تابع نمایی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
تابع نمائی y = e^x


تابع نمایی تابعی در ریاضیات است. معمولاً این تابع به صورت ‎\exp(x)‎ یا برابر آن e^x نوشته می‌شود. که e عددی ثابت برابر عدد اویلر یا به طور تقریبی برابر ۲٫۷۱۸۲۸۱۸۲۸ می‌باشد. البته می‌توان این تابع را به صورت a^x نیز تعریف کرد، استفاده از لگاریتم نشان می‌دهد که:

\,\!\, a^x=(e^{\ln a})^x=e^{x \ln a}

این تابع را تابع نمایی با پایه a می‌خوانیم که a نیز عددی ثابت است. در بسیاری علوم وقتی از تابع نمایی صحبت می‌شود منظور تابع ka^x می‌باشد، که a را پایه می‌نامند. در این صورت a عددی ثابت و مثبت است.

عموماً متغیر x می‌تواند هر عدد حقیقی یا مختلط باشد و یا حتی می‌تواند شئ ریاضی کاملاً متفاوتی اختیار کند.

به عبارت دیگر معکوس ln(x)=y را \exp(x)=e^x=y گویند.

ویژگی‌ها[ویرایش]

  • تابع نمایی معکوس تابع لگاریتم طبیعی y = ln x است.
  • دامنه آن تمام اعداد حقیقی است.
  • برد آن تمام اعداد مثبت است.
  • مشتق آن همواره با خودش برابر و تابعی پیوسته و صعودی از x است.

تابع نمایی دو حالت کلی برای نمودار خود دارد.

حالت اول: در این حالت a کوچکتر از یک باشد که در این صورت با افزایش x مقدار y کاهش می یابد.

مثال:


حالت دوم: در این حالت a بزرگتر از یک باشد که در این صورت با افزایش x مقدار y نیز افزایش می یابد.

مثال:

کاربرد[ویرایش]

توابع نمایی در زمینه‌هایی چون اقتصاد و زیست شناسی کاربردهای فراوانی دارند. از این رو توابع نمایی و مسایل مربوط به رشد و زوال می‌توانند برای نمایش کاربردهای ریاضی در مسایل زندگی واقعی سودمند باشند.

مثال[ویرایش]

یک هنرمند درختی چوبی با استفاده از تعدادی قطعه چوب شاخه مانند ساخته‌است. به این ترتیب که روی دسته‌های شاخه اصلی، شاخه‌های دیگری ساخته و این کار را تا هشت سطح ادامه داده‌است جدول عملکرد وی به صورت زیر می‌شود:

توان ۲ (^) تعداد شاخه‌ها سطح
۲^۰ ۱ اصلی
۲^۱ 1(2)=۲ اول
۲^۲ 2(2)=۴ دوم
۲^۳ 2(2)(2)=۸ سوم
۲^۴ 2(2)(2)(2)=۱۶ چهارم
۲^۵ 2(2)(2)(2)(2)=۳۲ پنجم
۲^۶ 2(2)(2)(2)(2)(2)=۶۴ ششم
۲^۷ 2(2)(2)(2)(2)(2)(2)=۱۲۸ هفتم
۲^۸ 2(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)=۲۵۶ هشتم

رابطه بین توان‌ها و تعداد شاخه‌ها برابر است با

۲ به توان ۸ =۲۵۶

نگارخانه[ویرایش]

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

پیوند به بیرون[ویرایش]

جستجو در ویکی‌انبار در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ تابع نمایی موجود است.