ضرب داخلی

ضرب داخلی (به انگلیسی: Inner Product)‏، که ضرب نقطه‌ای (به انگلیسی: Dot Product)‏ و ضرب اسکالر (به انگلیسی: Scalar Product)‏ نیز نامیده می‌شود، یک عمل دوتایی بین دو بردار در فضای $n \!$ بعدی اقلیدسی است که نتیجه آن یک عدد حقیقی است.

بنابراین، ضرب داخلی دو کمیت برداری، یک کمیت نرده‌ای است.

تعریف

ضرب داخلی دو بردار $\mathbf{a} = [a_1, a_2, \cdots, a_n] \!$ و $\mathbf{b} = [b_1, b_2, \cdots, b_n] \!$ به صورت زیر تعریف می‌شود:

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n$

که در اینجا، $\sum \!$ نماد جمع است.

برای دو بردار مختلط، ضرب داخلی به صورت زیر تعریف می‌شود:

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n{a_i \overline{b_i}}$

که در اینجا، $\overline{b_i}$، مزدوج مختلط بردار $b_i$ است.

بیان هندسی

حاصلضرب داخلی A • B برابر است با $|\mathbf{A}| \, |\mathbf{B}| \cos \theta \,$.
$|\mathbf{A}| \, cos \theta \,$ اندازهٔ تصویر بردار A بر روی B است.

در هندسه اقلیدسی، ضرب داخلی به اندازهٔ بردارها و زاویهٔ بین آنها مربوط است. برای یک بردار دلخواه $\mathbf{a}$، ضرب داخلی $\mathbf{a}$ . $\mathbf{a}$ برابر با مجذور طول اقلیدسی بردار $\mathbf{a}$ است:

$|\mathbf{a}| = \sqrt{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}} = (\sum_{i=1}^n |a_i|^2)$

که |a| نشان‌دهندهٔ اندازه بردار a است.

همچنین اگر b یک بردار دیگر باشد، آنگاه:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}| \cos \theta \,$

که |a| و |b| نشان‌دهندهٔ اندازهٔ بردارهای a و b و θ زاویهٔ بین دو بردار است.

جستارهای وابسته

• ضرب خارجی
• بردار
• تانسور
• متریک ریمانی

منابع

• جبر خطّی عددی (انگلیسی)

عملیات دوتایی
عددی	تابعی	مجموعه‌ای	ساختاری
مقدماتی + جمع – تفریق × ضرب ÷ تقسیم ^ توان حسابی div خارج قسمت اقلیدسی mod باقیمانده اقلیدسی ∧ بزرگترین مقسوم علیه مشترک ∨ کوچکترین مضرب مشترک ترکیباتی ( ) ضریب بینم A جایگشت	∘ ترکیب ∗ کانولوشن	جبر مجموعه‌ها ∪ اجتماع \ مجموعه مکمل ∩ اشتراک Δ تفاضل متقارن ترتیب کلی min کمینه max بیشینه توری‌ها ∧ کرانه تحتانی ∨ کرانه فوقانی	مجموعه‌ها × ضرب دکارتی ⊔ اجتماع منفصل ^ توان مجموعه‌ای گروه‌ها ⊕ حاصل‌جمع مستقیم ∗ حاصل ضرب آزاد ≀ produit en couronne مدول‌ها ⊗ ضرب تانسوری Hom هومومورفیزم Tor پیچش Ext extensions	درخت‌ها ∨ enracinement واریته‌های متصل # جمع متصل فضاهای نقطه‌دار ∨ bouquet ∧ smash produit ∗ joint
	برداری
	(.) ضرب اسکالر ∧ ضرب برداری
	جبری
	[,] کروشه لی {,} کروشه پواسون ∧ ضرب خارجی
	هومولوژی
	∪ cup-produit • حاصل ضرب اشتراک	ترتیبی
		+ الحاق
منطق بولی
∧ عطف منطقی	∨ فصل منطقی	⊕ یای انحصاری	⇒ استلزام منطقی	⇔ اگر و فقط اگر