بسط تیلور

حساب دیفرانسیل و انتگرال

قضیه اساسی حسابان حد تابع پیوسته قضیه مقدار میانگین حساب دیفرانسیل  مشتق تغییر متغیر مشتق ضمنی قضیه تیلور کمیت‌های وابسته ‏(en)‏ قواعد مشتق‌گیری ‏(en)‏: قاعده توانی ‏(en)‏ قاعده ضرب قاعده خارج قسمت ‏(en)‏ قاعده زنجیری حساب انتگرال  انتگرال فهرست‌های انتگرال‌ها انتگرال مجازی قواعد انتگرال‌گیری: انتگرال‌گیری جزء به جزء Disk integration ‏(en)‏ Shell integration ‏(en)‏ انتگرال‌گیری با جانشانی ‏(en)‏ جانشانی مثلثاتی کسر جزئی در انتگرال‌ها ‏(en)‏ مرتبه انتگرال‌گیری ‏(en)‏ حساب برداری  گرادیان دیورژانس کرل عملگر لاپلاس قضیه گرادیان قضیه گرین قضیه استوکس قضیه دیورژانس حساب چندمتغیره  حساب ماتریس‌ها مشتق پاره‌ای انتگرال چندگانه انتگرال خطی انتگرال سطحی انتگرال حجمی ماتریس ژاکوبی

هر چه درجه چند جمله ای تیلور افزایش پیدا کند، دور نقطه گسترش، تابع تقریب تیلور به تابع اصلی نزدیک‌تر می‌شود. این تصویر $\sin(x)$ و تقریب های تیلور آن، تا توانهای 1, 3, 5, 7, 9, 11 و 13 را نشان می‌دهد.

تابع نمایی (به رنگ آبی) و مجموع n+1 جمله اول سری تیلور دور نقطه 0 (به رنگ قرمز)

در ریاضیات، سری تیلور یا گسترش تیلور (به انگلیسی: Taylor series)‏ نمایش یک تابع به صورت مجموع بینهایت جمله است که از مشتق‌های تابع در یک نقطه به دست می‌آید. ریاضیدان انگلیسی، بروک تیلور، در سال 1715 میلادی، مفهوم سری تیلور را به طور رسمی معرفی کرد. اگر سری را دور نقطه صفر گسترش دهیم، سری به سری مکلارن نیز معروف است که به نام ریاضیدان اسکاتلندی، کالین مکلارن، که در قرن 18ام استفاده بسیاری از این حالت خاص سری تیلور کرد، نام گزاری شده است. مرسوم است که توابع را حول یک نقطه با تعدادی متناهی از جملات سری تیلور تقریب بزنند. قضیه تیلور مقدار خطای این تقریب زنی را به صورت کمّی تخمین میزند. هر تعداد متناهی از جملات اول سری تیلور به چندجمله‌ای تیلور معروف است. سری تیلور یک تابع، حد چندجمله‌ای های تیلور آن است (اگر حد وجود داشته باشد.) یک تابع ممکن است با سری تیلورش برابر نباشد حتا اگر سری تیلور آن در هر نقطه همگرا باشد. تابعی که در یک بازه‌ی باز (یا یک دیسک در صفحه مختلط) با سری تیلورش برابر باشد، تابع تحلیلی خوانده میشود.

تعریف

سری تیلور یک تابع $f(x)$ با مقادیر حقیقی یا مختلط که در همسایگی نقطه حقیقی یا مختلط $x_0$ بینهایت بار مشتق‌پذیر است، سری توانیِ زیر است:

$f(x)= f(x_0)+\frac{f'(x_0) (x-x_0)}{1!}+\frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!}+\frac{f'''(x_0)(x-x_0)^3}{3!}+...$

که میتوانیم آن را خلاصه‌تر عملگر سیگما بنویسیم:

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n}$

که در اینجا $n!$ به معنی فاکتوریل عدد $n$ و $f^{(n)}(x_0)$ به معنی مشتق $n$ اُم تابع $f$ در نقطه $x_0$ است. طبق تعریف مشتق 0-اُم هر تابع خودش است و $(x-x_0)^0$ و $0!$ هر دو برابر 1 اند. اگر $x_0=0$ باشد، سری همان سری مکلارن است.

اثبات

فرض کنید میخواهیم تابعی چندجمله‌ای مثل $P(x)$ مدلسازی کنیم که در همسایگی نقطه $a$ با تابع $f(x)$ یکریخت باشد. یکم اینکه باید مقدار تابع در نقطه $a$ با $f$ برابر باشد پس داریم: $P(a)=f(a)$ تا اینجا داریم $P(x)=f(a)$ و اکنون برای اینکه تابع $P$ در همسایگی $a$ نیز شبیه $f$ شود باید مشتق‌های آن در این نقطه با مشتق‌های $f$ برابر باشد. مشتق‌های $f$ را به صورت مضاربی از x به $P$ اضافه میکنیم به طوری که: (1) در نقطه‌ی $a$ برابر صفر باشند تا مدل به هم نخورد و (2) مشتق i-اُمِ $P$ برابر با مشتق i-اُمِ $f$ باشد. برای برقراری شرط یک و دو کافی‌ست مقدار عددی مشتق i-اُمِ $f$ را به ضریبِ $\frac{(x-a)^i}{i!}$ قرار دهیم. در این صورت این مقدار تا مشتق i-اُم صفر باقی خواهد ماند و چون در هر مشتق این مقدار در توانِ صورت ضرب میشود هنگامِ گرفتن مشتق i-اُم خواهیم داشت $P^{(i)}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f^{(i)}(a))(i!)\frac{(x-a)^i}{i!}=f^{(i)}(a)$. اگر اضافه کردن مشتقات را تا ابد ادامه دهیم تابع $P$ بیشتر شبیه $f$ شده تا در بینهایت هم‌ارز خود $f$ شود.

$f(x) \sim P(x)=f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots.$

یا همان:

$f(x) \sim P(x)= \sum_{n=0} ^ {\infty} \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n}$

گاهی در گرفتن حد، از یک یا دو جمله اول گسترش تیلور یک تابع دور نقطه حدگیری، به عنوان یک هم‌ارزی استفاده میکنند. به عنوان مثال در گسترش تیلور تابع $sin(x)$ دور نقطه 0 داریم:

$\sin (x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\text{ for all } x\!$

پس در حد گرفتن هرجا در کمان $sin(x)$ به صفر میل کند داریم:

$\sin (x) \sim x - \frac{x^3}{3!}$

نمونه

$f (x)=e^{2x}$

در همسایگی ۱- بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر است.

می‌توان گفت:

$e^{2x}= \frac{(1)}{(e^2)}+\frac{(2)(x+1)}{(1!)(e^2)} +\frac{(2^2)(x+1)^2}{(2!)(e^2)}+\frac{(2^3)(x+1)^3}{(3!)(e^2)}+...$

$e^{2x} = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{(2)^{(n)}}{((n)! e^2)} (x+1)^{n}$

همچنین، از بسط تیلور می‌توان برای حل از روش سری‌های توانی استفاده کرد .

موارد پر کاربرد

تابع نمایی

$e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\text{ for all } x\!$

لگاریتم

$\log(1-x) = - \sum^{\infin}_{n=1} \frac{x^n}n\text{ for } -1\le x<1$

$\log(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n\text{ for }-1<x\le1$

دنبالهٔ هندسی متناهی

$\frac{1-x^{m + 1}}{1-x} = \sum^{m}_{n=0} x^n\quad\mbox{ for } x \not= 1\text{ and } m\in\mathbb{N}_0\!$

دنبالهٔ هندسی نامتناهی

$\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n\text{ for }|x| <1\!$

متغیرهای دنبالهٔ هندسی نامتناهی

$\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^{-n}\text{ for }|x|> 1\!$

$\frac{x^m}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=m} x^n\quad\mbox{ for }|x| <1 \text{ and } m\in\mathbb{N}_0\!$

$\frac{x}{(1-x)^2} = \sum^{\infin}_{n=1}n x^n\quad\text{ for }|x| <1\!$

$\frac{1}{(1-x)^2} = \sum^{\infin}_{n=1}n x^{n-1}\quad\text{ for }|x|> 1\!$

ریشهٔ مربع

$\sqrt{1+x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2(4^n)}x^n = 1 + \textstyle \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots\text{ for }|x|\le1$

بسط دو جمله‌ای

$(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty {\alpha \choose n} x^n\quad\mbox{ for all }|x| <1 \text{ and all complex } \alpha\!$

توابع مثلثاتی

$\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\text{ for all } x\!$

$\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\text{ for all } x\!$

$\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots\text{ for }|x| <\frac{\pi}{2}\!$

$\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\text{ for }|x| <\frac{\pi}{2}\!$

$\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\text{ for }|x| \le 1\!$

$\arccos x ={\pi\over 2}-\arcsin x={\pi\over 2}- \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\text{ for }|x| \le 1\!$

$\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\text{ for }|x| \le 1\!$

توابع هذلولی

$\sinh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots\text{ for all } x\!$

$\cosh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots\text{ for all } x\!$

$\tanh x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1} = x-\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5-\frac{17}{315}x^7+\cdots \text{ for }|x| <\frac{\pi}{2}\!$

$\mathrm{arsinh} (x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\text{ for }|x| \le 1\!$

$\mathrm{artanh} (x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \text{ for }|x| <1\!$

منابع

• Thomas, George B. Jr.; Finney, Ross L. (1996). Calculus and Analytic Geometry (9th ed.). Addison Wesley. ISBN 0-201-53174-7.
• Greenber, Michael (1998). Advanced Engineering Mathematics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-321431-1.
• Navid K. Jalali; Doctrine: How Limits Work.