چندجمله‌ای چبیشف

چندجمله‌ای‌های چبیشف جواب‌های معادلات دیفرانسیل معمولی زیر، موسوم به معادلات دیفرانسیل چبیشف هستند:

$(1-x^2)\,y'' - x\,y' + n^2\,y = 0 \,\!$

و همچنین

$(1-x^2)\,y'' - 3x\,y' + n(n+2)\,y = 0 \,\!$

مثال‌ها

اولین چندجمله‌ای‌های نوع اول چبیشف به صورت زیر می‌باشند:

منحنی‌های مربوط به اولین چندجمله‌ای‌های نوع اول چبیشف بر روی دامنه −1¼ < x < 1¼, −1¼ < y < 1¼; the flat T₀, and T₁, T₂, T₃, T₄ and T₅.

$T_0(x) = 1 \,$

$T_1(x) = x \,$

$T_2(x) = 2x^2 - 1 \,$

$T_3(x) = 4x^3 - 3x \,$

$T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \,$

$T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x \,$

$T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \,$

$T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \,$

$T_8(x) = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \!$

$T_9(x) = 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x. \,$

ملاحظات

شایان توجه است که این چند جمله ایها همان بسط کسینوس مضارب صحیح و غیر منفی زوایا هستند. یعنی:

$cos 2 \alpha = 2 cos^2 \alpha - 1 \!$

$cos 3 \alpha = 4 cos^3 \alpha - 3 cos \alpha \!$

$cos 4 \alpha = 8 cos^4 \alpha - 8 cos^2 \alpha + 1 \!$

منحنی‌های مربوط به اولین چندجمله‌ای‌های نوع دوم چبیشف بر روی دامنه −1¼ < x < 1¼, −1¼ < y < 1¼; the flat U₀, and U₁, U₂, U₃, U₄ and U₅. Although not visible in the image, U_n(1) = n + 1 and U_n(−1) = (n + 1)(−1)ⁿ.

اولین چندجمله‌ای‌های نوع دوم چبیشف به صورت زیر می‌باشند:

$U_0(x) = 1 \,$

$U_1(x) = 2x \,$

$U_2(x) = 4x^2 - 1 \,$

$U_3(x) = 8x^3 - 4x \,$

$U_4(x) = 16x^4 - 12x^2 + 1 \,$

$U_5(x) = 32x^5 - 32x^3 + 6x \,$

$U_6(x) = 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1 \,$

$U_7(x) = 128x^7 - 192x^5 + 80x^3 - 8x \,$

$U_8(x) = 256x^8 - 448 x^6 + 240 x^4 - 40 x^2 + 1 \,$

$U_9(x) = 512x^9 - 1024 x^7 + 672 x^5 - 160 x^3 + 10 x. \,$

جستارهای وابسته

• روش‌های طیفی چبیشف

منابع

• چندجمله‌ای‌های چبیشف

پیوندهای بیرونی

• چندجمله‌ای‌های نوع اول چبیشف