معادله موج

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
حرکت یک پالس در ریسمانی که دو سر آن ثابت است. مدل نمایش داده شده با استفاده از معادله موج بدست آمده است.

معادله موج (Wave equation) معادله‌ای خطی و کلاسیک از نوع معادلات دیفرانسیل هذلولوی پاره‌ای است. در حالت دو بعدی (نسبت به مکان) معادلهٔ درجهٔ دوم موج به صورت زیر نمایش داده می‌شود:

{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \nabla^2 u \!

که در اینجا \nabla^2 = { \partial^2 u \over \partial x^2 } + { \partial^2 u \over \partial y^2 } \! عملگر لاپلاس،  t \! زمان،  u \! دامنهٔ موج، و  c \! ضریبی است ثابت برابر با سرعت موج.

به عنوان تعمیمی از معادلهٔ خطی موج، می‌توان سرعت را تابعی از دامنه موج گرفت. در این حالت، معادلهٔ غیرخطی موج خواهیم داشت:

{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c(u)^2 \nabla^2 u

معادله درجهٔ اول موج[ویرایش]

امواج کروی صادره از یک منبع نقطه‌ای.

(در حالت یک‌بعدی نسبت به‌مکان) معادلهٔ درجهٔ دوم بالا را می‌توانیم به دو معادله درجه اول موج به‌صورت زیر قسمت کنیم:

\left[\frac{\part}{\part t} - c\frac{\part}{\part x}\right] \left[ \frac{\part}{\part t} + c\frac{\part}{\part x}\right] u = 0

\Big\Downarrow

\frac{\part u}{\part t} - c\frac{\part u}{\part x} = 0 \qquad \mbox{and} \qquad \frac{\part u}{\part t} + c\frac{\part u}{\part x} = 0

جواب‌ها[ویرایش]

در حالت یک بعدی داریم:

 { \partial^2 u \over \partial t^2 } - c^2 { \partial^2 u \over \partial x^2 } = 0 \!

برای حل مسئله ابتدا تغییر متغیر زیر را انجام می‌دهیم:

x + ct = \xi \!، x - ct = \eta \!

به سادگی می‌توان نشان داد که در دستگاه مختصات جدید  \xi \! و  \eta \! معادله موج به صورت زیر در می‌آید:

u_{\xi \eta} = {\part^2 u \over \partial \xi\, \partial \eta} = 0 \!

که با انتگرال‌گیری ازآن داریم:

u = f(\xi) + g(\eta) \!

که در اینجا  f \! و  g \! توابع دلخواه (ولی مشتق‌پذیر) هستند.

جواب سینوسی[ویرایش]

یک جواب معادله‌ی موج می‌تواند به این شکل باشد:

u(x,t) = A\sin (kx - \omega t + \phi)\,

k عدد موج، \omega سرعت زاویه‌ای، \lambda طول موج، \phi فاز، T دوره تناوب و f بسامد حرکت نوسانی نام دارند.


\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f\quad,\quad
 k=\frac{2\pi}{\lambda}\quad,\quad
c = \frac{\lambda}{T}

سرعت فاز و سرعت گروه[ویرایش]

جایی که (A(z,t پوشش دامنه‌ای که برای موج داریم و K تعداد موج و \phi نمایانگر فاز موج است. سرعت فاز vp این موج توسط 
v_p = \frac{\omega}{k}= \lambda f, \,
نشان داده می‌شود. ( \lambda نمایانگر طول موج است.

پانوشته‌ها[ویرایش]


جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  • Farlow, S. J., Partial Differential Equations for Scientists and Engieers, Dover, New York, 1982
  • Smoller, J., Shock Waves and Reaction - Diffusion Equations, Springer-Verlag, New York, Inc., 1983. ISBN 0-387-90752-1