توزیع دوجمله‌ای

دوجمله‌ای

پارامترها	$n \geq 0$ تعداد تکرارها (طبیعی) $0\leq p \leq 1$ شانس موفقیت (حقیقی)
‫تکیه‌گاه	$k \in \{0,\dots,n\}\!$
تابع چگالی احتمال	${n\choose k} p^k (1-p)^{n-k} \!$
تابع توزیع تجمعی‫ (سی‌دی‌اف)	$I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \!$
میانگین	$np\!$
میانه	یکی از $\{\lfloor np\rfloor-1, \lfloor np\rfloor, \lfloor np\rfloor+1\}$
مُد	$\lfloor (n+1)\,p\rfloor\!$
واریانس	$np(1-p)\!$
چولگی	$\frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}\!$
کشیدگی	$\frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}\!$
انتروپی	$\frac{1}{2} \ln \left(2 \pi n e p (1-p) \right) + O \left(\frac{1}{n} \right)$
‫تابع مولد گشتاور (ام‌جی‌اف)	$(1-p + pe^t)^n \!$
تابع مشخصه	$(1-p + pe^{it})^n \!$

توزیع دوجمله‌ای نوعی توزیع پرکاربرد در آمار، اقتصاد، و علوم تجربی است.

یک آزمایش دوجمله‌ای بایستی دارای ویژگیهای زیر باشد:

• آزمایش دارای n تعداد آزمون یکسان و عیناً مشابه باشد.
• نتیجه هر آزمون به یکی از فقط دو صورت باشد: موفق یا ناموفق
• احتمال موفقیت آزمونی را اگر با p نشان دهیم، از آزمون به آزمون یکسان بوده و متغیر نباشد. احتمال ناموفقیت را با q نشان داده که برابر است با
  q=1-p
• آزمونها مستقل باشند.
• متغیر تصادفی Y نام دارد، که تعداد موفقیتهای n آزمون را نشانگر است.

تابع توزیع

$f(k;n,p) = \Pr(K = k) = {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}$

خواص

اگر n,p پارامترهای متغیر تصادفی X با توزیع دوجمله ای باشد:

$\operatorname{E}[X] = np$

$\operatorname{Var}[X] = np(1 - p).$

افزون بر این، باید توجه داشت که اگر حجم نمونه قابل قیاس با حجم جامعه باشد، استفاده از توزیع هایپرژئومتریک را باید در نظر گرفت.

رابطه توزیع دو جملهای و پواسون اگر( x~p(t باشد و( x~b(n,p باشد انگاه np=t

منابع

در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ توزیع دوجمله‌ای موجود است.

• «توزیع دوجمله‌ای» ‎(فارسی)‎. دانشنامهٔ رشد. بازبینی‌شده در ۷ بهمن ۱۳۸۷. 
• page 27,37 introduction to probabilities models by Sheldon M.Ross

دانش اسدی دانشجوی امار