تابع تحلیلی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات یک تابع تحلیلی تابعی است که به طور محلی به وسیله یک سری توانی همگرا مشخص می‌شود. می‌توان به توایع تحلیلی مانند یک پل بین چند جمله ایها و توابع در حالت کلی فکر کرد. اینجا توابع تحلیلی حقیقی و توابع تحلیلی مختلط وجود دارند، که شباهتها و تفاوتهایی دارند. یک تابع تحلیلی است اگر برابر با سری تیلورش در یک همسایگی باشد.

تعاریف[ویرایش]

تابع f روی مجموعه باز D در خط حقیقی، تحلیلی حقیقی است اگر برای هر x۰ در D بتوان نوشت:

f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-x_0 \right)^n

= a_0 + a_1 (x-x_0) + a_2 (x-x_0)^2 + a_3 (x-x_0)^3 + \cdots

در این فرمول ضرایب a۰، a۱، ... اعداد حقیقی هستند و سری برای x در یک همسایگی از x۰ همگرا است. به صورت دیگر، یک تابع تحلیلی یک تابع بینهایت بار مشتق پذیراست به این صورت که سری تیلور در هر نقطه x۰ در دامنه‌اش


T(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n}

برای x به اندازه کافی نزدیک به x۰ همگراست و مقدارش برابر با f(x) است. تعریف یک تابع تحلیلی مختلط با جایگزین کردن «مختلط» به جای «حقیقی» و «صفحهٔ مختلط» به جای «خط حقیقی» در مطالب بالا بدست می‌آید.

مثال‌ها[ویرایش]

  • هر چند جمله‌ای (حقیقی یا مختلط) یک تایع تحلیلی است. به این دلیل که اگر یک چند جمله‌ای از درجه n باشد، هر جمله ازدرجه بزرگ‌تر از n در بسط سری تیلورش صفر است، وبنا براین، این سری به طور جزئی همگرا خواهد بود.
  • تابع نمایی تحلیلی است. هر سری تیلور برای این تابع نه فقط برای x به اندازه کافی نزدیک به x۰ (همان طور که در تعریف آمده) بلکه برای همه مقدار x (حقیقی یا مختلط) همگرا می‌شود.
  • توابع مثلثاتی، لگاریتم و توابع توانی روی هر بازهٔ باز در دامنهٔشان تحلیلی اند.
  • تابع قدر مطلق تحلیلی نیست زیرا مشتق پذیر نیست. توابع تعریف شدهٔ تکه ای(تابعهای معلوم به وسیله فرمولهای مختلف در مناطق مختلف) تحلیلی نیستند.

خصوصیات توابع تحلیلی[ویرایش]

  • مجموع ها، ضرب‌ها و ترکیبات توابع تحلیلی، تحلیلی اند.
  • معکوس یک تابع تحلیلی که هیچ کجا صفر نیست، تحلیلی است.
  • هر تابع تحلیلی هموار است.

یک چند جمله‌ای نمی‌تواند در تعداد زیادی نقطه صفر باشد مگر اینکه چند جمله‌ای صفر باشد (به طور دقیق تر، تعداد صفرها حداکثر می‌تواند به اندازهٔ درجهٔ چندجمله‌ای باشد). حکمی مشابه ولی ضعیفتر برای توابع تحلیلی وجود دارد. اگر مجموعهٔ صفرهای تابع تحلیلی f یک نقطهٔ انباشتگی در دامنه‌اش داشته باشد، آنگاه f در تمام مؤلفهٔ همبندی که شامل نقطهٔ انباشتگیست صفر است.