تابع زتای ریمان

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات، تابع زتای ریمان (توسط برنارد ریمان نامگذاری شد) تابعی است بسیار مهم و پرکاربرد در نظریه اعداد . زیرا با توزیع اعداد اول رابطه دارد. همچنین کاربردهای دیگری نیز در جاهای دیگر علم دارد مانند: فیزیک، نظریه احتمال و کاربرد استاتیک.

تعریف[ویرایش]

تابع زتاریمان (ζ(s برای هر عدد مختلط s با ( جزء حقیقی بزرگتر از یک) با سری نامتناهی زیر تعریف می‌شود:


\zeta(s) =
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}

در ناحیهٔ {sC: Re(s)> 1}، این سری همگراست و یک تابع تحلیلی در این ناحیه تعریف می‌کند. برنارد ریمان دریافت که چگونه می‌توان این تابع را به تمام نقاط مختلط با جزء حقیقی غیر یک بسط داد که حاصل آن یک تابع مرومورفیک(ζ(s است. موقعیت صفرهای این تابع تحلیلی موضوع حدس ریمان است. بنا به این حدس، برای تمام صفرهای نابدیهی این تابع تحلیلی (آنهایی که یک عدد صحیح زوج منفی نیستند)، جزء حقیقی برابر ½ است.

رابطه با اعداد اول[ویرایش]

ارتباط این تابع با اعداد اول ابتدا توسط لئونارد اویلر پیدا شد او پی برد :


\begin{align}
\zeta(s)& = \prod_{p\in\mathbb{P}} \frac{1}{1-p^{-s}}\\
& = \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{8^s} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \frac{1}{27^s} + \cdots \right) \cdots \left(1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \frac{1}{p^{3s}} + \cdots \right) \cdots,
\end{align}

یک محاسبه نامحدود که همه اعداد اول را در بر می‌گیرد، نتیجه این محاسبات برای همگراست. این یک نتیجه منطقی از دو نمونه و نتیجه بنیادی در ریاضیات است. این فرمول برای سری‌های ژئومتریک و یک قضیه بنیادی علم حساب است.

خواص متفاوت[ویرایش]

برای تابع زتاریمان روی نوار بحرانی، تابع Z دیده می‌شود. برای مجموع اعداد صحیح که در تابع زتا گرفتار می‌شوند، سری ز تا را مستدل می‌کند.

مقادیر ویژه[ویرایش]

در پایین بیشترین استفاده از مقادیر تابع زتاریمان که عمومیت دارند نشان داده می‌شود.

\zeta(1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = \infty; تابع هارمونیک:\zeta(3/2) \approx 2.612
\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.645; بسل.
\zeta(5/2) \approx 1.341
\zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots \approx 1.202 ; ثابت آپری
\zeta(7/2) \approx 1.127
\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90} \approx 1.0823

صفرهای تابع زتاریمان[ویرایش]

تابع زتاریمان در اعداد صحیح منفی صفر دارد (به معادلهٔ تابع توجه کنید) به این صفرها، صفرهای بدیهی گویند انها فقط جزئی اند به این خاطر اثبات وجود آنها آسان است. برای مثال از رابطه گاما که در پایین امده است. صفرهای غیر بدیهی که در نظر گرفته می‌شود بیشتر با توجه به دلیل اینکه توزیع آنها نه تنها کم قابل درک است حتی مهم‌تر از آن اینست که به صورت حیرت آوری رگه‌ای در پرسش‌های ریاضی باز می‌کند. می دانیم که هر صفر غیر بدیهی تابع زتاریمان در نوار باز {sC: 0 <Re(s) <1}، که نوار بحرانی نام دارد. فرضیه ریمان اظهار می‌دارد که هر صفر غیر بدیهی دارای Re(s) = 1/2 است. در قضیه تابع زتاریمان، {sC: Re(s) = 1/2} خط بحرانی نامیده می‌شود. جایگاه صفرهای تابع زتاریمان، اهمیت بسیاری در نظریه اعداد دارد. از حقیقت اینکه تمام صفرهای غیر بدیهی در نوار بحرانی قرار دارند، یک می‌توان نظریه اعداد اول را استنتاج کرد. و یک نتیجه بهتر اینست که:

\sigma\ge 1-\frac{1}{57.45(\log{|t|})^{3/2}(\log{\log{|t|}})^{1/3}}.

قوی‌ترین نتیجه از این بحث اینست که را می‌توان درستی نظریه ریمان را انتظار داشت که نتایج بسیار ژرفی در نظریه اعداد دارد. این معلوم است که تعداد نامتناهی نوار بحرانی وجود دارد. تیهلد نشان داد که اگر دنباله (γn) قسمت موهومی و همه صفرهای صفحه بالایی را شامل می‌شود که:

\lim_{n\rightarrow\infty}\gamma_{n+1}-\gamma_n=0.

قضیه نوار بحرانی ادعا می‌کند که درصد مثبتی از صفرهای غیر بدیهی در نوار بحرانی قرار دارد. در نوار بحرانی، صفر با کوچک‌ترین قسمت موهومی غیر منفی 1/2+i14.13472514... مستقیماً از معادلهٔ تابعی دیده می‌شود که صفر غیر بدیهی متقارن اند حول Re(s) = 1/2 اگر چه ζ(s)=ζ(s*)* برای تمام اعداد مختلط s ≠ 1 بکار می‌رود که صفرهای تابع زتاریمان حول قسمت حقیقی متقارن و موجودند. گادفری هرلد هاردی اثبات کرد تباع زتای ریمان بی‌نهایت صفر دارد.(هاورد و. ایوز، صفحهٔ ۲۵۸)- امروزه اثبات فرضیه ریمان که به RH معروف است مهمترین مسئله اثبات نشده ریاضی است و برای اولین اثبات صحیح یک میلیون دلار جایزه تعیین شده است .

معادلهٔ تابع[ویرایش]

تابع زتا، معادلهٔ تابع ای که در مقابل می‌آید را مشخص می‌کند.


\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)

که برای تمام sهای در C\{0,1}. معتبر است (صدق می‌کند)، در اینجا منظور از Γ همان تابع گاماست این فرمول برای ساختن آنالیز پیوسته بکار می‌رود. در S = 1، تابع زتا مانند مانده در قطب 1 است.معادله همچنین نشان می‌دهد که تابع زتا، صفر بدیهی از -2 , -4 , … دارد. همچنین وجود دارد نمونه‌ای متقارن از معادلهٔ تابع که در همان تعریف اولیه را می‌دهد

\xi(s) = \pi^{-s/2}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s).

این معادله به‌وسیلهٔ این معادله بدست آمده است:

\xi(s) = \xi(1 - s).\

معکوس[ویرایش]

معکوس تابع زتا از سری دریکله روی معادلهٔ موبیدس نتیجه می‌شود.


\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^{\infin} \frac{\mu(n)}{n^s}

برای هر عدد مختلط s با \Re(s)>1.، وجود دارد عددی، از رابطه مشابه که مستلزم اعداد متفاوت است که مشخص می‌کند تابع ضربی را که محاسبات ریاضیات را روی سری دریکله می‌دهد. در بالا و با بیان تعارف برای ζ(2)، می‌توان برای حل امتحان دو پیشامد که عدد صحیح را می‌دهد استفاده کرد که برابر 6/π2 است. فرض ریمان هم ارز است با این ادعا که اظهار می‌کند که وجود دارد وقتی که \Re(s)>0.5. است.

تابع زتاریمان از تبدیل ملین[ویرایش]

تبدیل ملین از یک تابع fe (x) به صورت زیر تعریف می‌شود.

\{ \mathcal{M} f \}(s) = \int_0^\infty f(x)x^s \frac{dx}{x}

در ناحیه‌ای که انتگرال تعریف می‌شود، تعبیرهای متفاوتی برای تابع زتا در تبدیل ملین وجود دارد. اگر قسمت حقیقی S بزرگ‌تر از 1 باشد داریم:

\Gamma(s)\zeta(s) =\left\{ \mathcal{M} \left(\frac{1}{\exp(x)-1}\right) \right\}(s)

با حذف جمله اول بسط سری توانی از 1/(exp(x)& حول صفر، ما می‌توانیم در دیگر نواحی نیز تابع زتا را بدست آوریم با جزئیات در نوار بحرانی خواهیم داشت:

\Gamma(s)\zeta(s) = \left\{ \mathcal{M}\left(\frac{1}{\exp(x)-1}-\frac1x\right)\right\}(s)

و وقتی قسمت حقیقی بین 0 , -1 باشد داریم:

\Gamma(s)\zeta(s) = \left\{\mathcal{M}\left(\frac{1}{\exp(x)-1}-\frac1x+\frac12\right)\right\}(s)

و ما می‌توانیم همچنین پیدا کنیم جملاتی را که با اعداد اول رابطه دارند. اگر π(x) یک تابع محاسبه اعداد اول باشد پس

\log \zeta(s) = s \int_0^\infty \frac{\pi(x)}{x(x^s-1)}dx

برای مقادیری با \Re(s)>1. می‌توانیم رابطه‌ای بالا را با تبدیل ملین از π(x) by پیدا کنیم.

\frac{\log \zeta(s)}{s} - \omega(s) = \left\{\mathcal{M} \pi(x)\right\}(-s)

که

\omega(s) = \int_0^\infty \frac{\pi(s)}{x^{s+1}(x^s-1)}dx

یک مشابه تبدیل ملین مستلزم اینست که تابع J(x) محاسبه‌ای اعداد اول ریمان که اعداد ( pn ) اول توانی را محاسبه می‌کند با وزن 1/nپس J(x) = \sum \frac{\pi(x^{1/n})}{n}. حال داریم:

\frac{\log \zeta(s)}{s} = \left\{\mathcal{M} J \right\}(-s)

فرمول این تعبیر می‌تواند برا حل تئوری اعداد اول استفاده شود. به‌وسیلهٔ معکوس تبدیل ملین کارکردن با تابع محاسبه اعداد اول ریمان آسانتر است و می‌تواند با استفاده از آن به‌وسیله معکوس مربیوس بهبود یابد.

بسط سری[ویرایش]