توزیع پواسون

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
پواسون
پارامترها \lambda \in (0,\infty)
‫تکیه‌گاه k \in \{0,1,2,\ldots\}
تابع چگالی احتمال \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\!
تابع توزیع تجمعی‫ (سی‌دی‌اف) \frac{\Gamma(k+1, \lambda)}{k!}\!
میانگین \lambda\,
میانه N/A
مُد \lfloor\lambda\rfloor
واریانس \lambda\,
چولگی \lambda^{-1/2}\,
کشیدگی \lambda^{-1}\,
انتروپی \lambda[1\!-\!\ln(\lambda)]\!+\!e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k\ln(k!)}{k!}
‫تابع مولد گشتاور (ام‌جی‌اف) \exp(\lambda (e^t-1))\,
تابع مشخصه \exp(\lambda (e^{it}-1))\,

در آمار و احتمال توزیع پواسون (یا قانون پواسون اعداد کوچک) یک توزیع احتمالی گسسته است که احتمال اینکه یک حادثه به تعداد مشخصی در فاصلهٔ زمانی یا مکانی ثابتی رخ دهد را شرح می دهد؛ به شرط اینکه این حوادث با نرخ میانگین مشخصی و مستقل از زمان آخرین حادثه رخ دهند. (توزیع پواسون همچنین برای تعدادی از حوادث در فاصله های مشخص دیگری مثل مسافت، مساحت یا حجم استفاده شود) این توزیع برای اولین بار توسط Siméon Denis Poisson 1781-1840 معرفی و به ضمیمه تئوری احتمال او در سال 1838 در یکی از کتابهایش بنامRecherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile(جستاری در احتمال قضاوت ها در مسائل کیفری و حقوقی) چاپ شد. اولین استفاده ی عملی از این توزیع به سال 1898 برمی گردد جایی که Ladislaus Bortkiewicz به بررسی تعداد تصادفی از سربازان ارتش پروس که توسط پا زدن اسب کشته شدند می پردازد. این اثربیشتر بر متغیرهای تصادفی خاصی تاکید میکند مانند متغیر تصادفی N که تعداد ظهورها (یا ورودهای) گسسته را که در فاصله زمانی مشخصی اتفاق می افتند را میشمارد. توزیع پواسن در هر زمینه ای استفاده می شود برای مثال : فرض کنید شخصی به طور متوسط چهار ایمیل در روز دریافت می کند تعداد ایمیل های دریافت شده در برخی از روزها می تواند کمی کمتر یا بیشتر از چهار باشد ولی در بازه زمانی طولانی اگر بر دریافت ایمیل نظارت کنیم، می بینیم نرخ دریافت ثابت است. حال فرض کنید فرآیند یا ترکیبی از چند فرآیند یک جریان رویداد به صورت تصادفی تولید کنند، توزیع پواسن احتمال اینکه تعداد این رخدادها 2،3،4 و اعداد دیگر باشد را مشخص می کند. توزیع پواسن درجه پراکندگی اطراف نرخ متوسط وقوع رخداد را پیش بینی می کند.

  • در سیستم های الکتریکی : تعداد دفعاتی که زنگ یک تلفن به صدا در می آید
  • در نجوم : فوتون هایی که تلسکوپ می رسند
  • در صنعت : تعداد محصولات معیوب یک کارخانه
  • در فیزیک : تعداد ذرات ;alpha انتشار یافته در یک ثانیه
  • در زیست شناسی : تعداد جهش ها روی یک رشته ی معین از DNA دارای توزیع پواسن است.

اگر امید ریاضی ظهورها در این بازه λ باشد، احتمال اینکه دقیقاً k ظهور داشته باشیم (k عدد صحیح نامنفی است، k=0, 1, 2, … ) برابر است با:

f(k; \lambda)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!},\,\!

بطوریکه

  • e پایه لگاریتم طبیعی است (e=2.71828)
  • k تعداد ظهورهای یک حادثه است که احتمالش با تابع فوق داده شده است.
  • λ یک عدد مثبت حقیقی و برابر با امید ریاضی ظهورها در طول بازه داده شده است. برای مثال اگر بطور میانگین در هر دقیقه 4 حادثه اتفاق بیفتدو احتمال اتفاق افتادن یک حادثه در فاصله زمانی 10 دقیقه ای را بخواهیم، باید از توزیع پواسون با λ = 10×4 = 40 استفاده کنیم.

تابع فوق به عنوان تابعی از k یک تابع جرم احتمال ست . توزیع پواسون می تواند بعنوان تقریبی از توزیع دوجمله ای در نظر گرفته شود. توزیع پواسون می تواند برای سیستم هایی بکار برده شود که دارای تعداد وقایع بسیار زیاد هستند و احتمال وقوع هر واقعه بسیار کم است؛ بعنوان یک مثال کلاسیک برای این حالت میتوان فروپاشی هسته ای اتم ها را در نظر گرفت.(احتمال فروپاشی یک اتم بسیار کم است ولی میلیون ها اتم در کنار یکدیگر وجود دارند که درواقع تعداد وقایع بسیاری داریم)

نویز پواسون[ویرایش]

پارمتر λنه تنها بمعنی متوسط تعداد وقایع E[k] بلکه نشاندهنده واریانس آن نیز می باشد\sigma_k^2=E[k^2]-E[k]^2 (جدول را ببینید). بنابراین تعداد ظهورهای مشاهده شده حول مقدار متوسطش λ با انحراف معیار \sigma_k =\sqrt{\lambda}.این نوسانات با عنوان نویز پواسون یا (معمولاً در الکترونیک) بعنوان shot noise شناخته میشوند. ارتباط میانگین و انحراف معیار در شمردن ظهورهای گسسته بطور علمی مفید است. با دقت کردن به اینکه چگونه نوسانات با مقدار متوسط سیگنال تغییر میکنند میتوان سهم هر سیگنال را تخمین زد، حتی اگر این سهم بقدری ضعیف باشد که نتوانیم بطور مستقیم آن را آشکار کنیم.

توزیع های مرتبط[ویرایش]

  • اگر X_1 توزیع پواسون با پارامتر \lambda_1 و X_2 توزیع پواسون با پارامتر \lambda_2 داشته باشد آنگاه تفاضل آنها دارای توزیع skellam خواهد بود.
  • اگر X_1 با توزیع پواسون با پارمتر \lambda_1 و X_2 با توزیع پواسون با پارمتر\lambda_2 مستقل باشند و Y=X_1+X_2 آنگاه متغیر تصادفی X_1 به شرط Y=y دارای توزیع دوجمله ای خواهد بود. بطور خاص X_1|(Y=y) \sim \mathrm{Binom}(y, \lambda_1/(\lambda_1+\lambda_2))\, در حالت کلی اگر X1, X2,..., Xn متغیرهای مستقل پواسون با پارامترهای λ1, λ2,..., λn باشند آنگاه :: X_i \left|\sum_{j=1}^n X_j\right. \sim \mathrm{Binom}\left(\sum_{j=1}^nX_j,\frac{\lambda_i}{\sum_{j=1}^n\lambda_j}\right)[۱]

منابع[ویرایش]

  1. en:Poisson distribution