آماره بسنده

آمارهٔ بسنده (به انگلیسی: Sufficient Statistic) برای یک پارامتر، آماره‌ای است از داده که تمام اطلاعات موردنیاز برای تخمین آن پارامتر را دربر دارد. به بیان دیگر، گوییم $T(\mathbf {x} )$ آماره‌ای بسنده‌است اگر دانستن آن ما را از داشتن تمام نمونه‌ها برای تخمین پارامترهای توزیع نمونه‌ها بی‌نیاز سازد. به عنوان مثال، در تخمین میانگین نمونه‌های $X_{1},\ldots ,X_{n}$ که براساس توزیع نرمال با میانگین $\mu$ و واریانس واحد توزیع شده‌اند، آمارهٔ زیر یک آمارهٔ بسنده‌است:

$T=\sum _{i=1}^{n}X_{i}$

تعریف ریاضی

تعریف دقیق ریاضی آماره بسنده به صورت زیر است:

آماره $T(\mathbf {X} )$ یک آماره بسنده برای $\theta$ است اگر توزیع نمونه $X$ به شرط $T(\mathbf {X} )$ به $\theta$ بستگی نداشته‌باشد.

روش محاسبه

یافتن آمارهٔ بسنده با استفاده از تعریف آن غالباً مشکل است. برای محاسبه آماره بسنده معمولاً از قضیه فاکتورگیری استفاده می‌شود:

فرض کنید $f(\mathbf {x} |\theta )$ یک تابع چگالی احتمال برای نمونه $\mathbf {X}$ باشد. آماره $T(\mathbf {x} )$ یک آماره بسنده برای پارامتر $\theta$ است اگر و تنها اگر توابع $g(t|\theta )$ و $h(\mathbf {x} )$ وجود داشته‌باشند به صورتی که برای همه مقادیر $\mathbf {X}$ و $\theta$ داشته باشیم:

$f(\mathbf {x} |\theta )=g(T(\mathbf {x} |\theta ))h(\mathbf {x} )$

جستارهای وابسته

• آماره کامل
• آماره کمکی