تابع نمایی

تابع نمائی $y = e^x$

تابع نمایی تابعی در ریاضیات است. معمولاً این تابع به صورت ‎ $\exp(x)$ ‎ یا برابر آن $e^x$ نوشته می‌شود. که $e$ عددی ثابت برابر عدد اویلر یا به طور تقریبی برابر ۲٫۷۱۸۲۸۱۸۲۸ می‌باشد. البته می‌توان این تابع را به صورت $a^x$ نیز تعریف کرد، استفاده از الگوریتم نشان می‌دهد که:

$\,\!\, a^x=(e^{\ln a})^x=e^{x \ln a}$

این تابع را تابع نمایی با پایه a می‌خوانیم که a نیز عددی ثابت است. در بسیاری علوم وقتی از تابع نمایی صحبت می‌شود منظور تابع $ka^x$ می‌باشد، که a را پایه می‌نامند. در این صورت a عددی ثابت و مثبت است.

عموماً متغیر $x$ می‌تواند هر عدد حقیقی یا مختلط باشد و یا حتی می‌تواند شئ ریاضی کاملاً متفاوتی اختیار کند.

به عبارت دیگر معکوس $ln(x)=y$ را $\exp(x)=e^x=y$ گویند.

ویژگی‌ها[ویرایش]

تابع نمایی معکوس تابع لگاریتم طبیعی y = ln x است.
دامنه آن تمام اعداد حقیقی است.
بردش تمام اعداد مثبت.
مشتقش همواره با خودش برابر است. و توابعی است پیوسته و صعودی از x.

تابع نمایی دو حالت کلی برای نمودار خود دارد.

حالت اول: در این حالت a کوچکتر از یک باشد که در این صورت با افزایش x مقدار y کاهش می یابد.

مثال:

حالت دوم: در این حالت a بزرگتر از یک باشد که در این صورت با افزایش x مقدار y نیز افزایش می یابد.

مثال:

کاربرد[ویرایش]

توابع نمایی در زمینه‌هایی چون اقتصاد و زیست شناسی کاربردهای فراوانی دارند. از این رو توابع نمایی و مسایل مربوط به رشد و زوال می‌توانند برای نمایش کاربردهای ریاضی در مسایل زندگی واقعی سودمند باشند.

مثال[ویرایش]

یک هنرمند درختی چوبی با استفاده از تعدادی قطعه چوب شاخه مانند ساخته‌است. به این ترتیب که روی دسته‌های شاخه اصلی، شاخه‌های دیگری ساخته و این کار را تا هشت سطح ادامه داده‌است جدول عملکرد وی به صورت زیر می‌شود:

توان ۲ (^)	تعداد شاخه‌ها	سطح
۲^۰	۱	اصلی
۲^۱	1(2)=۲	اول
۲^۲	2(2)=۴	دوم
۲^۳	2(2)(2)=۸	سوم
۲^۴	2(2)(2)(2)=۱۶	چهارم
۲^۵	2(2)(2)(2)(2)=۳۲	پنجم
۲^۶	2(2)(2)(2)(2)(2)=۶۴	ششم
۲^۷	2(2)(2)(2)(2)(2)(2)=۱۲۸	هفتم
۲^۸	2(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)=۲۵۶	هشتم