تابع بسل

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

توابع بسل، (به انگلیسی: Bessel functions) اولین بار توسط دانیل برنولی تعریف شدند و سپس فردریش بسل فرم عمومی آن را بررسی نمود. توابع بسل جواب‌های معادله دیفرانسیل زیر می‌باشند [۱] :

x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0

معادله بسل معادله‌ای است که از معادلات قابل حل با سری‌هاست، و دارای نقطه تکین منظم است. نقطه x=0 تنها نقطه غیرعادی معادله فوق است. جواب‌های معادله به توابع بسل معروفند. در معادلهٔ بالا \alpha یک عدد حقیقی یا مختلط دلخواه می‌باشد که مرتبه تابع بسل را مشخص می‌کند.

بطورکلی توابع بسل از حل معادلات دیفرانسیل پاره‌ای لاپلاس و معادله هلمهولتز در مختصات استوانه‌ای و مختصات کروی بدست می‌آیند. از این رو این توابع در تیوری انتشار امواج و تیوری پتانسیل اهمیت بسزایی دارند. البته این توابع در حل معادلات ارتعاشات، معادلات رسانایی گرما و امواج الکترومغناطیس در مختصات استوانه‌ای ظاهر می‌شوند.

تعریف[ویرایش]

توابع بسل نوع اول آن دسته توابعی هستند که مربوط به \alpha بعنوان عدد طبیعی منفی می‌باشند که در صفر متناهی می‌باشد:

 J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m+\alpha+1)} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha}

که \Gamma (z) تابع گاما می‌باشد که حالت کلی فاکتوریل برای اعداد غیرطبیعی می‌باشد.

نمودار توابع بسل از نوع اول، Jα(x)، به ازای مقادیر صحیح مرتبه α=0,1,2.
نمودار توابع بسل از نوع دوم، Yα(x)، به ازای مقادیر صحیح مرتبه α = 0, 1, 2.

توابع بسل نوع دوم آن دسته توابعی هستند که در مبدا مختصات (نقطه صفر) تکین (Singular) هستند:

Y_\alpha(x) = \frac{J_\alpha(x) \cos(\alpha\pi) - J_{-\alpha}(x)}{\sin(\alpha\pi)}

منابع[ویرایش]

  • حاجی جمشیدی-سردار. معادلات دیفرانسیل معمولی. صفار-اشراقی، ۸۴. ۱۷۶. ISBN 964-5973-13-9. 
  1. Bessel Functions and Their Applications (Analytical Methods and Specialfunctions, 8) (Hardcover) by B G Korenev