معادله درجه سه

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات به معادلات جبری به شکل ax^3+bx^2+cx+d=0 با فرض a\neq 0 معادله درجه سه گویند. راه‌های متفاوتی برای حل معادلات درجه سه وجود دارد. طبق قضیه آبل-روفینی ریشه‌ی تابع‌های جبری تا درجه‌ی ۴ (و نه بالاتر) را همواره می‌توان به صورت جبری (یعنی به صورت فرمولی از توابع ساده مانند ریشه‌ی دوم و سوم) یافت. همچنین ریشه‌ها را می‌توان به صورت مثلثاتی یافت. روش‌های عددی ریشه‌یابی، مانند روش نیوتن، نیز قابل استفاده هستند.

تاریخچه[ویرایش]

معادلات درجه سوم توسط ریاضی‌دان یونان باستان، دیوفانت شناخته شده بود[۱]، پیش از ریاضی‌دانان بابِل که قادر به حل برخی معادلات درجه سوم بودند[۲] و نیز مصریان باستان. مسئله تضعیف مکعب ساده‌ترین و قدیمی‌ترین معادله درجه سوم مطالعه شده است که مصریان باستان حل آن را ناممکن می‌دانستند.[۳]

در قرن هفتم، منجم دودمان تانگ وانگ سیائوتونگ (Wang Xiaotong) توانست ۲۵ معادله درجه سوم به صورت x^3+px^2+qx=N را به دست آورد و حل کند.در ۲۳ تای آن‌ها p,q \ne 0 و در دوتای دیگر q = 0 بود. [۴]

در قرن یازدهم، خیام، ریاضی‌دان و شاعر ایرانی، به پیشرفت گسترده‌ای در نظریه معادلات درجه سوم دست یافت. وی ابتدا در مقاله‌ای که درباره‌ی این معادلات نوشت، بیان کرد که یک معادله درجه سوم می‌تواند بیش از یک ریشه داشته‌باشد. وی همچنین به یک جواب هندسی برای دسته‌ای از این معادلات دست یافت.[۵][۶] در کتابی که بعدها نوشت وی معادلات درجه سوم را در حالت کلی طبقه‌بندی کرد و توانست جوابی عمومی با استفاده از مقاطع مخروطی ارائه کند.[۷][۸]

در قرن ۱۲ام، یک ریاضی‌دان هندی (بهاسکارا) برای یافتن جواب این معادلات تلاش کرد که البته نتوانست به نتیجه‌ای عمومی دست یابد.

در قرن ۱۲ام، شرف‌الدین طوسی ریاضی‌دان ایرانی در کتاب المعادلات این مسئله را بررسی کرد. او ۸ نوع از این معادلات که جواب مثبت داشتند و ۵ نوع که ممکن است جواب مثبت نداشته یاشند را بررسی نمود. او از روشی که بعدها به نام روش روفینی-هورنر شناخته شد برای حل عددی این معادلات استفاده کرد.

ریشه‌های تابع درجه سوم[ویرایش]

معادله درجه سوم در حالت کلی به شکل زیر است:

ax^3+bx^2+cx+d=0 \qquad(1)

که باید a\neq 0\,. باشد.

نوع ریشه‌ها[ویرایش]

با یافتن عبارت

 \Delta = 18abcd -4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2. \,

می‌توان نوع ریشه‌های این معادله را معین کرد:

  • اگر Δ > 0 معادله سه ریشه‌ی مجزای حقیقی دارد.
  • اگر Δ = 0 معادله یک ریشه‌ی مضاعف دارد و ریشه‌ها همه حقیقی هستند.
  • اگر Δ < 0 معادله یک ریشه‌ی حقیقی و دو ریشه‌ی مختلط دارد.

فرمول کلی ریشه‌ها[ویرایش]

برای معادله‌ی

a x^3 + b x^2 + c x + d = 0

فرمول کلی ریشه‌ها چنین است:[۹][۱۰]

x_k = - \frac{1}{3a}\left(b\ +\ u_k C\ +\ \frac{\Delta_0}{u_kC}\right)\ , \qquad k \in \{1,2, 3\}

که در آن

u_1 = 1\ ,\qquad u_2 = {-1 + i\sqrt{3} \over 2}\ ,\qquad u_3 = {-1 - i\sqrt{3} \over 2}

ریشه‌های واحد (مختلط) هستند و نیز

C = \sqrt[3]{\frac{\Delta_1 + \sqrt{\Delta_1^2 - 4 \Delta_0^3}}{2}} \qquad \qquad {\color{white}.}
\Delta_0 = b^2-3 a c
\Delta_1 = 2 b^3-9 a b c+27 a^2 d
\Delta_1^2 - 4 \Delta_0^3 = -27\,a^2\,\Delta\ ,

هستند. عبارت \Delta نیز در ابتدای این بخش آورده شده است.

منابع[ویرایش]

  1. Van de Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich 1983 ISBN 0-387-12159-5
  2. British Museum BM 85200
  3. Guilbeau (1930, p. 8) states, "The Egyptians considered the solution impossible, but the Greeks came nearer to a solution."
  4. Mikami, Yoshio (1974) [1913], "Chapter 8 Wang Hsiao-Tung and Cubic Equations", The Development of Mathematics in China and Japan (2nd ed.), New York: Chelsea Publishing Co., pp. 53–56, ISBN 978-0-8284-0149-4 
  5. A paper of Omar Khayyam, Scripta Math. 26 (1963), pages 323–337
  6. In O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Omar Khayyam", بایگانی تاریخچه ریاضیات مک‌تیوتر, دانشگاه سنت اندروز . one may read This problem in turn led Khayyam to solve the cubic equation x3 + 200x = 20x2 + 2000 and he found a positive root of this cubic by considering the intersection of a rectangular hyperbola and a circle. An approximate numerical solution was then found by interpolation in trigonometric tables. The then in the last assertion is erroneous and should, at least, be replaced by also. The geometric construction was perfectly suitable for Omar Khayyam, as it occurs for solving a problem of geometric construction. At the end of his article he says only that, for this geometrical problem, if approximations are sufficient, then a simpler solution may be obtained by consulting trigonometric tables. Textually: If the seeker is satisfied with an estimate, it is up to him to look into the table of chords of Almagest, or the table of sines and versed sines of Mothmed Observatory. This is followed by a short description of this alternate method (seven lines).
  7. J. J. O'Connor and E. F. Robertson (1999), Omar Khayyam, MacTutor History of Mathematics archive, states, "Khayyam himself seems to have been the first to conceive a general theory of cubic equations."
  8. Guilbeau (1930, p. 9) states, "Omar Al Hay of Chorassan, about 1079 AD did most to elevate to a method the solution of the algebraic equations by intersecting conics."
  9. Press, William H.; Vetterling, William T. (1992). Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press. p. 179. ISBN 0-521-43064-X. , Extract of page 179
  10. Output of Maple's function "solve".


پیوند به بیرون[ویرایش]