چندجمله‌ای چبیشف

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

تاریخ[ویرایش]

pafnuty lvovich chebyshev یک ریاضی دان روسی است و متولد ۱۶ می سال ۱۸۲۱ می باشد. چندجمله ایهای چبیشف که نامگذاری آن ازروی از نام همین ریاضیدان است یک توالی از چندجمله ای های ارتوگونال هستند که می توان آنها را مثل فیبوناچی به صورت برگشت پذیر نوشت. این چند جمله ایها دو نوع اول و دوم دارند که نوع اول آنها را با T و نوع دوم آنها را با U نشان می دهند.علت نام گذاری T این است که chebyshev به زبان فرانسوی Tchebyshev و به زبان آلمانی Tschebyschow می باشد.

کاربرد[ویرایش]

چندجمله ایهای چبیشف بیشتر در تخمین کاربرد دارند و استفاده از آنها برای تخمین به مقدار زیادی خطا را کاهش می دهد. مثلا در اندازه گیری طول یک نیم دایره و اشکال دارای قوس.

مقدمه[ویرایش]

کسینوسها:

از رابطه ی زیر شروع می کنیم:

cos((n+1)\theta) = 2cos(\theta) cos(n\theta) - cos((n-1)\theta)   (1)

که با ۲ بار استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود.

 cos(\alpha + \beta) = cos \alpha cos \beta - sin\alpha sin\beta

سپس ادعا میکنیم که به ازای هر عدد صحیح مثبت n اعداد صحیح ci وجود دارند به طوری که:

 cos n\theta =\sum_{i=0}^n c_i cos^i (\theta ) (2)

تعریف: رابطه ی 2 می گوید که (cos(nθ یک چندجمله ای برحسب (cos(θ است.برای n ثابت n امین چندجمله ای چبیشف به صورت زیر تعریف می شود:

 cos(n\theta) = Tn(cos \theta) (3)

که اگر (x = cos(θ باشد:

T_n(x) = cos(n arccos(x)) (4)

برای x های بین 1 و 1-

در واقع چندجمله ای های چبیشف نمودارهای کسینوسی هستند که مقیاس افقی آنها تغییر کرده ولی مقیاس عمودی آنها نه.و ریشه های آن که به آنها گره هم می گویند زمانی است که(cos(θ صفر شود یعنی (برای n های طبیعی) :

 x = cos(\frac{(2i-1)\pi}{2n})

با توجه به روابط بالا به این رابطه ی بازگشتی می رسیم:

 T_0(x) = 1 , T_1(x) = x  (5)
x = cos \theta
  T_{n+1}(x)=2xT_n(x) - T_{n-1}(x) (6)

جوابهای معادله ی 6 با مقدارهای اولیه داده شده در 5 چندجمله ایهای چبیشف نوع اول را نتیجه می دهد.

مثال‌ها[ویرایش]

اولین چندجمله‌ای‌های نوع اول چبیشف به صورت زیر می‌باشند:

منحنی‌های مربوط به اولین چندجمله‌ای‌های نوع اول چبیشف بر روی دامنه −1¼ < x < 1¼, −1¼ < y < 1¼; the flat T0, and T1, T2, T3, T4 and T5.
 T_0(x) = 1 \,
 T_1(x) = x \,
 T_2(x) = 2x^2 - 1 \,
 T_3(x) = 4x^3 - 3x \,
 T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \,
 T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x \,
 T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \,
 T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \,
 T_8(x) = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \!
 T_9(x) = 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x. \,

ملاحظات[ویرایش]

شایان توجه است که این چند جمله ایها همان بسط کسینوس مضارب صحیح و غیر منفی زوایا هستند. یعنی:

 cos 2 \alpha = 2 cos^2 \alpha - 1 \!
 cos 3 \alpha = 4 cos^3 \alpha - 3 cos \alpha \!

 cos 4 \alpha = 8 cos^4 \alpha - 8 cos^2 \alpha + 1 \!

منحنی‌های مربوط به اولین چندجمله‌ای‌های نوع دوم چبیشف بر روی دامنه −1¼ < x < 1¼, −1¼ < y < 1¼; the flat U0, and U1, U2, U3, U4 and U5. Although not visible in the image, Un(1) = n + 1 and Un(−1) = (n + 1)(−1)n.

نوع دوم آن هم با همان معادله ی 6 ولی با مقادیر اولیه متفاوت 7 بدست می آیند.

 U_0(x) = 1  , U_1(x) = 2x   (7)
U_{n+1}(x) = 2xU_n(x) - U{n-1}(x)

اولین چندجمله‌ای‌های نوع دوم چبیشف به صورت زیر می‌باشند:

 U_0(x) = 1 \,
 U_1(x) = 2x \,
 U_2(x) = 4x^2 - 1 \,
 U_3(x) = 8x^3 - 4x \,
 U_4(x) = 16x^4 - 12x^2 + 1 \,
 U_5(x) = 32x^5 - 32x^3 + 6x \,
 U_6(x) = 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1 \,
 U_7(x) = 128x^7 - 192x^5 + 80x^3 - 8x \,
 U_8(x) = 256x^8 - 448 x^6 + 240 x^4 - 40 x^2 + 1 \,
 U_9(x) = 512x^9 - 1024 x^7 + 672 x^5 - 160 x^3 + 10 x. \,

از نقطه نظر معادلات دیفرانسیل[ویرایش]

چندجمله ای های چبیشف از نگاهی دیگر جوابهای معادله دیفرانسیل زیر هستند

 (1-x^2)y'' - xy' + (\alpha)^2y = 0

که جواب آن به صورت سری توانی زیر خواهد بود و به ازای α های مختلف این چندجمله ای ها به وجود می آیند. ابتدا مشتق های اول و دوم جواب را به دست می آوریم:

 y =\sum_{i=0}^\infty a_n x^n
 y' =\sum_{i=0}^\infty n a_n x^{n-1}
 =\sum_{i=1}^\infty n a_n x^{n-1}
 =\sum_{i=0}^\infty (n+1) a_{n+1} x^{n}
 y''=\sum_{i=0}^\infty (n+1)n a_{n+1} x^{n-1}
 =\sum_{i=1}^\infty (n+1)n a_{n+1} x^{n-1}
 =\sum_{i=0}^\infty (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n}

سپس آنها را در معادله اولیه جایگذاری می کنیم:

(1-x^2) \sum_{i=0}^\infty (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n} - x \sum_{i=0}^\infty (n+1) a_{n+1} x^{n} + \alpha^2 \sum_{i=0}^\infty a_n x^n = 0
 \sum_{i=0}^\infty (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n} - \sum_{i=0}^\infty (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n+2} - \sum_{i=0}^\infty (n+1) a_{n+1} x^{n+1} + \alpha^2 \sum_{i=0}^\infty a_n x^n = 0

اکنون معادله را به گونه ای می نویسیم که توانهای x یکسان شوند و سپس معادله را حل می کنیم:

 \sum_{i=0}^\infty (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n} - \sum_{i=2}^\infty (n)(n-1) a_{n} x^{n} - \sum_{i=1}^\infty (n) a_{n} x^{n} + \alpha^2 \sum_{i=0}^\infty a_n x^n = 0
 2.1a_2 + 3.2a_3 x - 1.a_1 x + \alpha^2 a_0 + \alpha^2 a_1 x
+ \sum_{i=2}^\infty [ (n+2)(n+1) a_{n+2}  -  (n)(n-1) a_{n}  -  (n) a_{n}  + \alpha^2  a_n ] x^n = 0
 (2a_2 +\alpha^2 a_0) + [6a_3 + (\alpha^2 - 1) a_1] x
+ \sum_{i=2}^\infty [ (n+2)(n+1) a_{n+2}   + (\alpha^2 - n^2) a_n ] x^n = 0

برای صادق بودن معادله ی بالا باید تمام ضرایب توانهای x و مقدار ثابت صفر شوند:

 (2a_2 +\alpha^2 a_0)  = 0
  6a_3 + (\alpha^2 - 1) a_1 = 0
 a_{n+2} = \frac{n^2 - \alpha^2}{(n+1)(n+2)} a_n    n = 0,1,...

رابطه ی بازگشتی برای جملات زوج به صورت زیر:

 a_2 = \frac{- \alpha^2}{2} a_0
 a_4 = \frac{2^2 - \alpha^2}{3.4} a_2 = \frac{(2^2 - \alpha^2)(-\alpha^2)}{1.2.3.4} a_0
 a_{2n} = \frac{[(2n)^2 - \alpha^2][(2n-2)^2-\alpha^2]...(-\alpha^2)}{(2n)!} a_0

و برای جملات فرد به صورت زیر خواهد بود:

 a_3 = \frac{1 - \alpha^2}{6} a_1
 a_5 = \frac{3^2 - \alpha^2}{4.5} a_3 = \frac{(3^2 - \alpha^2)(1 - \alpha^2)}{5!} a_1
 a_{2n-1} = \frac{[(2n-1)^2 - \alpha^2][(2n-3)^2-\alpha^2]...(1 - \alpha^2)}{(2n+1)!} a_1

در نهایت جواب عمومی به دست می آید:

 a_{k even} =  \prod_{j=1}^{\frac{k}{2}} (k - 2j)^2 - \alpha^2
 a_{k odd} =  \prod_{j=1}^{\frac{k-1}{2}} (k - 2j)^2 - \alpha^2
y= a_0 [1 + \sum_{k=2,4,...}^\infty \frac{a_{k even}}{k!} x^k] + a_1 [x +\sum_{k=3,5,...}^\infty \frac{a_{k odd}}{k!} x^k ]

که می توان به صورت زیر نوشت:

 y = a_0 cos(\alpha arcsin x) + \frac{a_1}{\alpha} sin(\alpha arcsin x)

و با یک تغییر متغیر به این نتیجه می رسیم:

 y = b_1 cos(\alpha arccos x) + b_2 sin(\alpha arccos x) = b_1 T_{\alpha}(x) + b_2 \sqrt{1 - x^2} U_{\alpha-1}(x)

که (Tn(x چند جمله ای چبیشف از نوع اول و (Un(x چند جمله ای چبیشف از نوع دوم است.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

پیوندهای بیرونی[ویرایش]