تابع توزیع تجمعی

تابع توزیع تجمعی برای توزیع نرمال .

تابع چگالی احتمال برای چند توزیع نرمال، نمودار قرمز رنگ مربوط به توزیع نرمال استاندارد است ..

تابع توزیع تجمعی تابعی است غیر صفر و همنوای صعودی که برد آن بازه [۰٫۱] بوده و احتمال آنکه متغیر تصادفی X دارای مقداری کوچک‌تر از x باشد را نشان می‌دهد، یعنی:

$x \to F_X(x) = \operatorname{P}(X\leq x)$

از این تعریف می‌توان نتیجه گرفت که

$P(a< X \le b)=F_X(b)-F_X(a)$

تابع توزیع تجمعی را می‌توان به صورت زیر بر اساس تابع چگالی احتمال نیز تعریف کرد

$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt.$

در مورد متغیر های تصادفی با مقادیر گسسته این تعریف به صورت زیر است :

$\Pr(X=x) =F(x_0)-F(x_0-) ,$ که در اینجا $F(x_0-)$ به معنی حد چپ تابع $F_X(x)$ است وقتی که $x$ به $x_0$ میل میکند

خواص تابع توزیع تجمعی

تمام توابع توزیع تجمعی صعودی (ولی نه لزوما صعودی اکید) و از راست پیوسته هستند.

$\lim_{x\to -\infty}F(x)=0, \quad \lim_{x\to +\infty}F(x)=1.$