فضای برداری

فضای برداری مجموعه‌ای از بردارهاست که مقیاس‌پذیرند و قابلیت جمع شدن را دارند.

در ریاضیات، فضای برداری یا فضای خطی به مجموعه‌ای از اشیاء ریاضی (به نام بردارها) گفته می‌شود که در مورد آن‌ها دو عمل جمع برداری و ضرب نرده‌ای به نحوی تعریف شده باشد که اصول موضوع چندی اقناع شود.

از جملهٔ معمول‌ترین فضاهای برداری در ریاضیات، و کاربردهای آن، فضاهای برداری حقیقی و فضاهای برداری مختلط هستند، که به ترتیب بر روی میدان‌های اعداد مختلط و اعداد حقیقی تعریف می‌شوند.

تعریف

یک فضای برداری یا فضای خطی از موارد زیر تشکیل شده است:

• میدان $F$ متشکل از کمیت‌های نرده‌ای
• مجموعه $V$ از اشیاء با نام بردار
• عمل جمع با این تعریف که برای هر $\alpha$ و $\beta$ در $V$، $\alpha + \beta$ در $V$ با این شرایط:
  • $\alpha + \beta = \beta + \alpha \,$
  • $\alpha + (\beta + \gamma) = (\alpha + \beta) + \gamma$
  • بردار یکتای $0$ وجود دارد به طوریکه به ازای هر $\alpha$ عضو $V$، $\alpha + 0 = \alpha$
  • به ازای هر بردار $\alpha$ عضو $V$، بردار یکتای $-\alpha$ وجود دارد به طوریکه $\alpha + (-\alpha) = 0$
• عمل ضرب با این تعریف برای هر بردار $\alpha$ در $V$ و اسکالر $c$ در میدان $F$، با این شرایط:
  • به ازای هر $\alpha$ در $V$، $1\alpha = \alpha$
  • $(c_1 c_2)\alpha = c_1(c_2\alpha)$
  • $c(\alpha + \beta) = c\alpha + c\beta$
  • ‎$(c_1 + c_2)\alpha = c_1\alpha + c_2\alpha$

جستارهای وابسته

• تحلیل مولفه‌های اصلی
• میدان برداری
• نرم‌ها

منابع

• جبر خطّی عددی (انگلیسی)
• مقدمه‌ای بر ریاضیات کاربردی (انگلیسی)
• فضای برداری

• Strang, Gilbert (July 19, 2005), Linear Algebra and Its Applications (4th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8
• Kenneth Hoffman, Ray Kunze. «2». در Linear Algebra. ویرایش Second Edition. Prentice-Hall, Inc.. 28.