چندجمله‌ای‌های لژاندر

چندجمله‌ای‌های لژاندر (Legendre polynomials) جواب‌های معادله دیفرانسیل معمولی زیر، موسوم به معادله دیفرانسیل لژاندر هستند:

${d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P_n(x) \right] + n(n+1)P_n(x) = 0.$

مثال‌ها

اولین چندجمله‌ای‌های لژاندر به صورت زیر می‌باشند:

n	$P_n(x)\,$
0	$1\,$
1	$x\,$
2	$\begin{matrix}\frac12\end{matrix} (3x^2-1) \,$
3	$\begin{matrix}\frac12\end{matrix} (5x^3-3x) \,$
4	$\begin{matrix}\frac18\end{matrix} (35x^4-30x^2+3)\,$
5	$\begin{matrix}\frac18\end{matrix} (63x^5-70x^3+15x)\,$
6	$\begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (231x^6-315x^4+105x^2-5)\,$
7	$\begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (429x^7-693x^5+315x^3-35x)\,$
8	$\begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)\,$
9	$\begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)\,$
10	$\begin{matrix}\frac1{256}\end{matrix} (46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)\,$

پیوندهای بیرونی

• چندجمله‌ای‌های لژاندر و لگر Laguerre، در ارتباط با، مدل ابتدائی مکانیک کوآنتومی اتم هیدروژن
• چندجمله‌ای‌های لژاندر

منابع

Abramowitz, Milton & Stegun, Irene A., eds. (1965), “Chapter 8”, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4  See also chapter 22.