تابع پوشا

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات تابع f:X \to Y را پوشا می نامیم، هرگاه هر عضو مانند y \in Y با یک عضو مانند x \in X متناظر شده باشد، به گونه ای که f(x)=y. تابع f ممکن است بیشتر از یک عضو از X را به یک عضو خاص از Y تصویر کند.

واژه ی پوشا و واژه های مرتبط یک به یک و دوسویی توسط Nicolas Bourbak ، تخلص گروهی از ریاضی دانان اساسا فرانسوی قرن بیستمی که کتاب های متعددی درمورد توضیح ریاضیات پیشرفته مدرن نوشتند، در سال 1935 معرفی شدند. واژه ی پوشا به این معنی است که تصویر دامنه ی تابع کاملا برد تابع را می پوشاند.

یک تابع پوشا از دامنه ی X به برد Y. این تابع به این دلیل پوشا است که به ازای هر نقطه y در برد حداقل یک نقطه x در دامنه وجود دارد که f(x)=y.

تعریف[ویرایش]

تابع پوشا تابعی است که تصویر آن برابر بردش می باشد. یابه طور معادل تابع f با دامنه ی Y و برد X پوشا است اگر به ازای هر y \in Y وجود داشته باشد حداقل یک x \in X که f(x)=y. توابع پوشا برخی اوقات با یک پیکان راست پیما دو سر نمایش داده می شوند، مانند f : X ↠ Y.

f:X \to Y ، آنگاه f پوشا است اگر

\forall y \in Y; \exists x \in X; f(x)=y .

مثال ها[ویرایش]

به ازای هر مجموعه ی X تابع همانی بر روی X پوشا است.

تابع f:Z \to \{0, 1\} با ضابطه ی f(n) = n mod 2 (تابعی که اعداد زوج را به صفر و اعداد فرد را به یک تصوبر می کند.)تابعی پوشا است.

تابع f:R \to R با ضابطه ی f(x) = 2x + 1 پوشا (و حتی دو سویی)است، چون به ازای هر عدد حقیقی y x=(y - 1)/2 ای وجود دارد به گونه ای که f(x)=y.

تابع f:R \to R با ضابطه ی f(x) = x3 - 3x پوشا است زیرا تصویر معکوس هر عدد حقیقی y مجموعه جواب معادله ی درجه سه x3-3x-y=0 است و هر چند جمله ای درجه ی سه با ضرایب حقیقی حداقل یک ریشه ی حقیقی دارد. اگر چه این تابع یک به یک(و در نتیجه دوسویی) نیست زیرا برای مثال تصویر معکوس y = 2 مجموعه ی \{x = -1, x = 2\} است. (درحقیقت، تصویر معکوس این تابع به ازای هر -2 <= y <= 2 بیشتر از یک عضو دارد.)

تابع g:R \to R با ضابطه ی g(x) = x² پوشا نیست زیرا هیچ عدد حقیقی مانند x وجود ندارد که x² = -1. اگرچه تابع g:R \to Rnn با ضابطه ی g(x) = x² (با برد تحدید شده) پوشا است زیرا به ازای هر y از برد Y (اعداد حقیقی نامنفی) حداقل یک x در دامنه X (اعداد حقیقی) وجود دارد، به گونه ای که x² = y.

تابع لگاریتم طبیعی ln : (0,+∞) → R یک نگاشت پوشا و حتی دوسویی از مجموعه ی اعداد حقیقی مثبت به مجموعه ی تمام اعداد حقیقی است. وارون این تابع، تابع نمایی، پوشا نیست زیرا بردش مجموعه ی اعداد حقیقی مثبت و دامنه اش معمولا مجموعه ی تمام اعداد حقیقی در نظر گرفته می شود. The matrix exponential is not surjective when seen as a map from the space of all n×n matrices to itself. It is, however, usually defined as a map from the space of all n×n matrices to the general linear group of degree n, i.e. the group of all n×n invertible matrices. Under this definition the matrix exponential is surjective for complex matrices, although still not surjective for real matrices.

افکنش از یک ضرب دکارتی A * B به یکی از عواملش پوشا است.

در یک بازی ویدئویی سه بعدی بردار ها به وسیله ی یک تابع پوشا بر روی یک نمایشگر صفحه تخت دو بعدی تصویر می شوند.

خواص[ویرایش]

یک تابع دوسویی است اگر و تنها اگر پوشا و یک به یک باشد.

اگر چه یک به یک بودن تابع از روی نمودارش قابل تشخیص است اما پوشا بودن یا نبودن یک تابع را نمی توان از روی نمودارش متوجه شد.


توابع پوشا و right invertible[ویرایش]

تابع g:Y \to X لright inverse تابع f:X \to Y گفته می شود اگر برای هر f(g(y))، y \in Y .ن(g توسط f خنثی می شود). به عبارت دیگر g یک right inverse لf است اگر ترکیب f و g ل(fog) تابعی همانی با دامنه ی Y باشد. نیازی نیست که g لcomplete inverse لf باشد زیرا ترکیب f و g به صورت gof ممکن است تابع همانی با دامنه ی X نباشد. به عبارت دیگر f، لg را خنثی یا معکوس می کند اما لزوما نمی تواند توسط g معکوس شود.

هر تابعی با یک right inverse لزوما پوشا است. گزاره ی هر تابع right inverse یک right inverse دارد با اصل موضوع انتخاب معادل است.

برای مثال، در شکل اول، تابع g ای وجود دارد به گونه ای که g(c) = 4. همچنین تابعی مانند f وجود دارد به گونه ای که g(4) = c.


شکل 1 تابع پوشای دیگر(تابع دوسویی نیز می باشد). شکل 2 تابعی که پوشا نمی باشد(اما یک به یک می باشد). شکل 3 ترکیب پوشا: نیازی نیست که تابع اول پوشا باشد.


کاردینالیتی دامنه ی یک تابع پوشا[ویرایش]

کاردینالیتی دامنه ی یک تابع پوشا بزرگتر یا مساوی کاردینالیتی بردش است: اگر f:X \to Y یک تابع پوشا باشد، درنتیجه تعداد اعضای X حداقل برابر تعداد اعضای Y است.

مخصوصا اگر X و Y متناهی و باتعداد اعضای برابر باشند، آنگاه f:X \to Y پوشا است اگر و تنها اگر یک به یک باشد.


composition and decomposition[ویرایش]

ترکیب توابع پوشا همیشه پوشا است:اگر f و g هر دو پوشا باشند و برد g برابر دامنه f باشد، آنگاه تابع fog پوشا است. برعکس، اگر تابع fog پوشا باشد، آنگاه f پوشا است(اما g لزوما پوشا نیست). این خواص از توابع پوشا در رده ی مجموعه ها به هر epimorphism در هر رده ی دیگری قابل تعمیم اند.

هر تابعی را می توان به یک تابع پوشا و یک تابع یک به یک تجزیه کرد: به ازای هر تابع h:X \to Z وجود دارد تابعی پوشا مانند f:X \to Y و تابعی یک به یک مانند g:Y \to Z به گونه ای که h = fog. به منظور مشاهده این، Y را (z)ا<h-1</sup هایی تعریف می کنیم که z \in Z.لThese sets are disjoint and partition X. در نتیجه f هر x را به عضوی از Y که آنرا شامل می شود، می برد و g هر عضو Y را به نقطه ای از Z می برد که h نقاطش را می برد. بنابراین f پوشا است به دلیل اینکه یک projection map است و g طبق تعریف یک به یک است.