سری (ریاضیات)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

در ریاضیات، یک سری اغلب به عنوان مجموع یک دنباله از گزاره‌ها معرفی می‌شود. به عبارت دیگر یک سری به عنوان لیستی از اعداد با عملگر جمع میان‌شان تعریف می‌گردد. برای مثال این تصاعد حسابی:

‎:۱ + ۲ + ۳ + ۴ + ۵ + ... + ۹۹ + ۱۰۰‎ در بیش‌تر موارد، جمله‌های دنباله بر پایهٔ یک قاعدهٔ خاص تولید می‌شوند هم‌چون به وسیلهٔ یک فرمول یا یک الگوریتم یا یک دنباله از اندازه‌گیری‌ها یا حتی از طریق یک تولیدکنندهٔ عدد تصادفی.

یک سری می‌تواند متناهی یا نامتناهی باشد. سری‌های متناهی را می‌توان با جبر مقدماتی بررسی کرد اما سری‌های نامتناهی ممکن است نیازمند استفاده از آنالیز ریاضی باشند.

مثال‌های سری‌های ساده شامل سری‌های حسابی که مجموع یک تصاعد حسابی است و به صورت زیر نوشته می‌شود:

$\sum_{n=0}^k (an+b);$

و سری‌های هندسی، مجموع یک تصاعد هندسی است و به صورت زیر نوشته می‌شود:

$\sum_{k=0}^\infty ar^{k}=a+ar+ar^2+ar^3+...+ar^k+...$

$(a \neq 0)$

به یک سری هندسی همگرا گفته می شود اگر : $( | r | < 1)$ و واگرا اگر : $|r| \geq 1$ . مجموع یک سری هندسی همگرا را می توان با استفاده از فرمول زیر بدست آورد:

$\sum_{k=0}^\infty ar^k = \frac{a}{1-r}$

[ویرایش] سری‌های متناهی

مجموع یک سری متناهی ‎a₀ + a₁ + a₂ + …‎ حد دنبالهٔ مجموع جزئی سری

$S_n = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n,$

با میل n به بی‌نهایت است، اگر این حد موجود باشد. اگر این حد موجود و برابر یک عدد حقیقی باشد، به سری همگرا گفته می‌شود. و اگر این حد موجود نباشد یا برابر بی‌نهایت باشد، سری واگرا نامیده می‌شود.