بسط تیلور

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

sin x

و بسط تیلور آن، تا توانهای 1, 3, 5, 7, 9, 11 و 13.

به وسیلهٔ بسط تیلور، می‌توان توابع بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر را به صورت توابع توانی نوشت، و یا به عبارتی، بسط داد.

تعریف: اگر $f$ در همسایگی $x 0$ و $\mid {x-x_0}\mid$ بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر باشد،آنگاه $f$ را می‌توان به صورت توان‌هایی از $(x - x 0)$ نوشت.

$f(x)= f(x_0)+\frac{f'(x_0) (x-x_0)}{1!}+\frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!}+\frac{f'''(x_0)(x-x_0)^3}{3!}+...$

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n}$

که در اینجا، $f n (x)$ مشتق n-اُم تابع $f$ است. این بسط به نام ریاضیدان انگلیسی بروک تیلور اسم‌گذاری شده است. متاسفانه، این بسط برای همهٔ توابع حقیقی انجام‌پذیر نیست.

[ویرایش] مثال:

$f (x) = e 2 x$

در همسایگی 1- بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر است.

می‌توان گفت:

$e^{2x}= \frac{(1)}{(e^2)}+\frac{(2)(x+1)}{(1!)(e^2)} +\frac{(2^2)(x+1)^2}{(2!)(e^2)}+\frac{(2^3)(x+1)^3}{(3!)(e^2)}+...$

$e^{2x} = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{(2)^{(n)}}{((n)! e^2)} (x+1)^{n}$

همچنین، از بسط تیلور می‌توان برای حل از روش سری‌های توانی استفاده کرد .

حالت خاص سری تیلور که در حول نقطه 0 می‌باشد را سری مکلورن می‌گویند.

[ویرایش] منابع

‎

Thomas, George B. Jr.; Finney, Ross L. (1996). Calculus and Analytic Geometry (9th ed.). Addison Wesley. ISBN 0-201-53174-7.
Greenber, Michael (1998). Advanced Engineering Mathematics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-321431-1.

این نوشتار در زمینهٔ ریاضیات خُرد است. با گسترش آن به ویکی‌پدیا کمک کنید.

بسط تیلور

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

[ویرایش] مثال:

[ویرایش] منابع

بازدیدها

ابزارهای شخصی

گشتن

جستجو

جعبه‌ابزار

زبان‌های دیگر