است. می گوییم f در نقطهٔ z۰ هولومورفیک است اگر که در یک همسایگی از z۰ هولومورفیک باشد. می گوییم f در مجموعهٔ غیر باز A هولومورفیک است اگر در یک مجموعهٔ باز شامل A هولومورفیک باشد. یک تعریف معادل بدین صورت است. تابع مختلط f(x + iy) = u + iv هولومورفیک است اگر و تنها اگر در معادلات کوشی-ریمان صدق کند و u و v مشتقات جزئی اول پیوسته بر حسب x و y داشته باشند.

مثالها[ویرایش]

تمام توابع چندجمله‌ای در z با ضرایب مختلط بر C هولومورفیک اند، و بنابراین سینوس، کسینوس، و تابع نمایی چنین اند. (توابع مثلثاتی در حقیقت به طور نزدیک وابسته به تابع نمایی اند و به وسیلهٔ فرمول اویلر می‌توانند توسط تابع نمایی تعریف شوند). شاخهٔ اصلی تابع لگاریتم در مجموعهٔ C - {zR : z ≤ ۰} هولومورفیک است. تابع ریشه می‌تواند به صورت

\sqrt{z} =
e^{\frac{1}{2}\ln z}

تعریف شود و بنابراین هولومورفیک است هر کجا که لگاریتم ln(z) هولومورفیک باشد. تابع ۱/z بر {z : z ≠ ۰} هولومورفیک است.

مشخصات[ویرایش]

از آنجا که مشتق گیری مختلط خطی است و از قوانین ضرب، تقسیم، و قاعدهٔ زنجیری تبعیت می‌کند، مجموع ها، ضرب‌ها و ترکیب توبع هولومورفیک، هولومورفیک اند و خاج قسمت دو تابع هولومورفیک، هولومورفیک است هرجا که مخرج مخالف صفر باشد. هر تابع هولومورفیک بینهایت با مشتقپ‌ذیر در هر نقطه است. تابع هولومورفیک منطبق بر سری تیلوراش است و سری تیلور آن در هر دیسک باز که کاملاً درون دامنهٔ U قرار دارد همگراست. سر تیلور ممکن است در یک دیسک بزرگ همگرا باشد؛ برای نمونه سری تیلور تابع لگاریتم در هر دیسک که شامل ۰ نباشد همگراست، در مجاورت خط حقیقی منفی. برای اثبات به توابع هولومورفیک تحلیلی اند مراجعه کنید. اگر C را با R۲ نشان دهیم، آنگاه توابع هولومورفیک منطبق بر آن دسته از توابع از دو متغیر حقیقی اند که در معادلات کوشی-ریمان صدق می‌کنند. نزدیک نقاط با مشتقاط غیر صفر، توابع هولومورفیک همنوایند به این معنی که آنها زاویه و شکل (ولی نه اندازه) اشکال کوچک را حفظ می‌کنند. فرمول انتگرال کوشی می‌گوید که هر تابع هولومورفیک درون یک دیسک تماماً با مقادیرش روی حاشیهٔ دیسک مشخص می‌شود. از دید جبری مجموعهٔ توابع هولومورفیک بر یک مجموعهٔ باز یک حلقهٔ جابجایی و یک فضای برداری مختلط اند.

گسترش به آنالیز تابعی[ویرایش]

مفهوم تابع هولومورفیک می‌تواند به فضاهای متناهی-بعد از آنالیز تابعی گسترش داده شود.

اصطلاحات فنی[ویرایش]

امروزه، اکثر ریاضی دانان عبارت «تابع هولومورفیک» را به «تابع تحلیلی» ترجیح می‌دهند، نظر به اینکه عبارت دوم مفهوم کلی تری است. این همچنینی به این دلیل است که یک نتیجهٔ مهم در آنالیز مختلط این است که هر تابع هولومورفیک به طور مختلط تحلیلی است، حقیقتی که مستقیماً تعاریف را دنبال نمی‌کند. با این وجود عبارت «تحلیلی» همچنان پرکاربرد است. کلمهٔ «هولومورفیک» از کلمهٔ یونانی holos به معنی «همه» و morphe به معنی «شکل» یا «ظاهر» مشتق شده است.

همچنین نگاه کنید به[ویرایش]