توابع مثلثاتی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
(تغییرمسیر از تابع‌های مثلثاتی)
پرش به: ناوبری، جستجو

تابع مثلثاتی، در ریاضیات، به شش تابع سینوس، کسینوس، تانژانت، کتانژانت، سکانت و کسکانت گفته می‌شود. این توابع، رابطهٔ میان زاویه‌ها و ضلع‌های یک مثلث قائم‌الزاویه را نشان می‌دهند و به همین دلیل، توابع مثلثاتی نامیده می‌شوند.

توابع مثلثاتی بر روی یک زاویه عمل می‌کنند و یک عدد حقیقی را برمی‌گردانند. کاربرد اصلی این تابع‌ها محاسبهٔ اندازهٔ ضلع‌ها و زاویه‌های یک مثلث و سایر عوامل مرتبط با آن‌ها می‌باشد. این کاربرد، در دانش‌های مختلفی مانند نقشه‌برداری، ناوبری و زمینه‌های گوناگون فیزیک مورد استفاده قرار می‌گیرد. هم‌چنین به علت خاصیت تناوبی بودن، این تابع‌ها در مدل‌سازی فرایندهای نوسانی مانند نور و موج به کار می‌روند.

برای تعریف توابع مثلثاتی می‌توان از دایرهٔ واحد نیز سود برد. دایرهٔ واحد، دایره‌ای با شعاع ۱ است که شعاعی با زاویه مشخص نسبت به محور افقی روی آن رسم می‌شود و یک مثلث را تشکیل می‌دهد. هر یک از توابع مثلثاتی را می‌توان با پاره‌خطی در این دایره نشان داد.

محتویات

تاریخچه[ویرایش]

نوشتار اصلی: تاریخ مثلثات
نمونه‌ای از جداول نجومی خوارزمی

یونان باستان[ویرایش]

شواهد به کار گیری توابع مثلثاتی در زمینه‌های گوناگون، به ویژه در نجوم، در بسیاری از متون به جا مانده از دوران پیش از میلاد از جمله در یونان و مصر وجود دارد. یکی از کهن‌ترین مطالب مرتبط با مثلثات که در متون تاریخی بیان شده، قضیه تالس است. تالس که در سده ششم پیش از میلاد در مصر تحصیل می‌کرد، برای حل مسألهٔ محاسبهٔ ارتفاع هرم خئوپس، روشی تازه را ارائه نمود که بعداً با عنوان قضیه تالس شناخته شد. می‌توان قضیهٔ فیثاغورس را سنگ بنای مثلثات دانست.[۱] در بسیاری از متون یونان باستان، کاربردهای مثلثات مورد توجه قرار گرفته‌اند. ابرخس، نخستین جدول مثلثاتی را ایجاد نمود و به همین دلیل، او را پدر مثلثات می‌نامند. منلائوس مثلثات کروی را پایه‌گذاری کرد.[۲] بطلمیوس در المجسطی، رابطهٔ سینوس و کسینوس مجموع و تفاضل دو زاویه را بیان کرد.[۳]

هند[ویرایش]

مطالعه در زمینهٔ توابع مثلثاتی در هند نیز رواج داشته‌است. از جمله، در کتاب سوریا سیدهانتا در سدهٔ چهارم میلادی از جدول سینوس به جای جدول وتری در نجوم استفاده شده‌است.[۴] هم‌چنین به نظر می‌رسد که نام‌های سینوس و کسینوس، تغییر یافتهٔ توابع جیا و کوتیجیا در نجوم دوره گوپتای هند باشند. مدهاوه در سدهٔ چهاردهم سری تیلور تابع‌های سینوس، کسینوس و تانژانت را به دست آورد.[۲]

دوران اسلامی[ویرایش]

دوران طلایی اسلام، تأثیر قابل توجهی بر پیشرفت علوم ریاضی و از جملهٔ آن‌ها مثلثات داشت. خوارزمی، جدول‌های نجومی و مثلثاتی (مربوط به سینوس و تانژانت) را تهیه کرد.[۵] مروزی جدول کتانژانت را تهیه کرد. در آثار بتانی در سدهٔ سوم شمسی (سدهٔ نهم میلادی)، مثثات به طور وسیعی به کار رفته‌است که از جمله می‌توان به جدول کسکانت اشاره کرد. ابوالوفا محمد بوزجانی در سدهٔ چهارم شمسی (سدهٔ دهم میلادی)، قانون سینوس‌ها را به دست آورد.[۶] بیرونی مثلث‌سازی را برای تهیهٔ نقشه به کار گرفت. در پایان سدهٔ یازدهم، عمر خیام معادلات درجهٔ سوم را با حل عددی تقریبی که از درونیابی جداول مثلثاتی به دست می‌آمد، حل کرد. هم‌چنین غیاث‌الدین جمشید کاشانی در سدهٔ پانزدهم میلادی، سینوس زاویهٔ °۱ را با حل معادلهٔ درجهٔ ۳ برحسب زاویهٔ °۳ تا ۱۷ رقم اعشار محاسبه کرد.[۷]

چین[ویرایش]

دانشمندان چینی چندان به مطالعهٔ مثلثات نمی‌پرداختند. دو ریاضی‌دان چینی با نام شن کو و گو شوجینگ مطالعاتی را در زمینه توابع مثلثاتی انجام دادند. برای نمونه، شن کو یک رابطهٔ تقریبی برای محاسبهٔ طول کمان برحسب قطر دایره، زه و طول وتر به دست آورد.[۸]

دوران جدید[ویرایش]

احتمالاً رتیکوس نخستین شخص اروپایی بود که در سدهٔ شانزدهم میلادی، توابع مثلثاتی را به جای دایره برحسب زاویهٔ قائمه تعریف کرد و جدول‌های هر شش تابع را تهیه نمود. مقالهٔ اویلر در ۱۷۴۸ میلادی به عنوان پایه‌گذار اصلی رفتار تحلیلی با توابع مثلثاتی در اروپا دانسته می‌شود. اویلر توابع مثلثاتی را به صورت سری نامتناهی تعریف کرد و فرمول اویلر را ارائه نمود.[۲]

نام‌گذاری[ویرایش]

در متون سانسکریت، از نام‌های جیوا (به معنی وتر) و کوجیوا برای نام‌گذاری دو تابع اصلی مثلثاتی (سینوس و کسینوس) استفاده می‌شد. در برگرداندن به زبان عربی، جیوا به جیب تبدیل شد.[۲] دانشمندان مسلمان، سایر توابع مثلثاتی را نیز می‌شناختند و آن‌ها را نام‌گذاری کرده‌بودند. جدول زیر، نام‌های به کار رفته برای توابع مثلثاتی در متون دانشمندان مسلمان را نشان می‌دهد:[۹]

نام قدیم در فارسی معنی نام نام امروزی
جَیْب گریبان سینوس
جَیْبِ تمام گریبان پُر کُسینوس
ظِلّ، ظِلِّ معکوس سایه تانژانت
ظِلِّ تمام، ظِلِّ مُسْتَوی سایهٔ پُر کُتانژانت
قاطع، قطر ظِلّ بُرنده سِکانت
قاطع تمام بُرندهٔ پُر کُسکانت

دانشمندان اروپایی که متن‌های عربی را به لاتین ترجمه می‌کردند، جیب را به صورت جَیب خواندند (که به معنی خلیج است). بنابراین آن را به سینوس (که واژه‌ای لاتینی به معنی خلیج است) برگرداندند.[۲]

تعریف بر پایهٔ مثلث قائم‌الزاویه[ویرایش]

شکل روبرو، یک مثلث قائم‌الزاویه را نشان می‌دهد که از سه ضلع a و b و c و زاویه‌های A و B و C تشکیل شده‌است. زاویهٔ C برابر ۹۰ درجه است و دو زاویهٔ دیگر، زاویهٔ تند متمم هستند. (به عبارت دیگر، مجموع دو زاویه برابر ۹۰ درجه است.) ضلع روبرو به زاویهٔ C را وتر می‌نامند (که در شکل روبرو با نماد c نشان داده شده‌است). دو ضلع دیگر که زاویهٔ قائمه را تشکیل می‌دهند نیز شامل ضلع مجاور زاویهٔ A (و مقابل زاویهٔ B که با حرف b نشان داده می‌شود) و ضلع مقابل زاویهٔ A (و مجاور زاویهٔ B که با حرف a نشان داده می‌شود) هستند. به این ترتیب، توابع اصلی مثلثاتی برای زاویهٔ A به صورت زیر تعریف می‌شوند:[۱۰][۱۱]

اجزای مثلث قائم‌الزاویه
  • سینوس زاویهٔ A برابر است با نسبت ضلع مقابل آن به وتر. به بیان ریاضی:
\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{\,c\,}
  • کسینوس زاویهٔ A برابر است با نسبت ضلع مجاور آن به وتر. به بیان ریاضی:
\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{\,c\,}
  • تانژانت زاویهٔ A نیز به صورت نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور این زاویه محاسبه می‌شود:
\tan A=\frac{a}{\,b\,}=\frac{a}{\,c\,}\times\frac{c}{\,b\,}=\frac{a}{\,c\,} / \frac{b}{\,c\,}=\frac{\sin A}{\cos A}

بر پایه قضیهٔ تشابه هندسی، اگر دو مثلث دارای زاویه‌های برابر باشند، نسبت ضلع‌هایشان با یکدیگر برابر است. در نتیجه، توابع مثلثاتی که نسبت میان ضلع‌های مثلث را نشان می‌دهند، وابسته به اندازهٔ ضلع‌ها نیستند و مقدار آن‌ها با تغییر اندازهٔ ضلع‌ها تغییر نمی‌کند.

می‌توان برای زاویهٔ B نیز توابع مثلثاتی را به همین ترتیب محاسبه نمود. ضلع مجاور زاویهٔ B (ضلع a) همان ضلع مقابل زاویهٔ A است و ضلع مقابل زاویهٔ B (ضلع b) نیز ضلع مجاور زاویهٔ A می‌باشد. بنابراین می‌توان چنین گفت که سینوس زاویهٔ B برابر با کسینوس زاویهٔ A است و برعکس. رابطه سینوس و کسینوس دو زاویهٔ متمم به زبان ریاضی، به صورت زیر است:

\sin A=\cos B=\cos \left(\frac{\pi}{2} - A \right)
\cos A=\sin B=\sin \left(\frac{\pi}{2} - A \right)

با افزایش مقدار زاویهٔ A از صفر تا ۹۰ درجه، به تدریج اندازهٔ ضلع مجاور آن کاهش و اندازهٔ ضلع مقابل، افزایش می یابد. هنگامی که این مقدار به ۹۰ درجه نزدیک شود، مقدار ضلع مجاور به صفر نزدیک می‌شود. در نتیجه کسینوس زاویهٔ A (نسبت ضلع مجاور به وتر) به صفر میل می‌کند. از سوی دیگر، مقدار ضلع مقابل به وتر نزدیک می‌شود. (البته بر پایهٔ قضیهٔ فیثاغورس، وتر همواره از دو ضلع دیگر بزرگ‌تر است.) در نتیجه، سینوس زاویهٔ A (نسبت ضلع مقابل به وتر) به ۱ میل می‌کند. به طور کلی، مقدار سینوس و کسینوس یک زاویه در مثلث قائم‌الزاویه، عددی در بازه صفر و یک است. تغییرات تانژانت زاویهٔ A را نیز به همین ترتیب می‌توان دنبال کرد. در نزدیکی ۹۰ درجه، تانژانت A (که نسبت سینوس به کسینوس زاویهٔ A است) به سمت بی‌نهایت میل می‌کند و با نزدیک شدن به صفر، مقدار آن به صفر نزدیک می‌شود. بنابراین مقدار تانژانت یک زاویه، عددی مثبت (از صفر تا بی‌نهایت) خواهد بود.

سه تابع دیگر مثلثاتی را می‌توان به عنوان عکس سه تابع بالا تعریف نمود:

سکانت (معکوس کسینوس):
\sec A=\frac{1}{\cos A}=\frac{c}{b}
کسکانت (معکوس سینوس):
\csc A=\frac{1}{\sin A}=\frac{c}{a}
کتانژانت (معکوس تانژانت):
\cot A=\frac{1}{\tan A}=\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{b}{a}

رابطه میان دو زاویهٔ متمم، مانند آنچه که بالاتر در مورد سینوس و کسینوس گفته شد، در مورد سایر توابع مثلثاتی نیز برقرار است.

\tan A=\cot B=\cot \left(\frac{\pi}{2} - A \right)
\cot A=\tan B=\tan \left(\frac{\pi}{2} - A \right)
\sec A=\csc B=\csc \left(\frac{\pi}{2} - A \right)
\csc A=\sec B=\sec \left(\frac{\pi}{2} - A \right)

به طور خلاصه، رابطهٔ میان توابع مثلثاتی و ضلع‌های مثلث قائم‌الزاویه را می‌توان در جدول زیر نشان داد:[۱۲]

نام تعریف رابطه
سینوس سینوس یک زاویه برابر است با نسبت ضلع مقابل آن زاویه به وتر sinA = ضلع مقابل/وتر
کسینوس کسینوس یک زاویه برابر است با نسبت ضلع مجاور آن زاویه به وتر cosA = ضلع مجاور/وتر
تانژانت تانژانت یک زاویه برابر است با نسبت ضلع مقابل آن زاویه به ضلع مجاور tanA = ضلع مقابل/ضلع مجاور
کتانژانت کتانژانت یک زاویه برابر است با نسبت ضلع مجاور آن زاویه به ضلع مقابل (عکس تانزانت) cotA = ضلع مجاور/ضلع مقابل
سکانت سکانت یک زاویه برابر است با نسبت وتر به ضلع مجاور آن زاویه (عکس کسینوس) secA = وتر/ضلع مجاور
کسکانت کسکانت یک زاویه برابر است با نسبت وتر به ضلع مقابل آن زاویه (عکس سینوس) cscA = وتر/ضلع مقابل

مقدار توابع مثلثاتی برای زاویه‌های خاص[ویرایش]

مقادیر سینوس و کسینوس برای زوایای خاص روی دایرهٔ واحد.

برای بعضی زاویه‌ها می‌توان به سادگی مقدار توابع مثلثاتی را به دست آورد.[۱۳][۱۴]

زاویه‌های °۰ و °۹۰[ویرایش]

همان گونه که بالاتر گفته شد، در زاویهٔ صفر، سینوس برابر صفر و کسینوس برابر ۱ است. عکس آن در زاویهٔ ۹۰ درجه، کسینوس صفر و سینوس ۱ می‌باشد. بنابراین:

\sin 0^\circ=\cos 90^\circ=0
\sin 90^\circ=\cos 0^\circ=1

بر پایهٔ این مقدارها، سایر توابع مثلثاتی این دو زاویه نیز به دست می‌آیند.

زاویهٔ °۴۵[ویرایش]

مثلث قائم‌الزاویه‌ای که یک زاویهٔ °۴۵ داشته باشد، زاویهٔ تند دیگر آن نیز °۴۵ است و مثلث قائم‌الزاویهٔ متساوی‌الساقین نامیده می‌شود. در این مثلث، بر پایه قضیهٔ فیثاغورس اندازه وتر، ۲√ برابر اندازهٔ هر یک از دو ساق است. بنابراین:

\sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}
\tan 45^\circ=\cot 45^\circ=1

زاویه‌های °۳۰ و °۶۰[ویرایش]

می‌توان نشان داد که ضلع روبرو به زاویهٔ °۳۰، نصف وتر است. بنابراین:

\sin 30^\circ=\cos 60^\circ=\frac{1}{2}

به همین ترتیب، اندازهٔ ضلع دیگر نیز با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس برابر ۳/۲√ به دست می‌آید. در نتیجه:

\sin 60^\circ=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}

سایر توابع مثلثاتی این زاویه‌ها نیز با استفاده از رابطه‌های داده‌شده، محاسبه می‌شوند.

یکای اندازه‌گیری[ویرایش]

چند یکای بی‌بعد برای اندازه‌گیری زاویه وجود دارد.

  • درجه: یکایی است که از گذشتهٔ دور مورد استفاده قرار گرفته‌است. مقدار این یکا با تقسیم‌بندی یک دایره به ۳۶۰ قسمت مساوی به دست می‌آید. به بیان دیگر، یک درجه برابر با زاویهٔ روبرو به کمانی است که اندازهٔ آن، ۱/۳۶۰ محیط دایره باشد.
  • رادیان: یکای مورد استفاده در محاسبات مربوط به مثلثات است. یک رادیان برابر با زاویهٔ روبرو به کمانی است که طول آن برابر با طول شعاع دایره متناظر باشد. طبق این تعریف، یک دایرهٔ کامل برابر ۲π رادیان (۶٫۲۸۳۲ رادیان) است.[۱۵][۱۶]

یکاهای دیگری نیز برای تعریف زاویه وجود دارند. برای نمونه، می‌توان از گراد نام برد. یک دایرهٔ کامل ۴۰۰ گراد است. به بیان دیگر، گراد یک‌صدم ربع دایره است.

در همهٔ محاسبات مثلثاتی از یکای رادیان استفاده می‌شود.[۱۴][۱۶] یکای پیش‌فرض در محاسبات رایانه‌ای نیز، رادیان است.

تعریف بر پایهٔ دایرهٔ واحد[ویرایش]

نمایش توابع مثلثاتی زاویه θ روی دایرهٔ واحد مثلثاتی
توابع مثلثاتی در مختصات دکارتی: سینوس، کسینوس، تانژانت، کسکانت (خط‌چین)، سکانت (خط‌چین) و کتانژانت (خط‌چین)
نوشتار اصلی: دایرهٔ واحد

شکل روبرو، یک دایرهٔ واحد را نشان می‌دهد که توابع مثلثاتی زاویهٔ θ روی آن رسم شده‌اند. هنگامی که شعاع OA با زاویهٔ θ نسبت به محور افقی روی دایره زده شود، می‌توان مقدار توابع مثلثاتی را به صورت اندازهٔ پاره‌خط‌هایی مشخص به دست آورد. مقدار توابع سینوس و کسینوس با پاره‌خط‌هایی (به ترتیب به رنگ قرمز و آبی) روی دو محور اصلی مختصات رسم شده‌اند. به بیان دیگر، تصویر پاره‌خط OA روی محور افقی برابر با کسینوس θ و تصویر آن روی محور عمودی برابر با سینوس θ است. اندازهٔ پاره‌خطی (به رنگ قهوه‌ای کمرنگ) که مماس بر دایره از نقطه A تا محور افقی امتداد دارد، تانژانت θ می‌باشد. امتداد همین پاره‌خط از نقطه A تا محور عمودی (به رنگ نارنجی) نیز کتانژانت θ را نشان می‌دهد. به همین ترتیب، می‌توان مقدار سکانت و کسکانت زاویهٔ θ را نیز محاسبه کرد.[۱۷]

در دایرهٔ واحد، امکان محاسبهٔ توابع مثلثاتی برای زاویه‌های بزرگتر از ۹۰ درجه نیز وجود دارد. مقدار توابع مثلثاتی برای هر زاویه‌ای، به شکلی مشابه بالا تعیین می‌شود. علامت یک تابع بر پایهٔ مقدار زاویه در دایرهٔ واحد بر پایه جدول زیر به دست می‌آید:[۱۴][۱۸]

تابع ربع اول ربع دوم ربع سوم ربع چهارم
سینوس
کسکانت
+ +
کسینوس
سکانت
+ +
تانژانت
کتانژانت
+ +

دوران[ویرایش]

توابع مثلثاتی برای زاویه‌های بزرگتر از °۹۰ را می‌توان با استفاده از روابط دوران پیرامون مرکز دایره به دست آورد. هم‌چنین زاویه‌های کوچکتر از صفر با دوران پیرامون محور افقی قابل محاسبه هستند. جدول زیر، نشان دهنده این رابطه‌ها می‌باشد:

دوران حول محور افقی[۱۹] دوران با زاویهٔ π/۲[۱۸] دوران با زاویهٔ π[۱۸] دوران با زاویهٔ ۲π[۲۰]
\sin(-\theta)= -\sin \theta \sin(\theta + \tfrac{\pi}{2})= +\cos \theta \sin(\theta + \pi) = -\sin \theta \sin(\theta + 2\pi) = +\sin \theta
\cos(-\theta)= +\cos \theta \cos(\theta + \tfrac{\pi}{2})= -\sin \theta \cos(\theta + \pi) = -\cos \theta \cos(\theta + 2\pi) = +\cos \theta
\tan(-\theta)= -\tan \theta \tan(\theta + \tfrac{\pi}{2})= -\cot \theta \tan(\theta + \pi) = +\tan \theta \tan(\theta + 2\pi) = +\tan \theta
\cot(-\theta)= -\cot \theta \cot(\theta + \tfrac{\pi}{2})= -\tan \theta \cot(\theta + \pi) = +\cot \theta \cot(\theta + 2\pi) = +\cot \theta
\sec(-\theta)= +\sec \theta \sec(\theta + \tfrac{\pi}{2})= -\csc \theta \sec(\theta + \pi) = -\sec \theta \sec(\theta + 2\pi) = +\sec \theta
\csc(-\theta)= -\csc \theta \csc(\theta + \tfrac{\pi}{2})= +\sec \theta \csc(\theta + \pi) = -\csc \theta \csc(\theta + 2\pi) = +\csc \theta

تعریف بر پایهٔ سری توانی[ویرایش]

با استفاده از سری مکلورن هر تابع پیوسته‌ای را می‌توان به صورت یک سری توانی حول نقطه صفر (به شکل رابطه زیر) نوشت:[۲۱]

f(x)=f(0)+\frac {f'(0)}{1!} x+ \frac{f''(0)}{2!} x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+ \cdots

ضریب‌های رابطهٔ بالا با معلوم بودن مقدار تابع و مشتق‌های آن در نقطه صفر، قابل محاسبه هستند. بنابراین می‌توان مقدار تقریبی یک تابع را به صورت مجموع یک سری نامتناهی به دست آورد. در محاسبات ریاضی، از جمله‌های مرتبه بالا (که مرتبه بر اساس دقت محاسبه تعیین می‌شود) چشم‌پوشی می‌کنند.

سری توانی توابع مثلثاتی[ویرایش]

برای محاسبهٔ تقریبی توابع مثلثاتی از رابطه‌های زیر استفاده می‌شود.[۲۲]

سری تیلور تابع سینوس (قرمز، تا درجه ۷) تقریب خوبی برای تابع سینوس (آبی) در یک تناوب کامل (متقارن نسبت به مبدأ) است.

سری توانی سینوس و کسینوس[ویرایش]

شکل روبرو، نمودار تابع سینوس و بسط مکلورن متناظر با آن را نشان می‌دهد. مقدار تابع سینوس در نقطه صفر برابر صفر است. بنابراین جمله‌های زوج سری توانی سینوس (که شامل خود تابع و مشتقات مرتبه زوج آن می‌شوند) صفر هستند. در نتیجه، سری توانی سینوس تنها دارای جمله‌های با توان فرد خواهد بود.

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}

به طور مشابه، جمله‌های فرد سری توانی کسینوس صفر هستند و این سری تنها دارای جمله‌های با توان زوج است.

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}

سری توانی سایر توابع مثلثاتی[ویرایش]

توابع دیگر مثلثاتی، دارای نقطهٔ تکین در دامنه خود هستند. بنابراین نمی‌توان سری توانی مکلورن آن‌ها را برای هر مقداری تعریف نمود. برای توابع تانژانت و سکانت که در π/۲ (یا °۹۰) تعریف نمی‌شوند، دامنه تعریف سری توانی بین π/۲- تا π/۲ است. هم‌چنین برای توابع کتانژانت و کسکانت که در صفر درجه تعریف نمی‌شوند، دامنه تعریف سری توانی بین صفر تا π می‌باشد.

\tan x =\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}=x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \cdots, \qquad \text{for } |x| <\frac{\pi}{2}
\cot x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}= x^{-1} - \frac{1}{3}x - \frac{1}{45}x^3 - \frac{2}{945}x^5 - \cdots, \qquad \text{for } 0 <|x| <\pi
\sec x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{24}x^4 + \frac{61}{720}x^6 + \cdots, \qquad \text{for } |x| <\frac{\pi}{2}
\csc x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1} 2 (2^{2n-1}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} = x^{-1} + \frac{1}{6}x + \frac{7}{360}x^3 + \frac{31}{15120}x^5 + \cdots, \qquad \text{for } 0 <|x| <\pi

استفاده از سری‌های توانی[ویرایش]

به دلایلی از جمله ناپیوستگی بعضی از توابع مثلثاتی و کند شدن همگرایی، بایستی پیش از بهره گرفتن از سری‌ها زاویه را تا حد امکان کوچک کنیم. با به کار گرفتن اتحادهای مثلثاتی تبدیل زاویه، می‌توان زاویه را تا بازهٔ (۰،π/۲) و با استفاده از اتحادهای زاویه متمم تا (۰،π/۴) کاهش داد. به این ترتیب، سرعت همگرایی سری و کارایی محاسبه، افزایش می‌یابد.[۲۳]

تعریف توسط معادله دیفرانسیل[ویرایش]

هر دو تابع سینوس و کسینوس در معادله دیفرانسیل y'' = -y صدق می‌کنند.[۲۴] یعنی هر دو، قرینهٔ مشتق دوم خود هستند. در فضای دوبعدی V، نوع تابع بر پایه شرایط اولیه به صورت زیر تعیین می‌شود:

  • اگر  \left( y'(0), y(0) \right) = (1, 0)؛ سینوس، پاسخ یکتای معادله است؛
  • اگر  \left( y'(0), y(0) \right) = (0, 1)؛ کسینوس، پاسخ یکتای معادله است.

از آن‌جایی که سینوس و کسینوس، دو تابع مستقل خطی هستند، با یکدیگر تابع پایهٔ V را تشکیل می‌دهند. این روش تعریف توابع سینوس و کسینوس، معادل با استفاده از فرمول اویلر است. افزون بر این، این دو تابع، توابع ویژه عملگر مشتق دوم هستند.

هم‌چنین تابع تانژانت، پاسخ یکتای معادلهٔ دیفرانسیل غیرخطی y' = 1 + y^2 با شرط اولیه y(0) = 0 است.

ویژگی‌های توابع مثلثاتی[ویرایش]

زوج و فرد بودن[ویرایش]

نوشتار اصلی: توابع زوج و فرد

بر پایهٔ تعریف توابع مثلثاتی و دایرهٔ واحد، می‌توان زوج یا فرد بودن هر تابع مثلثاتی را تعیین نمود. به طور خلاصه:[۱۹]

  • کسینوس و سکانت، تابع زوج هستند.
  • سینوس، تانژانت، کتانژانت و کسکانت، تابع فرد هستند.

تناوب[ویرایش]

نوشتار اصلی: تابع متناوب

از تعریف دایرهٔ مثلثاتی و هم‌چنین در جدول بالا مشاهده می‌شود که توابع مثلثاتی با یک تناوب مشخص، تکرار می‌شوند. این تناوب برای توابع تانژانت و کتانژانت، °۱۸۰ و برای سایر توابع مثلثاتی، °۳۶۰ است.[۱۹][۲۵] در تبدیل فوریه[۲۶] و معادلات موج[۲۷] از این خاصیت تناوبی توابع مثلثاتی در حل معادلات دیفرانسیل استفاده می‌کنند.

پیوستگی[ویرایش]

توابع سینوس و کسینوس همواره پیوسته و مشتق‌پذیر هستند. این مطلب، با تعریف بر پایهٔ مثلث قائم‌الزاویه و تعریف بر پایهٔ دایره واحد، به روشنی قابل ملاحظه است. سایر تابع‌ها که در مخرجشان یکی از دو تابع سینوس یا کسینوس قرار دارد، همواره پیوسته نیستند. زیرا مقدار توابع سینوس و کسینوس در برخی نقاط برابر صفر است. نقاط ناپیوستگی توابع مثلثاتی به صورت زیر هستند (k یک عدد صحیح دلخواه است):[۱۴]

  • تانژانت و کسکانت: kπ
  • کتانژانت و سکانت: kπ+π/۲

مشتق توابع مثلثاتی[ویرایش]

نوشتار اصلی: مشتق توابع مثلثاتی

مشتق دو تابع مثلثاتی اصلی (سینوس و کسینوس) با استفاده از تعریف مشتق، به دست می‌آید. برای مشتق‌گیری سایر توابع مثلثاتی می‌توان از قاعدهٔ مشتق‌گیری تابع کسری بهره برد. مشتق توابع مثلثاتی در جدول زیر داده شده‌است:

تابع مشتق اول[۲۸] مشتق دوم
\sin(x) \cos(x) -\sin(x)
\cos(x) -\sin(x) -\cos(x)
\tan(x) \sec^2(x) 2\sec^2(x).\tan(x)
\cot(x) -\csc^2(x) 2\csc^2(x).\cot(x)
\sec(x) \sec(x).\tan(x) \sec(x)(\sec^2(x)+\tan^2(x))
\csc(x) -\csc(x).\cot(x) \csc(x)(\csc^2(x)+\cot^2(x))

تابع اولیهٔ توابع مثلثاتی[ویرایش]

تابع اولیه گرفتن از سینوس و کسینوس بسیار ساده و عکس مشتق آن‌ها می‌باشد. برای سایر تابع‌ها از روش‌های انتگرال‌گیری پیچیده‌تر مانند تغییر متغیر، استفاده می‌شود. جدول زیر، تابع اولیهٔ توابع مثلثاتی را نشان می‌دهد.[۲۹]

تابع تابع اولیه
\sin(x) -\cos(x)
\cos(x) \sin(x)
\tan(x) -\ln |\cos(x)|
\cot(x) \ln |\sin(x)|
\sec(x) \ln |\sec(x)+\tan(x)|
\csc(x) -\ln |\csc(x)+\cot(x)|

محاسبه[ویرایش]

محاسبهٔ مقدار توابع مثلثاتی به صورت دستی، پیچیده است. ولی اکنون به دلیل در دسترس بودن رایانه‌ها و ماشین حساب‌های مهندسی، که مقدار مورد نیاز را برای هر زاویه‌ای به سادگی به دست می‌دهند، پیچیدگی آن از بین رفته‌است. در این بخش، سه روش مختلف محاسبه مقدار توابع مثلثاتی بیان می‌شود: بهره بردن از مقدارهای دقیق، روش تاریخی جدول‌های مثلثاتی و روش نوین بهره‌گیری از رایانه.

برای بعضی از زاویه‌ها می‌توان مقدار دقیق توابع مثلثاتی را به دست آورد. برای نمونه، برای همه زاویه‌های ضریب °۳ مقدار توابع سینوس، کسینوس و تانژانت به صورت دقیق وجود دارد.[۳۰]

برای محاسبهٔ مقدار تابع برای هر زاویه‌ای، نخست باید زاویه را به یک بازه مشخص (مثلاً صفر تا π/۲) کاهش داد. این کار با استفاده از خاصیت تناوب و تقارن توابع مثلثاتی انجام می‌شود.[۲۳]

پیش از رایانه‌ها، مردم عموماً مقدار توابع مثلثاتی را با درونیابی از داده‌های موجود در جدول‌های مثلثاتی به دست می‌آوردند. این جدول‌ها پیشینه‌ای به دیرینگی تاریخ مثلثات دارند. معمولاً مقدارهای موجود در جدول‌ها با استفادهٔ پیاپی از اتحادهای نصف زاویه و مجموع دو زاویه، با آغاز از یک مقدار معلوم (مانند sin(π/۲) = ۱) به دست می‌آمدند.

رایانه‌های نوین، شیوه‌های گوناگونی را به کار می‌گیرند.[۳۱] یک روش متداول، به ویژه روی پردازنده‌های سطح بالا، ترکیب یک تقریب چندجمله‌ای یا کسری (مانند تقریب چبیشف، تقریب پد و معمولاً برای دقت‌های بالاتر، سری تیلور و مکلورن) با کاهش بازه و نگاه به جدول است. (با استفاده از جدول، نزدیک‌ترین زاویه انتخاب می‌شود، سپس تصحیح با بهره‌گیری از چندجمله‌ای انجام می‌شود.) دستگاه‌های دارای دقت پایین‌تر، معمولاً از الگوریتم CORDIC سود می‌برند که تنها از جمع، تفریق، شیفت بیتی و نگاه به جدول، استفاده می‌کند.

برای محاسبات بسیار دقیق، که سری‌ها به کندی همگرا می‌شوند، می‌توان از میانگین حسابی-هندسی برای تقریب استفاده کرد که تابع مثلثاتی را با انتگرال بیضوی تقریب می‌زند.[۳۲]

اتحادهای مثلثاتی[ویرایش]

بعضی از رابطه‌های مثلثاتی برای هر زاویهٔ دلخواهی برقرار هستند. این رابطه‌ها را اتحاد مثلثاتی می‌نامند. نمونه‌هایی از این اتحادها در زیر آورده می‌شوند.

قضیهٔ فیثاغورس[ویرایش]

ساده‌ترین شکل قضیهٔ فیثاغورس در مثلثات به صورت زیر است:[۳۳]

 \cos^{2} a + \sin^{2} a = 1

جمع و تفاضل دو زاویه[ویرایش]

کسینوس حاصل جمع:[۳۴]

\cos (a \pm b) = \cos a. \cos b \mp \sin a. \sin b \,

سینوس حاصل جمع:[۳۵]

\sin (a \pm b) = \sin a. \cos b \pm \cos a. \sin b \,

زاویهٔ دو برابر[ویرایش]

رابطه‌های زیر برای محاسبهٔ سینوس و کسینوس زاویه‌ای دو برابر زاویهٔ معلوم به کار می‌روند:[۳۶]

\cos 2a = 1 - 2 \sin^2 a
\sin 2a = 2\sin a. \cos a

قضیه فشردگی سینوس[ویرایش]

یک نابرابری مهم مثلثاتی، در محاسبهٔ حدهای مبهم و مشتق توابع مثلثاتی کاربرد دارد. این نابرابری که در بازهٔ π/۲>θ>/۲ معتبر است، به صورت زیر است:[۳۷]

 1> \frac{\sin \theta}{\theta}> \cos \theta

با استفاده از این نابرابری، حد مبهم sin θ/θ در θ→۰ پیدا می‌شود.[۳۸] این حد در محاسبهٔ مشتق توابع مثلثاتی مورد استفاده قرار می‌گیرد.[۳۹]

تابع وارون[ویرایش]

توابع وارون مثلثاتی به عنوان قرینهٔ توابع مثلثاتی نسبت به خط y=x تعریف می‌شوند. این تابع‌ها را با افزودن آرک به ابتدای نام تابع اصلی، معرفی می‌کنند. این تابع‌ها یک عدد حقیقی را می‌گیرند و یک زاویه را برمی‌گردانند.

توابع مثلثاتی در همهٔ دامنهٔ خود، یک‌به‌یک و وارون‌پذیر نیستند. برای آن که بتوان تابع وارون برای این توابع تعریف نمود، باید تابع به دامنه‌ای که در آن وارون‌پذیر است، محدود شود. این دامنه، برای توابع مختلف به صورت جدول زیر است:[۴۰]

تابع اصلی دامنهٔ تابع اصلی تابع وارون دامنهٔ تابع وارون
 \sin y = x \,  -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2} \,  \arcsin x = y \,  -1 \le x \le 1 \,
 \cos y = x \,  0 \le y \le \pi \,  \arccos x = y \,  -1 \le x \le 1 \,
 \tan y = x \,  -\frac{\pi}{2} <y <\frac{\pi}{2} \,  \arctan x = y \, اعداد حقیقی
 \csc y = x \,  -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}, y \ne 0 \,  \arccsc x = y \, اعداد حقیقی
 \sec y = x \,  0 \le y \le \pi, y \ne \frac{\pi}{2} \,  \arcsec x = y \,  1 \le x\, or \, x \le -1 \,
 \cot y = x \,  0 <y <\pi \,  \arccot x = y \,  1 \le x\, or \,x \le -1 \,

مشتق توابع وارون[ویرایش]

محاسبهٔ مشتق تابع وارون با روش مشتق‌گیری ضمنی انجام می‌شود. جدول زیر، مشتق توابع وارون مثلثاتی را نشان می‌دهد:[۴۱]

تابع وارون مشتق تابع وارون
آرک‌سینوس \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
آرک‌کسینوس \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}
آرک‌تانژانت \frac{1}{1+x^2}
آرک‌کتانژانت \frac{-1}{1+x^2}
آرک‌سکانت \frac{1}{x^2 \sqrt{1 - x^{-2}}}
آرک‌کسکانت  \frac{-1}{x^2 \sqrt{1 - x^{-2}}}

کاربرد[ویرایش]

توابع مثلثاتی کاربردهای قابل توجهی در بسیاری از علوم پایه و مهندسی دارند. یکی از کاربردهای بنیادی این تابع‌ها محاسبهٔ مشخصات هر مثلث دلخواه است. هم‌چنین سری‌های مثلثاتی (مانند تبدیل فوریه) کاربردهای بسیاری از جمله در معادلات دیفرانسیل دارند.

قانون سینوس‌ها[ویرایش]

با استفاده از قانون سینوس‌ها در هر مثلث دلخواه، می‌توان با معلوم بودن اندازه یک ضلع و دو زاویهٔ مجاور آن، اندازهٔ دو ضلع دیگر را محاسبه نمود. هم‌چنین می‌توان مساحت مثلث (Δ) و شعاع دایرهٔ محیطی آن (R) را به دست آورد:[۴۲]

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R = \frac{abc}{2\Delta}

بر اساس اتحاد بالا، مساحت مثلث با معلوم بودن اندازهٔ دو ضلع و زاویهٔ میان آن‌ها از رابطهٔ زیر، قابل محاسبه است:

\Delta = \frac{1}{2}a b\sin C

قانون کسینوس‌ها[ویرایش]

با استفاده از قانون کسینوس‌ها در هر مثلث دلخواه، با معلوم بودن اندازهٔ دو ضلع و زاویهٔ میان آن‌ها، اندازهٔ ضلع سوم به صورت زیر تعیین می‌شود:[۴۳]

c^2=a^2+b^2-2ab\cos C

هم‌چنین با این قانون می‌توان با داشتن اندازهٔ سه ضلع مثلث، اندازهٔ زاویه‌های آن را به دست آورد.

اعداد مختلط[ویرایش]

نمایش یک عدد مختلط در مختصات قطبی

با استفاده از تعریف مختصات قطبی می‌توان اعداد مختلط را به صورت توابع مثلثاتی بیان کرد:[۴۴]

 z= |z|(\cos\theta + i\sin\theta)

که در آن، |z| اندازهٔ بردار z (فاصله از مبدأ)، θ زاویهٔ آن با محور افقی، و i بیانگر یکهٔ موهومی است. افزون بر این، رابطهٔ میان تابع نمایی و تابع مثلثاتی توسط فرمول اویلر برقرار می‌شود:[۴۵]

 e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta

که بر پایهٔ آن، توابع سینوس و کسینوس به شکل توابع فرد و زوج متناظر بر حسب تابع نمایی نوشته می‌شوند:

 \sin\theta = \frac{e^{i \theta} - e^{-i \theta}}{2i}
 \cos\theta = \frac{e^{i \theta} + e^{-i \theta}}{2}

مشاهده می‌شود که می‌توان کسینوس را به عنوان جزء حقیقی و سینوس را به عنوان جزء مجازی تابع نمایی مختلط در نظر گرفت. به بیان ریاضی:

\cos \theta = \operatorname{Re}(e^{i \theta})
\sin \theta = \operatorname{Im}(e^{i \theta})

هم‌چنین با استفاده از تعریف بسط مکلورن برای توابع هذلولوی و مثلثاتی، می‌توان رابطه‌های زیر را که معادل با رابطه‌های بالا هستند، به دست آورد:

\sin z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{2i} = \frac{\sinh \left( i z\right)}{i}
\cos z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} = \frac{e^{i z} + e^{-i z}}{2} = \cosh \left(i z\right)

که در آن‌ها i2=−1. می‌توان توابع سینوس و کسینوس مختلط را برحسب اجزای حقیقی و مجازی آن‌ها نیز نوشت:[۴۶]

\sin (x + iy) = \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y
\cos (x + iy) = \cos x \cosh y - i \sin x \sinh y

این اتحاد، رابطهٔ میان توابع سینوس و کسینوس مختلط و توابع حقیقی (سینوس و کسینوس) و حقیقی هذلولوی (سینوس هذلولوی و کسینوس هذلولوی) آن‌ها را نشان می‌دهد.

نقشه‌برداری[ویرایش]

مثلثات، پایهٔ بیشتر شیوه‌های نقشه‌برداری مانند مثلث‌سازی و پیمایش است. برای نمونه، از قانون کسینوس‌ها برای محاسبهٔ زاویهٔ مثلث‌ها در مثلث‌سازی و تعیین دقیق موقعیت هر نقطه و از توابع مثلثاتی برای محاسبهٔ موقعیت ایستگاه‌ها در پیمایش استفاده می‌شود.[۴۷]

فشرده‌سازی تصویر[ویرایش]

با استفاده از تبدیل فوریه، می‌توان هر تابع تناوبی را به صورت یک سری مثلثاتی (بر حسب تابع سینوس یا کسینوس) نوشت. برای نمونه، در ذخیره‌سازی تصویر با قالب JPEG از تبدیل کسینوس گسسته برای کاهش حجم تصویر با وجود حفظ نسبی کیفیت آن استفاده می‌کنند.[۴۸]

حرکت نوسانی[ویرایش]

نمایش ساخته شدن موج مربعی با برهم‌نهی توابع نوسانی

فیزیک‌دانان برای توصیف حرکت هماهنگ ساده، از توابع سینوس و کسینوس استفاده می‌کنند. این حرکت، بسیاری از پدیده‌های فیزیکی مانند حرکت جرم متصل به فنر، حرکت آونگی جسم معلق با یک طناب و حرکت دایره‌ای یکنواخت یک‌بعدی را مدل می‌کند. هم‌چنین توابع مثلثاتی در مطالعهٔ توابع متناوب به کار می‌روند. ساختار موجی‌شکل توابع متناوب برای مدل‌سازی پدیده‌های رفت و برگشتی مانند نور، صدا و موج دریا، مورد استفاده قرار می‌گیرد.

در شرایط عمومی، می‌توان یک تابع متناوب (f(x را با سری فوریه به صورت مجموع موج‌های سینوسی یا موج‌های کسینوسی بیان کرد.[۲۶][۴۹] اگر تابع سینوس یا کسینوس را با φk نشان دهیم، بسط تابع متناوب (f(t به صورت زیر خواهد بود (از آن‌جایی که توابع متناوب عموماً بر حسب زمان تعریف می‌شوند، در این جا به جای متغیر مکانی (x) از متغیر زمانی (t) استفاده می‌شود):

f(t) = \sum _{k=1}^\infty c_k \varphi_k(t)

برای نمونه، موج مربعی را می‌توان با سری فوریه زیر نشان داد:

 f_\text{square}(t) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^\infty {\sin \left ( (2k-1)t \right ) \over 2k-1}

همان گونه که در شکل روبرو دیده می‌شود، چند جملهٔ اول سری می‌توانند تقریب نسبتاً خوبی را ایجاد کنند.

پانویس[ویرایش]

  1. دانتزیگ، توبیاس. میراث یونان. ترجمهٔ عباس گرمان. توکا، ۱۳۵۶. 
  2. ۲٫۰ ۲٫۱ ۲٫۲ ۲٫۳ ۲٫۴ بویر، کارل. تاریخ حسابان. ترجمهٔ عبدالحسین مصحفی. علمی و فرهنگی، ۱۳۸۴. شابک ‎۹۶۴-۴۴۵-۶۹۸-X. 
  3. استرویک، تاریخ فشرده ریاضیات، ۷۵.
  4. استرویک، تاریخ فشرده ریاضیات، ۸۶.
  5. استرویک، تاریخ فشرده ریاضیات، ۹۲.
  6. استرویک، تاریخ فشرده ریاضیات، ۹۳.
  7. قربانی، زندگینامهٔ ریاضیدانان دورهٔ اسلامی از سدهٔ سوم تا سدهٔ یازدهم هجری، ۳۶۸.
  8. Victor J. Katz. “The calculus of the trigonometric functions”. Historia Mathematica, November 1987, 311–324. doi:10.1016/0315-0860(87)90064-4. 
  9. نیر نوری. سهم ارزشمند ایران در فرهنگ جهان. تهران: انجمن آثار و مفاخر فرهنگی، ۱۳۷۵-۱۳۷۷. ۲۴۰. شابک ‎۹۶۴۶۲۷۸۲۰۵. 
  10. کاکسفورد، اصول و کاربردهای مثلثات، ۵۳.
  11. آدامز، حساب دیفرانسیل و انتگرال، جلد اول، ۱۴۶.
  12. برای نمونه:سیلورمن، حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه تحلیلی، ۸۶-۸۷. و توماس، حسابان، ۵۰.
  13. سیلورمن، حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه تحلیلی، جلد اول، ۹۱.
  14. ۱۴٫۰ ۱۴٫۱ ۱۴٫۲ ۱۴٫۳ توماس، حسابان، ۵۰.
  15. توماس، حسابان، ۴۸.
  16. ۱۶٫۰ ۱۶٫۱ سیلورمن، حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه تحلیلی، ۸۹.
  17. کاکسفورد، اصول و کاربردهای مثلثات، ۲۸۵.
  18. ۱۸٫۰ ۱۸٫۱ ۱۸٫۲ آبراموویچ و استگان، راهنمای توابع ریاضی با روابط، نمودارها و جدول‌های ریاضی، ۷۳.
  19. ۱۹٫۰ ۱۹٫۱ ۱۹٫۲ توماس، حسابان، ۵۳.
  20. توماس، حسابان، ۵۲.
  21. توماس، حسابان، ۸۰۶.
  22. آبراموویچ و استگان، راهنمای توابع ریاضی با روابط، نمودارها و جدول‌های ریاضی، ۷۴-۷۵.
  23. ۲۳٫۰ ۲۳٫۱ Robin Green. "Faster Math Functions". pp. 6–7. Retrieved April 10, 2015. 
  24. سیلورمن، حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه تحلیلی، ۲۲۷.
  25. آدامز، حساب دیفرانسیل و انتگرال، جلد اول، ۱۳۸.
  26. ۲۶٫۰ ۲۶٫۱ توماس، حسابان، ۸۳۳-۸۳۵.
  27. توماس، حسابان، ۹۹۶.
  28. سیلورمن، حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه تحلیلی، جلد اول. تابع سینوس و کسینوس: ص. ۱۷۹؛ سایر تابع‌ها: صص. ۲۱۰-۲۱۱
  29. توماس، حسابان، ۵۵۴.
  30. نسبت‌های مثلثاتی زاویه °۳ با اعمال رابطه تفاضل دو زاویه برای زاویه‌های °۱۸ و °۱۵ محاسبه می‌شوند (۳=۱۵-۱۸). نسبت‌های مثلثاتی °۱۸ درجه با بهره‌گیری از پنج‌ضلعی منتظم به دست می‌آیند. برای محاسبه نسبت‌های مثلثاتی °۱۵ نیز می‌توان از اعمال رابطه نصف زاویه برای زاویه °۳۰ استفاده کرد. پس از محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زاویه °۳، می‌توان مقادیر مربوط به زاویه‌هایی که ضریب آن هستند را با استفاده از روابط جمع دو زاویه و زاویه دو برابر، به دست آورد.
  31. Kantabutra, Vitit (1996). "On hardware for computing exponential and trigonometric functions". IEEE Trans. Computers 45 (3): 328–339. 
  32. Brent, Richard P. (April 1976). "Fast Multiple-Precision Evaluation of Elementary Functions". J. ACM 23 (2): 242–251. 
  33. سیلورمن، حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه تحلیلی، جلد اول، ۸۸.
  34. کاکسفورد، اصول و کاربردهای مثلثات، ۱۵۲-۱۵۴.
  35. کاکسفورد، اصول و کاربردهای مثلثات، ۱۵۸-۱۵۹.
  36. کاکسفورد، اصول و کاربردهای مثلثات، ۱۶۷-۱۶۸.
  37. سیلورمن، حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه تحلیلی، جلد اول، ۱۰۵-۱۰۶.
  38. سیلورمن، حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه تحلیلی، جلد اول، ۱۳۸.
  39. سیلورمن، حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه تحلیلی، جلد اول، ۱۷۹-۱۸۰.
  40. سیلورمن، حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه تحلیلی، جلد اول، ۴۶۵-۴۷۴.
  41. کاکسفورد، اصول و کاربردهای مثلثات، ۲۴۴، ۲۴۵، ۲۵۱.
  42. کاکسفورد، اصول و کاربردهای مثلثات، ۱۸۹-۱۹۰.
  43. کاکسفورد، اصول و کاربردهای مثلثات، ۱۹۴-۱۹۵.
  44. توماس، حسابان، AP-۱۷.
  45. آبراموویچ و استگان، راهنمای توابع ریاضی با روابط، نمودارها و جدول‌های ریاضی، ۱۶.
  46. "complex sine and cosine". planetmath. Retrieved April 8, 2015. 
  47. "Land Survey Formulas". surveyors. Retrieved April 8, 2015. 
  48. "(JPEG (Transform Compression". The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing. Retrieved March 29, 2015. 
  49. برای نمونه: Gerald B Folland (2009). "Convergence and completeness". Fourier Analysis and its Applications (Reprint of Wadsworth & Brooks/Cole 1992 ed.). American Mathematical Society. p. 77 ff. ISBN 0-8218-4790-2. 

منابع[ویرایش]

  • آدامز، رابرت. حساب دیفرانسیل و انتگرال، جلد اول. ترجمهٔ سید حسین اورعی. انتشارات دانشگاه فردوسی مشهد، ۱۳۸۸. شابک ‎۹۶۴-۳۸۶-۰۱۵-۹. 
  • استرویک، درک. تاریخ فشرده ریاضیات. ترجمهٔ غلامرضا برادران خسروشاهی، حشمت‌الله کامرانی. نشر نو، ۱۳۶۶. 
  • سیلورمن، ریچارد. حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه تحلیلی، جلد اول. ترجمهٔ علی‌اکبر عالم‌زاده. انتشارات ققنوس، ۱۳۸۶. شابک ‎۹۷۸-۹۶۴-۳۱۱-۰۰۵-۵. 
  • قربانی، ابوالقاسم. زندگینامهٔ ریاضیدانان دورهٔ اسلامی از سدهٔ سوم تا سدهٔ یازدهم هجری. چاپ دوم. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، ۱۳۷۵. شابک ‎۹۶۴-۰۱-۰۸۱۷-۰. 
  • کاکسفورد، آرتور. اصول و کاربردهای مثلثات. ترجمهٔ عادل ارشقی. انتشارات رسا، ۱۳۷۰. 
  • لیت‌هولد، لوئیس. حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه تحلیلی. ترجمهٔ علی‌اکبر عالم‌زاده. چاپ سی‌ام. تهران: علوم نوین، ۱۳۸۷. شابک ‎۹۷۸-۹۶۴-۶۱۳۳-۰۳-۷. 
  • Abramowitz, M. and Stegun, I. A.. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, 1972. 16. ISBN ‎978-0486612720. 
  • Thomas, George B. Jr. Calculus. Pearson, 2009. ISBN ‎0-321-58799-5. 

پیوند به بیرون[ویرایش]

  • «مثلثات». مکتب خونه. بازبینی‌شده در ۲۰۱۵-۰۴-۰۷.