توزیع ویشارت

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
Wishart
پارامترها  n > p-1\! درجه آزادی (آمار) (عدد حقیقی)
\mathbf{V} > 0\, تجانس (هندسه) (p\times p pos. def)
‫تکیه‌گاه \mathbf{X}\! p\times p positive definite matrix
تابع چگالی احتمال \frac{1}{2^\frac{np}{2}\left|{\mathbf V}\right|^\frac{n}{2}\Gamma_p(\frac{n}{2})} {\left|\mathbf{X}\right|}^{\frac{n-p-1}{2}} e^{-\frac{1}{2}{\rm tr}({\mathbf V}^{-1}\mathbf{X})}
تابع توزیع تجمعی‫ (سی‌دی‌اف)
میانگین n \mathbf{V}
میانه
مُد (n-p-1)\mathbf{V}\text{ for }n \geq p+1
واریانس \operatorname{Var}(\mathbf{X}_{ij}) = n(v_{ij}^2+v_{ii}v_{jj})
چولگی
کشیدگی
انتروپی see below
‫تابع مولد گشتاور (ام‌جی‌اف)
تابع مشخصه \Theta \mapsto \left|{\mathbf I} - 2i\,{\mathbf\Theta}{\mathbf V}\right|^{-n/2}

در آمار توزیع ویشارت تعمیم چند بعدی توزیع کی‌دو یا به ازای حالاتی که پارامترهای توزیع صحیح نیستند، تعمیم توزیع گاما است. این توزیع به افتخار جان ویشارت نام گذاری شده است.[۱]

در حقیقت توزیع ویشارت خانواده‌ای از توزیع احتمال روی ماتریس‌های متقارن معین-غیر منفی (به انگلیسی: non-negative-definite) است. این توزیع، مزدوج پیشین (به انگلیسی: conjugate prior) پارامتر ماتریس کواریانس در توزیع گوسی چند متغیره است.

تعریف[ویرایش]

فرض کنید X ماتریس با ابعاد n × p باشد. هر سطر آن کهمتغیرهای تصادفی مستقل هستند، از یک توزیع گوسی p-متغیره نمونه گیری شده‌اند.

X_{(i)}{=}(x_i^1,\dots,x_i^p)\sim N_p(0,V).

در اینصورت توزیع ویشارت توزیع احتمال ماتریس تصادفی p×p است:

S=X^T X \,\!

که با نام ماتریس پراکندگی نیز مشهور است. می‌توان این توزیع را به صورت زیر نشان داد:

S\sim W_p(V,n).

عدد n درجهٔ آزادی توزیع نامیده می‌شود. به ازای مقادیر n ≥ p ماتریس S با احتمال ۱ معکوس خواهد داشت. به ازای p = 1 و V = 1 این توزیع کی‌دو با درجهٔ آزادی n است.

همچنین ببینید[ویرایش]

منابع[ویرایش]