تابع پوشا

در ریاضیات به دسته‌ای از توابع پوشا می‌گویند که تمامی اعضای برد را پوشش دهند.

تعریف ریاضی

تابع $f:X \rightarrow Y$ را پوشا می‌نامیم اگر و تنها اگر به ازای هر $y \in Y$، $x \in X$ موجود باشد که $f(x)=y$

• تابع $f$ پوشاست $\forall y \in Y; \exists x \in X; f(x)=y \iff$

تعریف کلی برای تابع پوشا یا تابع بر روی مجموعه‌ها

گیریم f تابعی است که ناحیه تعریف آن X و ناحیه مقصد آن Y باشد، یعنی تصویر x به توی y باشد:

در این‌صورت مقادیر این تابع که آن را با $f(x)$ نشان می‌دهیم، یک زیر مجموعه‌ای است از مجموعه y، یعنی $f(X) \subseteq Y$ یعنی اگر ناحیه مقصد Y و ناحیه مقادیر تابع $f(X)$ یکسان باشند، در اینصورت $f$ «تابعی از X در روی Y است» یا $f$ «X را در روی Y تصویر می‌کند». یا به طور ساده گویند $f$ یک تابع پوششی است.

در این نوع از توابع هریک از عناصر ناحیه مقصد (یعنی $y \in Y$)، تصویر یکی از عناصر ناحیه تعریف تابع $x \in X$ می‌باشند.

تصویر:مثالی از تابع پوشا

1) تابع جز صحیح Ө:R→Z از مجموعه اعداد حقیقی به مجموعه اعداد صحیح که هر عدد حقیقی x را به جز صحیح x نظیر می‌کند. Ө(x)=x پوشاست.

ولی تابع قدر مطلق α:R→R از مجموعه اعدادحقیقی به خودش که هر عدد حقیقی x را به قدر مطلق آن نظیر می‌کند.

Α(x)=│x│ پوشا نیست.

چون اگر منحنی تابع قدر مطلق را رسم کنیم این منحنی فقط اعداد حقیقی مثبت را شامل می‌شود که با تعریف تابع قدر مطلق که تمام اعداد حقیقی را شامل می‌شود تناقص دارد. پس تابع قدر مطلق پوشا نیست.

همانطور که در گذشته نیز اشاره شد در تابع f:X→Y برد f ممکن است دقیقاً برابر مجموعه Y نباشد، ولی همواره زیرمجموعه‌ای از Y است.

حال اگر برد تابع f برابر مجموعه Y باشد یعنی ranf=Y در این صورت هر عضو Y تصویر یک عضو مجموعه X تحت f خواهد بود. یعنی برای هر y∈Y، عضوی چون x∈X وجود دارد که (y=f(x. در این حالت تابع f:X→Y را تابع پوشا(برو) یا سوژکتیو می‌گویند و به اصطلاح می‌گویند f مجموعه X را بروی Y می‌نگارد.

این نکته بسیار حایز اهمیت است، چرا که در مورد نماد f:X→Y دو گزاره f تابعی از X به توی Y است و f تابعی از X به روی Y است با هم تفاوت دارند و گزاره دوم چیزی بیش از گزاره اول یعنی پوشا بودن تابع f را نیز بیان می‌کند.

پس تابع f:X→Y یک تابع پوشا(برو) است هرگاه:

$\forall y\in Y\exists x\in X:y=f(x)$

اگر f:X→Y یک تابع غیر پوشا باشد، یک راه برای پوشا کردن تابع f تحدید همدامنه آن به برد f است. به عبارت دیگر می‌توان اعضایی از مجموعه Y(همدامنه) که تصویر هیچ عضوی از X نمی‌باشند(یعنی متعلق به برد تابع نمی‌باشند) را حذف نمود در این صورت تابع f از X به مجموعه تقلیل داده شده تابعی پوشا خواهد بود. مجموعه‌ای که می‌توان Yرا به آن تحدید نمود و تابعی پوشا بدست آور تصویر X تحت f با همان (f(X است که همانطور که در بالا نیز اشاره شد، این مجموعه همان برد تابع است.

بنابر این اگر f:X→Y یک تابع باشد تابع (f:X→f(X تابعی پوشا است و این از تعریف (f(X قابل اثبات است. به عنوان مثال f:R→Rبه ضابطه f(x)=x² یک تابع پوشا نمی‌باشد. چرا که اعداد حقیقی منفی در همدامنه f(همان مجموعه R) تصویر هیچ عضوی از دامنه خود نمی‌باشند، چرا که مربع هیچ عدد حقیقی منفی نیست. اما تابع f:R→R^≥0 یک تابع پوشا است چون برای هر y∈R می‌توان قرار داد $x=\sqrt{y}\in \mathbb{R}$ و داریم $f(x)=(\sqrt{y})^2=y$ و لذا f پوشا است.

نگارخانه

• 
• 
•