جانشینی مثلثاتی

حساب دیفرانسیل و انتگرال

قضیه اساسی حسابان حد تابع پیوسته قضیه مقدار میانگین حساب دیفرانسیل  مشتق تغییر متغیر مشتق ضمنی قضیه تیلور کمیت‌های وابسته ‏(en)‏ قواعد مشتق‌گیری ‏(en)‏: قاعده توانی ‏(en)‏ قاعده ضرب قاعده خارج قسمت ‏(en)‏ قاعده زنجیری حساب انتگرال  انتگرال فهرست‌های انتگرال‌ها انتگرال مجازی قواعد انتگرال‌گیری: انتگرال‌گیری جزء به جزء Disk integration ‏(en)‏ Shell integration ‏(en)‏ انتگرال‌گیری با جانشانی ‏(en)‏ جانشانی مثلثاتی کسر جزئی در انتگرال‌ها ‏(en)‏ مرتبه انتگرال‌گیری ‏(en)‏ حساب برداری  گرادیان دیورژانس کرل عملگر لاپلاس قضیه گرادیان قضیه گرین قضیه استوکس قضیه دیورژانس حساب چندمتغیره  حساب ماتریس‌ها مشتق پاره‌ای انتگرال چندگانه انتگرال خطی انتگرال سطحی انتگرال حجمی ماتریس ژاکوبی

جانشینی مثلثاتی(به انگلیسی: Trigonometric substitution)‏ در ریاضیات و در محاسبه انتگرال توابع به منظور ساده تر کردن توابع به کار می رود.مثلا برای تبدیل عبارات رادیکالی و نمایی می توان از این تبدیل ها استفاده کرد.

• اگر انتگرال شامل عبارت a² − x² باشد:

$x = a \sin \theta\,$

و از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده می کنیم:

$1-\sin^2 \theta = \cos^2 \theta.\,$

• اگر انتگرال شامل عبارت a² + x², باشد:

$x = a \tan \theta\,$

از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده می کنیم:

$1+\tan^2 \theta = \sec^2 \theta.\,$

• گر انتگرال شامل عبارت x² − a², باشد:

$x = a \sec \theta\,$

از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده می کنیم:

$\sec^2 \theta-1 = \tan^2 \theta.\,$

چند نمونه

انتگرال های شامل g a² − x² در انتگرال زیر:

$\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}$

می توان از روابط مثلثاتی زیر استفاده کرد:

$x=a\sin(\theta),\quad dx=a\cos(\theta)\,d\theta, \quad \theta=\arcsin\left(\frac{x}{a}\right)$

$\begin{align} \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} & = \int\frac{a\cos(\theta)\,d\theta}{\sqrt{a^2-a^2\sin^2(\theta)}} = \int\frac{a\cos(\theta)\,d\theta}{\sqrt{a^2(1-\sin^2(\theta))}} \\[8pt] & = \int\frac{a\cos(\theta)\,d\theta}{\sqrt{a^2\cos^2(\theta)}} = \int d\theta=\theta+C=\arcsin\left(\frac{x}{a}\right)+C \end{align}$

باید توجه داشت که در نمونه فوق باید همواره a > 0

نکته دیگر تغییر حدود انتگرال برای انتگرال های معین است.مثلا اگر x از 0 تا a/2 تغییر کند،sin(θ) از 0 تا 1/2 تغییر می کند ،در نتیجه θ از 0 تا π/6 تغییر می کند:

$\int_0^{a/2}\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} =\int_0^{\pi/6} d\theta = \frac{\pi}{6}.$

منابع

در ویکی‌نسک کتابی با عنوان: Calculus/Integration techniques/Trigonometric Substitution وجود دارد.