تابع یک‌به‌یک

فرض کنید f:X→Y یک تابع باشد. در این‌صورت برای تناظری که بین اعضای X و Y به‌وسیله تابع f برقرار می‌شود حالات مختلفی را می‌توان تصور کرد.

شکل(7)

اولین حالت اینکه ممکن است به ازای هر y متعلق به برد تابع f، تنها یک x در دامنه موجود باشد که (y=f(x. این شرط را می‌توان چنین فرمول بندی کرد که اگر به ازای x₁,x₂∈X داشته باشیم (f(x₁)=f(x₂ آنگاه x₁=x₂ یا:

$\forall x_1,x_2\in X:(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2)$

چنین تابعی را با این ویژگی یک تابع یک به یک(تک گزین) یا انژکتیو می‌گوییم. یک به یک بودن تابع f را گاهی برای اختصار با نماد 1-1 نشان می‌دهند. در چنین حالتی ضمن اینکه بدلیل تابع بودن f هیچ دو زوج مرتبی از f دارای مولفه اول یکسان نمی‌باشند، به دلیل یک به یک بودن هیچ دو زوج مرتبی از f دارای مولفه دوم یکسان نیز نمی‌باشند.

یک به یک بودن یک تابع از روی نمودار تابع نیز قابل بررسی است. در نمودار پیکانی تابع یک به یک f، وضوحاً به هر عضو از همدامنه f انتهای حداکثر یک پیکان وارد شده است. به این ترتیب نمودار پیکانی شکل(2) نمایش گر یک تابع غیر یک به یک است. همچنین نمودار یک تابع حقیقی یک به یک به گونه‌ای است که هر خط موازی محور x ها، نمودار آن را حداکثر در یک نقطه قطع می‌کند. به این ترتیب نمودار شکل(4) مربوط به تابعی غیر یک به یک است.

f : R ---> R f(x) = |x| + x

x1 = -2 ---> f(x1) = |-2| + (-2) = 0 x2 = -3 ---> f(x2) = |-3| + (-3) = 0 x2 ≠ x1 ---> f(x1) = f(x2)

F یک به یک نیست

مطالعه بیشتر

• ویدیوهای آموزشی تابع به زبان فارسی در کلاس درس: [۱]