سری فوریه

تبدیل فوریه
تبدیل فوریه پیوسته
سری فوریه
تبدیل فوریه گسسته
تبدیل فوریه گسسته‌زمان
تبدیل‌های مرتبط

در ریاضیات، سری فوریه، تابعی است که با استفاده از آن می توان هر تابع متناوب را به صورت جمعی از توابع نوسانی ساده(سینوسی، کسینوسی و یا تابع نمایی مختلط ) نوشت.این تابع به نام ریاضیدان بزرگ فرانسوی، ژوزف فوریه نامگذاری شده است. با بسط هر تابع به صورت سری فوریه، مولفه های بسامدی آن تابع به دست می آید.

پیش گفتار

توابع مورد استفاده در مهندسی و توابع نمایانگر سیگنال‌ها معمولاً توابعی از زمان هستند یا به عبارت دیگر توابعی که در میدان زمان تعریف شده اند. برای حل بسیاری از مسائل بهتر است که تابع در دامنه فرکانس تعریف شده باشد زیرا این دامنه ویژگی‌هایی دارد که به راحتی محاسبات می‌انجامد.
فرض کنید که تابعی به شکل زیر تعریف شده است:

$x = \sum_{k=1}^N {A_k} cos(\omega_kt+\theta_k) \,\!$

که در آن $N$ یک عدد صحیح مثبت، $A_k$ دامنه ، $\omega_k$ بسامد و $\theta_k$ فاز توابع کسینوسی می باشد. قابل مشاهده است که با در دست داشتن بسامدها $\omega_1,\omega_2 \ldots \omega_N$، دامنه‌ها $A_1, A_2 \ldots A_N$ و فازها $\theta_1, \theta_2 \ldots \theta_N$ تابع یه طور کامل قابل تعریف است. توجه شود که بر اساس گفته‌های بالا تابع مستقل از زمان قابل تعریف است..

نمایش‌های مختلف سری فوریه

نمایش مثلثی

اگر $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$ یک تابع متناوب با دوره تناوب $T$ باشد (یا به عبارتی: ‎$f(t+T)=f(t)$‎) آنگاه این تابع را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$f(t) = a_0+\sum_{n=1}^{\infty}[ a_n \cos(\omega_n t) + b_n \sin(\omega_n t)] \,\!$

که در آن $\omega_n$ هارمونیک nام سری فوریه به رادیان بوده و ضرایب $a_n$، $a_0$ و $b_n$ را می‌توان از فرمول‌های اولر بدست آورد.
فوریه بر این باور بود که هرگونه تابع متناوب را می‌توان به صورت جمعی از توابع سینوسی نوشت. این مطلب درست نمیباشد. شرایط لازم برای هر تابع متناوب برای اینکه به صورت سری فوریه نوشته شود به صورت زیر است:

1. تابع در هر دورهٔ تناوبی انتگرال‌ پذیر باشد:

$\int_{a}^{a + T}{\left\vert f(x) \right\vert} dx < \infty$

1. تابع فقط شمار محدودی بیشینه و کمینه دارد.
2. تابع فقط شمار محدودی ناپیوستگی دارد.

نمایش مختلط

سری فوریه می‌تواند به صورت زیر نیز نوشته شود:

$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i \omega_n t} \,\!$

و در اینجا:

$c_n = \frac{1}{T}\int_{t_1}^{t_2} f(t) e^{-i \omega_n t}\, dt \,\!$

این رابطه با کمک ‎‎فرمول اویلر قابل گسترش به صورت زیر است:

$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n cos({w_n}t) + i c_n sin({w_n}t) \,\!$

اگر این رابطه را به‌طور مستقیم با نمایش مثلثی مقایسه کنیم مشاهده می‌شود که $c_n$ به طریق زیر نیز قابل محاسبه است:

$c_n = \frac{1}{2} (a_n-ib_n) \,\!$

$c_{-n} = \frac{1}{2} (a_n+ib_n) \,\!$

نمایش کسینوس-با-فاز

نمایش زیر که در واقع شکل ویژه‌ای از نمایش مثلثی می‌باشد، نمایش کسینوس-با-فاز نام دارد. از این نمایش در رسم طیف خطی ‏(به انگلیسی: ‏line spectra) استفاده می‌شود.

$x = {a_0} \sum_{k=1}^N {A_k} cos({\omega_k}t+\theta_k) \,\!$

محاسبه ضرایب فوریه

نمایش مثلثی

نمایش مثلثی بالا را در نظر بگیرید. همانطور که گفته شد$T$ دوره تناوب و ${\omega_n}$ هارمونی nام تابع میباشد. در تبدیل فوریه سه ضریب $a_n$ و $b_n$ و ضریب ثابت $a_0$ مطرح است. ضریب‌ها با استفاده از روابط زیر قابل محاسبه هستند.

$a_0 =\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) dx \,\!$

$a_n =\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) Cos(n{\omega}x) dx, k = 1,2,\ldots \,\!$

$b_n =\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) Sin(n{\omega}x) dx, k = 1,2,\ldots \,\!$

بازه [$\pi , \pi$-] یا در کل بازه هایی که طول آنها $2\pi$ است از مهمترین بازه هایی است که درمحاسبه ضرایب استفاده میشود. بدین ترتیب $p = 2\pi$ پس ضرایب عبارتند از:

$a_0 =\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx \,\!$

$a_n =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) Cos(nx) dx \,\!$

$b_n =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) Sin(nx) dx \,\!$

جستار وابسته

• تبدیل فوریه
• سری تیلور

کتاب‌شناسی

• Yitzhak Katznelson, An introduction to harmonic analysis, Second corrected edition. Dover Publications, Inc., New York, 1976. ISBN 0-486-63331-4
• Felix Klein, Development of mathematics in the 19th century. Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. Translated by M. Ackerman from Vorlesungen uber die Entwicklung der Matematik im 19 Jahrhundert, Springer, Berlin, 1928.
• Walter Rudin, Principles of mathematical analysis, Third edition. McGraw-Hill, Inc., New York, 1976. ISBN 0-07-054235-X
• Kamen, Edward W.; Heck, Bonnie S. (2007). Signals And Systems. Prentice Hall. ISBN 0-13-168737-9.