دستگاه مختصات کروی

نقطه‌ای که با دستگاه مختصات کروی نمایش داده شده است

در ریاضیات، دستگاه مختصات کروی یک دستگاه مختصات برای نمایش حساب‌ها و اعداد هندسی در فضای سه بعدی با استفاده از سه مختصه است: فاصلهٔ شعاعی یک نقطه از یک مبدأ ثابت، زاویهٔ سمت‌الرأس (zenith angle) از قسمت مثبت محور z و زاویهٔ گرایی (azimuth angle) از قسمت مثبت محور x.

مشخصات

دستگاه مختصات کروی، دستگاه مختصاتی با سه مختصه‌است:

• مختصه $\rho$ (یا $r$) که روی کره‌های هم مرکز حول مبدا است.
• مختصه $\theta$ روی مخروط‌های دوار قائم حول محور $z$ با راس واقع در مبدا.
• مختصه $\phi$ که روی نیم صفحاتی که از محور قطبی $z$ می‌گذرد.

در فیزیک بنا به سنت جای $\theta$ و $\phi$ معکوس است یعنی $\theta$ زاویه با محور $z$ است.

محدوده مختصات

سه مختصه در محدوه‌های زیر می‌توانند باشند:

• مختصه $\rho$ (یا $r$):

$0 \le \rho$

• مختصه زاویه قطبی $\theta$:

$0 \le \theta \le 2 \pi$

• مختصه زاویه سمتی $\phi$:

$0 \le \phi \le \pi$

رابطه با مختصات دکارتی

مختصات دستگاه کروی را با استفاده از روابط زیر به دستگاه مختصات دکارتی می‌توان تبدیل کرد:

• برای مختصه $\rho$:

${\rho}=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

• برای مختصه زاویه قطبی $\theta$:

${\theta}=\arctan \left({\frac{y}{x}} \right)$

• برای مختصه زاویه سمتی $\phi$:

${\phi}=\arccos \left({\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}} \right)$

مختصات دکارتی نیز را با روابط زیر می‌توان به دستگاه مختصات کروی برد:

• مختصه $x$:

${x}=\rho \, \sin\phi \, \cos\theta \quad$

• مختصه $y$:

${y}=\rho \, \sin\phi \, \sin\theta \quad$

• مختصه $z$:

${z}=\rho \, \cos\phi \quad$

حساب برداری

• بردار $A$ در مختصات کروی به صورت زیر نمایش داده می‌شود:

$\overrightarrow{A} = A_r\boldsymbol{\hat r} + A_\theta\boldsymbol{\hat \theta} + A_\phi\boldsymbol{\hat \phi}$

• ضرب داخلی و ضرب خارجی بردارها مانند تمامی دستگاه​های مختصّات متعامد به همان فرمول​بندی دستگاه دكارتی انجام می​شود.
• گرادیان تابع اسکالر $f$ به صورت زیر است:

$\nabla f = {\partial f \over \partial r}\boldsymbol{\hat r} + {1 \over r}{\partial f \over partial \theta}\boldsymbol{\hat \theta} + {1 \over r\sin\theta}{\partial f \over \partial \phi}\boldsymbol{\hat \phi}$

• واگرایی بردار $A$:

$\nabla \cdot \mathbf{A} = {1 \over r^2}{\partial \left( r^2 A_r \right) \over \partial r} + {1 \over r\sin\theta}{\partial \over \partial \theta} \left( A_\theta\sin\theta \right) + {1 \over r\sin\theta}{\partial A_\phi \over \partial \phi}$

• کرل بردار $A$ در دستگاه کروی:

$\nabla \times \mathbf{A} = {1 \over r\sin\theta} {\partial \over \partial \theta} \left({\partial \over \partial \theta} (A_\phi \sin\theta) - {\partial A_\theta \over \partial \phi}\right) \boldsymbol{\hat r} + {1 \over r} \left({1 \over \sin\theta}{\partial A_r \over \partial \phi} - {\partial \over \partial r} \left( r A_\phi \right) \right) \boldsymbol{\hat \theta} + {1 \over r}\left({\partial \over \partial r} \left( r A_\theta \right) - {\partial A_r \over \partial \theta}\right) \boldsymbol{\hat \phi}$

• عملگر لاپلاسی بر روی بردار $f$ در مختصات کروی:

$\Delta f = \nabla^2 f = {1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) + {1 \over r^2\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) + {1 \over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \phi^2}$

تبدیل‌های دستگاه مختصات

دستگاه مختصات جغرافیایی

دستگاه مختصات جغرافیایی بک مدل دیگر از دستگاه مختصات کروی است که کاربرد اصلی آن در جغرافیا است اما در ریاضیات و فیزیک نیز استفاده‌هایی دارد. در جغرافی، ρ معمولاً حذف یا با مقداری که ارتفاع یا بلندی از سطح دریا را نشان می‌دهد جایگزین می‌شود.

عرض جغرافیایی ${\delta}\,$، مکمل سمت‌الرأس یا متمم عرض جغرافیایی است و می‌تواند با این روابط تبدیل شود:

${\delta}=90^\circ - \phi$، یا

${\phi}=90^\circ - \delta$

با این وجود عرض جغرافیایی عمدتاً با φ نیز نمایش داده می‌شود. این، یک زاویه سمت‌الرأس را که از صفحهٔ xy سرچشمه می‌گیرد با دامنهٔ ‎ -90° ≤ φ ≤ 90° ‏ بیان می‌کند. طول جغرافیایی به وسیلهٔ درجه به شرق یا به غرب از 0° اندازه‌گیری می‌شود، بنابراین دامنه‌اش ‎ -180° ≤ θ ≤ 180° ‏ است.

دیفرانسیل‌ها

• دیفرانسیل خطی:

$d\mathbf{l} = dr\mathbf{\hat r} + rd\theta\boldsymbol{\hat \theta} + r\sin\theta d\phi\boldsymbol{\hat \phi}$

• دیفرانسیل سطحی:

$d\mathbf{S} = r^2 \sin\theta d\theta d\phi \mathbf{\hat r} + r\sin\theta drd\phi \boldsymbol{\hat \theta} + rdrd\theta\boldsymbol{\hat \phi}$

• دیفرانسیل حجمی:

$dv = r^2\sin\theta drd\theta d\phi\,$

جستارهای وابسته

• دستگاه مختصات خمیده خط
• دستگاه مختصات دکارتی
• دستگاه مختصات استوانه‌ای
• دستگاه مختصات قطبی
• کُره

منبع

• جورج براون آرفکن. روشهای ریاضی در فیزیک. ترجمهٔ اعظم پورقاضی. مرکز نشر دانشگاهی. شابک ‎&#۸۲۰۶;۹۶۴-۰۱-۰۹۱۴-۲. 

• Wikipedia contributors, "Spherical coordinate system," Wikipedia, The Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Spherical_coordinate_system&oldid=172958916 (accessed November 22, 2007).