تبدیل لاپلاس

ترادیس لاپلاس (یا تبدیل لاپلاس) (به انگلیسی: Laplace transform)‏ در ریاضیات یک تبدیل انتگرالی است که بسیار پرکاربرد است. ترادیس لاپلاس با نماد $\displaystyle\mathcal{L} \left\{f(t)\right\}$ درواقع عملگری خطی از تابع (f (t با آرگومان حقیقی (t (t ≥ ۰ به تابع (F (s با آرگومان مختلط s است. در بسیاری از کاربردهای عملی، این ترادیس به صورت دوسویه عمل می‌کند. ویژگی مهم این ترادیس آن است که بسیاری از رابطه‌ها و تغییراتی که بر روی تابع اصلی (f (t برقرار هستند، در ترادیس یافتهٔ آن (F (s نیز با رابطه‌ای ساده و منطقی برقرار اند.

این ترادیس به افتخار پیر لاپلاس یعنی کسی که آن را در یکی از کارهایش بر روی نظریهٔ احتمالات معرفی کرده بود، ترادیس لاپلاس گذاشته شده‌است.

ترادیس لاپلاس شبیه به ترادیس یا تبدیل فوریه است با این تفاوت که ترادیس فوریه یک تابع را به حالت‌های ارتعاشی‌اش تجزیه می‌کند ولی ترادیس لاپلاس آن را به momentهایش تجزیه می‌کند. ترادیس‌های لاپلاس و فوریه هر دو برای حل معادله‌های دیفرانسیلی و انتگرالی کاربرد دارند. در فیزیک و مهندسی از این ترادیس برای تحلیل سامانهٔ نامتغیرهای خطی زمان مانند مدارهای الکتریکی، ابزارهای نوری، و سامانه‌های مکانیکی استفاده می‌شود. در بیشتر موارد، ترادیس لاپلاس برای تبدیل سامانه‌هایی با ورودی و خروجی وابسته به زمان به سامانه‌ای وابسته به بسامد زاویه‌ای مختلط با یکای رادیان بر واحد زمان است. به عبارت دیگر، اگر سامانه‌ای را در نظر بگیریم که توصیف ریاضی یا تابع ورودی و خروحی آن را داشته باشیم، ترادیس لاپلاس آن به ما کمک می‌کند تا تابع جایگزینی را پیدا کنیم که تحلیل رفتار این تابع را آسان‌تر می‌کند.

روش تبدیل لاپلاس ، روش عملیاتی است که می تواند در حل معادلات دیفرانسیل خطی سودمند باشد . به کمک تبدیلهای لاپلاس می توان بسیاری از توابع متداول نظیر توابع سینوسی ، توابع سینوسی میرا ، و توابع نمایی را به توابع جبری با یک متغیر مختلط تبدیل کرد . عملیات جبری در صفحات مختلط می توانند جای عملیاتی مانند مشتقگیری و انتگرالگیری را بگیرند . از این رو یک معادله دیفرانسیل خطی را می توان به یک معادله جبری با یک متغیر مختلط تبدیل کرد . آنگاه جواب معادله دیفرانسیل را می توان به کمک جدول تبدیل لاپلاس یا روش تجزیه به کسرهای ساده بدست آورد .

یکی از مزایای روش تبدیل لاپلاس در این است که استفاده از روشهای ترسیمی برای پیش بینی عملکرد سیستم را بدون حل واقعی معادلات دیفرانسیل سیستم میسر می سازد . مزیت دیگر آن در این است که با حل معادله دیفرانسیل ، می توان هر دو مولفه گذرا و حالت ماندگار جواب را یکجا بدست آورد .

پیشینه

ترادیس لاپلاس به بزرگداشت ریاضی‌دان و ستاره‌شناس فرانسوی پیر لاپلاس نامگذاری شده‌است. او اولین بار از این ترادیس در یکی از کارهایش بر روی نظریهٔ احتمالات استفاده کرد. از سال ۱۷۴۴ لئونارد اویلر شروع به تحقیق دربارهٔ انتگرال‌هایی با فرم زیر کرد:

$z = \int X(x) e^{ax}\, dx \quad\text{ and}\quad z = \int X(x) x^A \, dx$

او از این ترادیس برای حل معادله‌های دیفرانسیل استفاده کرد ولی بیش از آن در این زمینه پیگیری نکرد. ژوزف لویی لاگرانژ از کسانی بود که از اویلر تاثیر گرفته‌اند، او در مطالعاتش بر روی انتگرال‌گیری از تابع چگالی احتمال رابطه‌هایی با شکل زیر را به دست آورد:

$\int X(x) e^{- a x} a^x\, dx,$

برخی تاریخ نگاران امروزی از آن با نام نظریهٔ ترادیس نوین لاپلاس (به انگلیسی: modern Laplace transform theory)‏ یاد کرده‌اند.

به نظر می‌رسد این گونه انتگرال‌ها اولین بار در سال ۱۷۸۲ مورد توجه لاپلاس قرار گرفته‌اند. در آن دوران، او تلاش می‌کرد تا مانند اویلر از خود انتگرال‌ها به عنوان راه حل معادله‌ها استفاده کند.. وی در سال ۱۷۸۵ گام اصلی را به جلو برداشت و به جای این که تنها به دنبال به دست آوردن یک جواب انتگرالی باشد سعی کرد بر روی خود ترادیس، تغییرهای لازم را بدهد. او ابتدا از انتگرالی با شکل زیر استفاده کرد:

$\int x^s \phi (x)\, dx,$

تعریف

ترادیس لاپلاس تابع (f (t در مجموعهٔ اعداد حقیقی برای t ≥ ۰ تابع (F (s است که به صورت زیر تعریف می‌شود:

$F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt.$

پارامتر s عددی مختلط است که:

$s = \sigma + i \omega, \,$ با σ و ω حقیقی.

ترادیس لاپلاس دو طرفه

این ترادیس روی تابع‌هایی که روی کل $R$ تعریف شده‌اند اعمال می‌شود و به صورت زیر است:

$F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_{-\infty}^\infty e^{-st} f(t) \,dt$

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Laplace transform»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۲۹ سپتامبر ۲۰۱۱).

نوین

• Korn, G.A.; Korn, T.M. (1967), Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (2nd ed.), McGraw-Hill Companies, ISBN 0-0703-5370-0 .

تاریخی

• Euler, L. (1744), "De constructione aequationum", Opera omnia, 1st series 22: 150–161 .
• Euler, L. (1753), "Methodus aequationes differentiales", Opera omnia, 1st series 22: 181–213 .
• Euler, L. (1769), "Institutiones calculi integralis, Volume 2", Opera omnia, 1st series 12 , Chapters 3–5.
• Grattan-Guinness, I (1997), "Laplace's integral solutions to partial differential equations", in Gillispie, C. C., Pierre Simon Laplace 1749–1827: A Life in Exact Science, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-01185-0 .
• Lagrange, J. L. (1773), Mémoire sur l'utilité de la méthode, Œuvres de Lagrange, 2, pp. 171–234 .