سری فوریه

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
تبدیل فوریه
Fourier2.jpg
تبدیل فوریه پیوسته
سری فوریه
تبدیل فوریه گسسته
تبدیل فوریه گسسته‌زمان
تبدیل‌های مرتبط


در ریاضیات، با استفاده از سری فوریه می‌توان هر تابع متناوب را به صورت جمعی از توابع نوسانی ساده (سینوسی، کسینوسی و یا تابع نمایی مختلط ) نوشت. این تابع به نام ریاضیدان بزرگ فرانسوی، ژوزف فوریه نامگذاری شده است. با بسط هر تابع به صورت سری فوریه، مولفه های بسامدی آن تابع به دست می آید.

پیش گفتار[ویرایش]

توابع مورد استفاده در مهندسی و توابع نمایانگر سیگنال‌ها معمولاً توابعی از زمان هستند یا به عبارت دیگر توابعی که در میدان زمان تعریف شده اند. برای حل بسیاری از مسائل بهتر است که تابع در دامنه فرکانس تعریف شده باشد زیرا این دامنه ویژگی‌هایی دارد که به راحتی محاسبات می‌انجامد.
فرض کنید که تابعی به شکل زیر تعریف شده است:

x = \sum_{k=1}^N {A_k} cos(\omega_kt+\theta_k)  \,\!

که در آن N یک عدد صحیح مثبت، A_k دامنه ، \omega_k بسامد و \theta_k فاز توابع کسینوسی می باشد. قابل مشاهده است که با در دست داشتن بسامدها \omega_1,\omega_2 \ldots \omega_N، دامنه‌ها A_1, A_2 \ldots A_N و فازها \theta_1, \theta_2 \ldots \theta_N تابع یه طور کامل قابل تعریف است. توجه شود که بر اساس گفته‌های بالا تابع مستقل از زمان قابل تعریف است..

نمایش‌های مختلف سری فوریه[ویرایش]

نمایش مثلثاتی[ویرایش]

اگر f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C} یک تابع متناوب با دوره تناوب T باشد (یا به عبارتی: ‎f(t+T)=f(t)‎) آنگاه این تابع را می‌توان به صورت زیر نوشت:

f(t) = a_0+\sum_{n=1}^{\infty}[ a_n \cos(\omega_n t) + b_n \sin(\omega_n t)]  \,\!

که در آن  \omega_n هارمونیک nام سری فوریه به رادیان بوده و ضرایب a_n، a_0 و b_n را می‌توان از فرمول‌های اولر بدست آورد.
فوریه بر این باور بود که هرگونه تابع متناوب را می‌توان به صورت جمعی از توابع سینوسی نوشت. این مطلب درست نمیباشد. شرایط لازم برای هر تابع متناوب برای اینکه به صورت سری فوریه نوشته شود به صورت زیر است:

  1. تابع در هر دورهٔ تناوبی انتگرال پذیر باشد:
	\int_{a}^{a + T}{\left\vert f(x) \right\vert} dx <\infty
  1. تابع فقط شمار محدودی بیشینه و کمینه دارد.
  2. تابع فقط شمار محدودی ناپیوستگی دارد.

نمایش مختلط[ویرایش]

سری فوریه می‌تواند به صورت زیر نیز نوشته شود:

f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i \omega_n t}  \,\!

و در اینجا:

c_n = \frac{1}{T}\int_{t_1}^{t_2} f(t) e^{-i \omega_n t}\, dt  \,\!

این رابطه با کمک ‎‎فرمول اویلر قابل گسترش به صورت زیر است:

\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n cos({w_n}t) + i c_n sin({w_n}t)  \,\!

اگر این رابطه را به‌طور مستقیم با نمایش مثلثی مقایسه کنیم مشاهده می‌شود که c_n به طریق زیر نیز قابل محاسبه است:

c_n = \frac{1}{2} (a_n-ib_n)  \,\!
c_{-n} = \frac{1}{2} (a_n+ib_n)  \,\!

نمایش کسینوس-با-فاز[ویرایش]

نمایش زیر که در واقع شکل ویژه‌ای از نمایش مثلثی می‌باشد، نمایش کسینوس-با-فاز نام دارد. از این نمایش در رسم طیف خطی (به انگلیسی: line spectra) استفاده می‌شود.

x = {a_0} \sum_{k=1}^N {A_k} cos({\omega_k}t+\theta_k)  \,\!

محاسبه ضرایب فوریه[ویرایش]

نمایش مثلثی[ویرایش]

نمایش مثلثی بالا را در نظر بگیرید. همانطور که گفته شدT دوره تناوب و {\omega_n} هارمونی nام تابع میباشد. در تبدیل فوریه سه ضریب a_n و b_n و ضریب ثابت a_0 مطرح است. ضریب‌ها با استفاده از روابط زیر قابل محاسبه هستند.

a_0 =\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) dx  \,\!
a_n =\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) Cos(n{\omega}x) dx, n = 1,2,\ldots  \,\!
b_n =\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) Sin(n{\omega}x) dx, n = 1,2,\ldots  \,\!

بازه [\pi , \pi-] یا در کل بازه هایی که طول آنها 2\pi است از مهمترین بازه هایی است که درمحاسبه ضرایب استفاده میشود. بدین ترتیب p = 2\pi پس ضرایب عبارتند از:

a_0 =\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx  \,\!
a_n =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) Cos(nx) dx  \,\!
b_n =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) Sin(nx) dx  \,\!

جستارهای وابسته[ویرایش]

کتاب‌شناسی[ویرایش]

  • Yitzhak Katznelson, An introduction to harmonic analysis, Second corrected edition. Dover Publications, Inc., New York, 1976. ISBN 0-486-63331-4
  • Felix Klein, Development of mathematics in the 19th century. Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. Translated by M. Ackerman from Vorlesungen uber die Entwicklung der Matematik im 19 Jahrhundert, Springer, Berlin, 1928.
  • Walter Rudin, Principles of mathematical analysis, Third edition. McGraw-Hill, Inc., New York, 1976. ISBN 0-07-054235-X
  • Kamen, Edward W.; Heck, Bonnie S. (2007). Signals And Systems. Prentice Hall. ISBN 0-13-168737-9.