تابع هذلولوی

در تعریف این توابع، منحنی سمت راست هذلولی متساوی‌الساقین را در نظر می‌گیریم که در این صورت داریم: x = cosh a و y = sinh a و در یک رابطه کلی خواهیم داشت :$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$

توابع هیپربولیک یا هایپربولیک (به انگلیسی: hyperbolic)‏ یا توابع هُذلولوی یا هُذلولی از توابع پرکاربرد در ریاضیات می‌باشند که روابط حاکم بر آن شبیه مثلثات است، با این تفاوت که خطوط مثلثاتی با توجه به دایره ای که شعاع آن واحد می‌باشد تعریف می‌شود ولی توابع هذلولوی (هذلولی) با توجه به هذلولی متساوی‌الساقین تعریف می‌گردد. از تابع‌های پایه‌ای آن sinh (خوانده می‌شود: سینوس هایپربولیک) و cosh (کسینوس هایپربولیک) هستند که دیگر توابع را مانند tanh (تانژانت هایپربولیک) می‌سازند.این توابع در انتگرالها، معادلات دیفرانسیل خطی و همچنین معادله لاپلاس بسیار ظاهر می‌شوند. همانند توابع مثلثاتی که دارای معکوس اند، این توابع نیز دارای معکوس اند و با پسوندهای arc و arg نمایش داده می‌شوند. مانند: arcsinh

تعاریف

sinh, cosh و tanh

$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

$\cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}$

$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}$

$\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1}$

$\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x} = \frac {2} {e^x + e^{-x}}$

$\operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x} = \frac {2} {e^x - e^{-x}}$

معکوس توابع

$arcsinh x = \sinh ^{-1}x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}+1} \right)$

$arccosh x = \cosh ^{-1}x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}-1} \right);x\ge 1$

$arctanh x = \tanh ^{-1}x=\frac{1}{2}\ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right);\left| x \right|<1$

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Hyperbolic function»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۹ شهریور ۱۳۹۰).

در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ تابع هذلولوی موجود است.