دستگاه مختصات کروی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
نقطه‌ای که با دستگاه مختصات کروی نمایش داده شده است

در ریاضیات، دستگاه مختصات کروی یک دستگاه مختصات برای نمایش حساب‌ها و اعداد هندسی در فضای سه بعدی با استفاده از سه مختصه است: فاصلهٔ شعاعی یک نقطه از یک مبدأ ثابت، زاویهٔ سمت‌الرأس (zenith angle) از قسمت مثبت محور z و زاویهٔ گرایی (azimuth angle) از قسمت مثبت محور x.

مشخصات[ویرایش]

دستگاه مختصات کروی، دستگاه مختصاتی با سه مختصه‌است:

  • مختصه \rho (یا r) که روی کره‌های هم مرکز حول مبدا است.
  • مختصه \theta روی مخروط‌های دوار قائم حول محور z با راس واقع در مبدا.
  • مختصه \phi که روی نیم صفحاتی که از محور قطبی z می‌گذرد.

در فیزیک بنا به سنت جای \theta و \phi معکوس است یعنی \theta زاویه با محور z است.

محدوده مختصات[ویرایش]

سه مختصه در محدوه‌های زیر می‌توانند باشند:

  • مختصه \rho (یا r):
0 \le \rho
  • مختصه زاویه قطبی \theta:
0 \le \theta \le 2 \pi
  • مختصه زاویه سمتی \phi:
0 \le \phi \le \pi

رابطه با مختصات دکارتی[ویرایش]

مختصات دستگاه کروی را با استفاده از روابط زیر به دستگاه مختصات دکارتی می‌توان تبدیل کرد:

  • برای مختصه \rho:
{\rho}=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}
  • برای مختصه زاویه قطبی \theta:
{\theta}=\arctan \left({\frac{y}{x}} \right)
  • برای مختصه زاویه سمتی \phi:
{\phi}=\arccos \left({\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}} \right)

مختصات دکارتی نیز را با روابط زیر می‌توان به دستگاه مختصات کروی برد:

  • مختصه x:
{x}=\rho \, \sin\phi \, \cos\theta \quad
  • مختصه y:
{y}=\rho \, \sin\phi \, \sin\theta \quad
  • مختصه z:
{z}=\rho \, \cos\phi \quad

حساب برداری[ویرایش]

  • بردار A در مختصات کروی به صورت زیر نمایش داده می‌شود:
\overrightarrow{A} = A_r\boldsymbol{\hat r} + A_\theta\boldsymbol{\hat \theta} + A_\phi\boldsymbol{\hat \phi}
\nabla f = {\partial f \over \partial r}\boldsymbol{\hat r} + {1 \over r}{\partial f \over partial \theta}\boldsymbol{\hat \theta} + {1 \over r\sin\theta}{\partial f \over \partial \phi}\boldsymbol{\hat \phi}
\nabla \cdot \mathbf{A} = {1 \over r^2}{\partial \left( r^2 A_r \right) \over \partial r}  + {1 \over r\sin\theta}{\partial \over \partial \theta} \left(  A_\theta\sin\theta \right)  
 + {1 \over r\sin\theta}{\partial A_\phi \over \partial \phi}
  • کرل بردار A در دستگاه کروی:
\nabla \times \mathbf{A} = {1 \over r\sin\theta} {\partial \over \partial \theta} \left({\partial \over \partial \theta} (A_\phi \sin\theta) - {\partial A_\theta \over \partial \phi}\right) \boldsymbol{\hat r} + {1 \over r} \left({1 \over \sin\theta}{\partial A_r \over \partial \phi} - {\partial \over \partial r} \left( r A_\phi \right) \right) \boldsymbol{\hat \theta} + {1 \over r}\left({\partial \over \partial r} \left( r A_\theta \right)
    - {\partial A_r \over \partial \theta}\right) \boldsymbol{\hat \phi}
\Delta f = \nabla^2 f = {1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) 
  + {1 \over r^2\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) 
  + {1 \over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \phi^2}

تبدیل‌های دستگاه مختصات[ویرایش]

دستگاه مختصات جغرافیایی[ویرایش]

دستگاه مختصات جغرافیایی بک مدل دیگر از دستگاه مختصات کروی است که کاربرد اصلی آن در جغرافیا است اما در ریاضیات و فیزیک نیز استفاده‌هایی دارد. در جغرافی، ρ معمولاً حذف یا با مقداری که ارتفاع یا بلندی از سطح دریا را نشان می‌دهد جایگزین می‌شود.

عرض جغرافیایی {\delta}\,، مکمل سمت‌الرأس یا متمم عرض جغرافیایی است و می‌تواند با این روابط تبدیل شود:

{\delta}=90^\circ - \phi

یا

{\phi}=90^\circ - \delta

با این وجود عرض جغرافیایی عمدتاً با φ نیز نمایش داده می‌شود. این، یک زاویه سمت‌الرأس را که از صفحهٔ xy سرچشمه می‌گیرد با دامنهٔ ‎ -۹۰° ≤ φ ≤ ۹۰° ‏ بیان می‌کند. طول جغرافیایی به وسیلهٔ درجه به شرق یا به غرب از °۰ اندازه‌گیری می‌شود، بنابراین دامنه‌اش ‎ -۱۸۰° ≤ θ ≤ ۱۸۰° ‏ است.

دیفرانسیل‌ها[ویرایش]

  • دیفرانسیل خطی:
d\mathbf{l} = dr\mathbf{\hat r} + rd\theta\boldsymbol{\hat \theta} + r\sin\phi d\phi\boldsymbol{\hat \phi}
  • دیفرانسیل سطحی:
d\mathbf{S} =  r^2 \sin\phi d\theta d\phi \mathbf{\hat r} + r\sin\phi drd\phi \boldsymbol{\hat \theta} + rdrd\theta\boldsymbol{\hat \phi}
  • دیفرانسیل حجمی:
dv = r^2\sin\phi drd\theta d\phi\,

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]