تابع هذلولوی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
در تعریف این توابع، منحنی سمت راست هذلولی متساوی‌الساقین را در نظر می‌گیریم که در این صورت داریم: x = cosh a و y = sinh a و در یک رابطه کلی خواهیم داشت :\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1

توابع هیپربولیک یا هایپربولیک (به انگلیسی: hyperbolic) یا توابع هُذلولوی یا هُذلولی از توابع پرکاربرد در ریاضیات می‌باشند که روابط حاکم بر آنها شبیه مثلثات است، با این تفاوت که خطوط مثلثاتی با توجه به دایره‌ای که شعاع آن واحد می‌باشد تعریف می‌شوند، ولی توابع هذلولوی (هذلولی) با توجه به هذلولی متساوی‌الساقین تعریف می‌گردند. از تابع‌های پایه‌ای آن sinh (خوانده می‌شود: سینوس هایپربولیک) و cosh (کسینوس هایپربولیک) هستند که دیگر توابع را مانند tanh (تانژانت هایپربولیک) می‌سازند. این توابع در انتگرالها، معادلات دیفرانسیل خطی و همچنین معادله لاپلاس بسیار ظاهر می‌شوند. همانند توابع مثلثاتی که دارای معکوس‌اند، این توابع نیز دارای معکوس‌اند و با پسوندهای arc نمایش داده می‌شوند. مانند: arcsinh

تعاریف[ویرایش]

توابع هایپربولیک از این قراراند:

sinh, cosh و tanh
csch, sech and coth
\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}
\cosh x =  \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}
\tanh x =  \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}
\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1}
\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x} = \frac {2} {e^x + e^{-x}}
\operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x} = \frac {2} {e^x - e^{-x}}



رابطهٔ توابع هایپربولیک با توابع مثلثلتی چنین است:

\sinh x =  - {\rm{i}} \sin {\rm{i}}x \!
\cosh x = \cos {\rm{i}}x \!
\tanh x = -{\rm{i}} \tan {\rm{i}}x \!
\coth x = {\rm{i}}  \cot {\rm{i}}x \!
\operatorname{sech}\,x = \sec { {\rm{i}} x} \!
\operatorname{csch}\,x = {\rm{i}}\,\csc\,{\rm{i}}x \!

که در آن i یکهٔ موهومی با تعریف i۲ = −۱ است.


روابط مفید[ویرایش]

cosh x و sech x توابعی زوج و بقیه فرد هستند:

\begin{align}
  \sinh (-x) &= -\sinh x \\
  \cosh (-x) &=  \cosh x \\
                \tanh (-x) &= -\tanh x \\
                \coth (-x) &= -\coth x \\
  \operatorname{sech} (-x) &=  \operatorname{sech} x \\
  \operatorname{csch} (-x) &= -\operatorname{csch} x
\end{align}

همچنین داریم:

\begin{align}
  \operatorname{arsech} x &= \operatorname{arcosh} \frac{1}{x} \\
  \operatorname{arcsch} x &= \operatorname{arsinh} \frac{1}{x} \\
  \operatorname{arcoth} x &= \operatorname{artanh} \frac{1}{x}
\end{align}

متناظر با روابط مثلثاتی داریم:

\begin{align}
\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \\
\end{align}
\begin{align}
  \operatorname{sech} ^{2} x &= 1 - \tanh^{2} x \\
  \operatorname{csch} ^{2} x &= \coth^{2} x - 1 \\
\end{align}

مجموع دو عبارت:

\begin{align}
  \cosh (x + y) &= \sinh x \sinh y + \cosh x \cosh y \\
  \sinh (x + y) &= \cosh x \sinh y + \sinh x \cosh y
\end{align}

مشخصاً

\begin{align}
  \cosh (2x) &= \sinh^2{x} + \cosh^2{x} = 2\sinh^2 x + 1 = 2\cosh^2 x - 1\\
  \sinh (2x) &= 2\sinh x \cosh x
\end{align}

مجموع و تفاضل cosh x و sinh x

\begin{align}
  \cosh x + \sinh x &= e^x \\
  \cosh x - \sinh x &= e^{-x}
\end{align}

معکوس توابع[ویرایش]

arcsinh x = \sinh ^{-1}x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}+1} \right)
arccosh x = \cosh ^{-1}x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}-1} \right);x\ge 1
arctanh x = \tanh ^{-1}x=\frac{1}{2}\ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right);\left| x \right|<1

مشتق‌ها[ویرایش]

 \frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x \,
 \frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x \,
 \frac{d}{dx}\tanh x = 1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x = 1/\cosh^2 x \,
 \frac{d}{dx}\coth x = 1 - \coth^2 x = -\operatorname{csch}^2 x = -1/\sinh^2 x \,
 \frac{d}{dx}\ \operatorname{csch}\,x = - \coth x \ \operatorname{csch}\,x \,
 \frac{d}{dx}\ \operatorname{sech}\,x = - \tanh x \ \operatorname{sech}\,x \,
\frac{d}{dx}\, \operatorname{arsinh}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}
\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcosh}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}
\frac{d}{dx}\, \operatorname{artanh}\,x =\frac{1}{1-x^{2}}
\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcsch}\,x =-\frac{1}{\left| x \right|\sqrt{1+x^{2}}}
\frac{d}{dx}\, \operatorname{arsech}\,x =-\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}}
\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcoth}\,x =\frac{1}{1-x^{2}}

انتگرال‌های استاندارد[ویرایش]

برای فهرست کاملی از این انتگرالها، فهرست انتگرال‌های تابع‌های هیپربولیک را ببینید.

\begin{align}
  \int \sinh (ax)\,dx &= a^{-1} \cosh (ax) + C \\
  \int \cosh (ax)\,dx &= a^{-1} \sinh (ax) + C \\
  \int \tanh (ax)\,dx &= a^{-1} \ln (\cosh (ax)) + C \\
  \int \coth (ax)\,dx &= a^{-1} \ln (\sinh (ax)) + C \\
  \int \operatorname{sech} (ax)\,dx &= a^{-1} \arctan (\sinh (ax)) + C \\
  \int \operatorname{csch} (ax)\,dx &= a^{-1} \ln \left( \tanh \left( \frac{ax}{2} \right) \right) + C
\end{align}
\begin{align}
   \int {\frac{du}{\sqrt{a^2 + u^2}}} & = \sinh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right) + C \\
   \int {\frac{du}{\sqrt{u^2 - a^2}}} &= \cosh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right) + C \\
   \int {\frac{du}{a^2 - u^2}} & =  a^{-1}\tanh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right) + C; u^2 < a^2 \\
   \int {\frac{du}{a^2 - u^2}} & =  a^{-1}\coth ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right) + C; u^2 > a^2 \\
   \int {\frac{du}{u\sqrt{a^2 - u^2}}} & = -a^{-1}\operatorname{sech}^{-1}\left( \frac{u}{a} \right) + C \\
   \int {\frac{du}{u\sqrt{a^2 + u^2}}} & = -a^{-1}\operatorname{csch}^{-1}\left| \frac{u}{a} \right| + C
\end{align}


منابع[ویرایش]

  • مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Hyperbolic function»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۹ شهریور ۱۳۹۰).
جستجو در ویکی‌انبار در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ تابع هذلولوی موجود است.