جانشینی مثلثاتی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
حساب دیفرانسیل و انتگرال
قضیه اساسی حسابان
حد
تابع پیوسته
قضیه مقدار میانگین
مشتق
تغییر متغیر
مشتق ضمنی
قضیه تیلور
کمیت‌های وابسته ‏(en)
قواعد مشتق‌گیری:

قاعده توانی ‏(en)
قاعده ضرب
قاعده خارج قسمت ‏(en)
قاعده زنجیری

جانشینی مثلثاتی(به انگلیسی: Trigonometric substitution) در ریاضیات و در محاسبه انتگرال توابع به منظور ساده تر کردن توابع به کار می رود.مثلا برای تبدیل عبارات رادیکالی و نمایی می توان از این تبدیل ها استفاده کرد[۱][۲].

  • اگر انتگرال شامل عبارت a2 − x2 باشد:
x = a \sin \theta\,

و از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده می کنیم:

1-\sin^2 \theta = \cos^2 \theta.\,
  • اگر انتگرال شامل عبارت a2 + x2, باشد:
x = a \tan \theta\,
از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده می کنیم:
1+\tan^2 \theta = \sec^2 \theta.\,
  • گر انتگرال شامل عبارت x2 − a2, باشد:
x = a \sec \theta\,
از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده می کنیم:
\sec^2 \theta-1 = \tan^2 \theta.\,

چند نمونه[ویرایش]

انتگرال های شامل g a2x2 در انتگرال زیر:

\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}

می توان از روابط مثلثاتی زیر استفاده کرد:

x=a\sin(\theta),\quad dx=a\cos(\theta)\,d\theta, \quad \theta=\arcsin\left(\frac{x}{a}\right)

\begin{align}
\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} & = \int\frac{a\cos(\theta)\,d\theta}{\sqrt{a^2-a^2\sin^2(\theta)}} = \int\frac{a\cos(\theta)\,d\theta}{\sqrt{a^2(1-\sin^2(\theta))}} \\[8pt]
& = \int\frac{a\cos(\theta)\,d\theta}{\sqrt{a^2\cos^2(\theta)}} = \int d\theta=\theta+C=\arcsin\left(\frac{x}{a}\right)+C
\end{align}

باید توجه داشت که در نمونه فوق باید همواره a > 0

نکته دیگر تغییر حدود انتگرال برای انتگرال های معین است.مثلا اگر x از 0 تا a/2 تغییر کند،sin(θ) از 0 تا 1/2 تغییر می کند ،در نتیجه θ از 0 تا π/6 تغییر می کند:

\int_0^{a/2}\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}
=\int_0^{\pi/6} d\theta = \frac{\pi}{6}.

منابع[ویرایش]

  1. Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5. 
  2. Thomas, George B.; Weir, Maurice D.; Hass, Joel (2010). Thomas' Calculus: Early Transcendentals (12th ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-321-58876-2.