متغیر تصادفی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در آمار و احتمال متغیر تصادفی متغیری است که مقدار آن از اندازه‌گیری برخی از انواع فرآیندهای تصادفی بدست می‌آید. بطور رسمی‌تر، متغیر تصادفی تابعی است از فضای نمونه به اعداد حقیقی. بطور مستقیم متغیر تصادفی توصیف عددی خروجی یک آزمایش است (مثل برآمدهای ممکن از پرتاب دو تاس (۱و۱) و (۱و۲) و غیره).

متغیرهای تصادفی به دو نوع گسسته (متغیر تصادفی که ممکن است تعداد محدود یا توالی نامحدودی از مقادیر را بگیرد) و پیوسته (متغیری که ممکن است هر مقدار عددی در یک یا چند بازه را بگیرد) طبقه‌بندی می‌شوند. مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی می‌تواند نشان‌دهندهٔ برآمدهای آزمایشی که هنوز انجام نشده یا مقادیر بالقوهٔ یک کمیت که مقدارهای موجود آن نامطمئن هستند (مثلا درنتیجه اطلاعات ناقص یا اندازه‌گیری نادقیق) باشد. یک متغیر تصادفی می‌تواند بعنوان یک کمیت که مقدارش ثابت نیست و مقادیر مختلفی را می‌تواند بگیرد در نظر گرفته شود و توزیع احتمال برای توصیف احتمال اتفاق افتادن آن مقادیر استفاده می‌شود.

متغیرهای تصادفی معمولاً با اعداد حقیقی مقداردهی می‌شوند؛ ولی می‌توان انواع دلخواهی مانند مقدارهای بولی، اعداد مختلط، بردارها، ماتریس‌ها، دنباله‌ها، درخت‌ها، مجموعه‌ها، شکل‌ها، منیوفیلدها، توابع و فرآیندها را درنظر گرفت. عبارت المان تصادفی همه این نوع مفاهیم را دربرمی گیرد.

متغیرهای تصادفی که با اعداد حقیقی مقداردهی می‌شوند، در علوم برای پیش‌بینی براساس داده‌های بدست آمده از آزمایش‌های علمی استفاده می‌شوند. علاوه بر کاربردهای علمی، متغیرهای تصادفی برای آنالیز بازیهای قمار و پدیده‌های تصادفی بوجود آمدند. در چنین مواردی تابعی که خروجی را به یک عدد حقیقی می‌نگارد معمولا یک تابع همانی یا بطور مشابه یک تابع بدیهی است و بطور صریح توصیف نشده است. با این وجود در بسیاری از موارد بهتر است متغیر تصادفی را بصورت توابعی از سایر متغیرهای تصادفی درنظر بگیریم که دراینصورت تابع نگاشت استفاده شده در تعریف یک متغیر تصادفی مهم می‌شود. بعنوان مثال، رادیکال یک متغیر تصادفی با توزیع استاندارد (نرمال) خود یک متغیر تصادفی با توزیع کی دو است. شهود این مطلب بدین صورت است که تصور کنید اعداد تصادفی بسیاری با توزیع نرمال تولید کرده و از هرکدام رادیکال بگیریم و سپس هیستوگرام داده‌های بدست آمده را بکشیم در اینصورت اگر داده‌ها به تعداد کافی باشند، نمودار هیستوگرام تابع چگالی توزیع کی دو را با یک درجه آزادی تقریب خواهد زد.

نام‌های دیگر[ویرایش]

در برخی از کتاب‌های قدیمی‌تر به جای «متغیر تصادفی»، اصطلاح‌های «متغیر شانسی» و «متغیر استوکاستیکی» هم به کار رفته است.[۱]

انواع[ویرایش]

  • متغیر تصادفی گسسته
  • متغیر تصادفی پیوسته

با توجه به وضع شمارایی فضای نمونه‌ای S، متغیر می‌تواند گسسته یا پیوسته باشد. اگر S متناهی یا نامتناهی شمارا باشد متغیر تصادفی X گسسته و اگر ناشمارا باشد X پیوسته خواهد بود.

یک توزیع همچنین می تواند از نوع مختلط (mixed) باشد به این صورت که بخشی از آن مقادیر خاصی را بگیرد و بخش دیگر آن مقادیر روی یک بازه را بگیرد.

چند مثال[ویرایش]

نتایج ممکن برای آزمایش پرتاب سکه شیر و خط است پس { شیر، خط }=\Omega می توانیم متغیر تصادفی Y را به صورت زیر تعریف کنیم


    Y(\omega) = \begin{cases}
          1, & \text{if} \ \ \omega = \text{heads} ,\\
          0, & \text{if} \ \ \omega = \text{tails} .
        \end{cases}

اگر فرض کنیم که احتمال شیر یا خط آمدن یکسان و برابر  0.5 است آنگاه تابع جرمی احتمال ( pmf ) به صورت زیر است.

\rho_Y(y) = \begin{cases}\frac{1}{2},& \text{if }y=1,\\
\frac{1}{2},& \text{if }y=0.\end{cases}

برای توصیف نتیجه یک پرتاب تاس نیز می توان از متغیر تصادفی استفاده کرد فضای حالت را به شکل مجموعه {۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶}=\Omega زیر در نظر می گیریم اگر متغیر تصادفی X را مساوی با نتیجه تاس تعریف کنیم آنگاه:

X(\omega) = \begin{cases}1,& \text{if a 1 is rolled} ,\\
2,& \text{if a 2 is rolled} ,\\
3,& \text{if a 3 is rolled} ,\\
4,& \text{if a 4 is rolled} ,\\
5,& \text{if a 5 is rolled} ,\\
6,& \text{if a 6 is rolled} .\end{cases}

و pmf این متغیر به صورت زیر خواهد بود.

\rho_X(x) = \begin{cases}\frac{1}{6},& \text{if }x=1,2,3,4,5,6,\\

0,& \text{otherwise} .\end{cases}

به عنوان یک مثال برای حالت پیوسته یک دیسک گردان که با چرخش خود می تواند جهتی را در افق مشخص کند در نظر بگیرید می توانیم جهت را با شمال و شمال شرق و ... نشان دهیم اما متداول تر است که جهات را بع اعداد حقیقی نسبت دهیم.برای این کار فرض می کنیم که نتیجه آزمایش را با زاویه ای که با سمت شمال می سازد توصیف کنیم در این صورت متغیر تصادفی میتواند مقادیر بازه (۰،۳۶۰] را بگیرد.در این حالت اگر X را به عنوان متغیر تصادفی برابر با زاویه با شمال قرار دهیم احتمال وقوع هر X حقیقی برابر ۰ خواهد بود اما احتمال انتخاب شدن یک بازه مقداری بزرگتر از صفر خواهد بود برای مثال احتمال این که X در بازه [۰،۱۸۰] قرار داشته باشد برابر ۰.۵ است. در این حالت به جای استفاده از تابع جرمی احتمال از تابع چگالی احتمال استفاده می کنیم و می گوییم که چگالی احتمال X برابر ۱/۳۶۰ است و احتمال قرار گرفتن X در بازه ای به طول L برابر L/۳۶۰ است در حالت کلی برای حساب کردن احتمال قرار گرفتن X در یک بازه باید از تابع چگالی احتمال روی آن بازه انتگرال بگیریم.

یک مثال برای حالت مختلط این است که سکه را برتاب کنیم و در صورت این مه نتیجه شیر بود دیسک را بجرخانیم اگر نتیجه خط بود X=-۱ و اگر شید بود X برابر با زاویه با شمال است در این صورت احتمال X=-۱ برابر ۰.۵ خواهد بود و احتمال حالت پیوسته را نیز با توجه به مثال قبل می توان حساب کرد(چگالی احتمال برابر ۱/۷۲۰ است).

تابع توزیع تجمعی[ویرایش]

تابع توزیع تجمعی متغیر تصادفی X به شکل زیر تعریف می شود.

F_X(x) = \operatorname{P}(X \le x)

به عبارتی این تابع احتمال این که نتیجه از عددی خاص کوچکتر باشد را به ما می دهد.برخی از خواص این تابع در زیر آمده است.

۱-تابع F_X(x) تابعی صعودی است.

۲-  F_X(\infty)=1  lim_{x \to \infty} F_X(x)= (حد در بی نهایت)

۳-  F_X(-\infty)=0  lim_{x\to -\infty} F_X(x)=

تابع یک متغیر تصادفی[ویرایش]

اگر X یک متغیر تصادفی روی \Omega \,\! باشد و g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} باشد آنگاه Y = g(X)\,\! نیز یک متغیر تصادفی روی \Omega \,\! خواهد بود. تابع توزیع تجمعی  Y از رابطه زیر تبعیت می کند

F_Y(y) = \operatorname{P}(g(X) \le y).

اگر g معکوس پذیر باشد یعنی g−۱ وچود داشته باشد و با فرض صعودی بودن g می توان به رابطه زیر رسید.

F_Y(y) = \operatorname{P}(g(X) \le y) = \operatorname{P}(X \le g^{-1}(y)) = F_X(g^{-1}(y))

با فرض معکوس پذیری و مشتق پذیری می توان با مشتق گرفتن از دو طرف رابطه بالا نسبت به y رابطه ای بین دو تابع چگالی احتمال نیز پیدا کرد که به شکل زیر است

f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \left| \frac{d g^{-1}(y)}{d y} \right| .

اکر رابطه معگوس پذیری برقرار نباشد اما تعداد ریشه های g برای هر مقدار y تعداد شمارایی باشد (یعنی تعداد محدود یا شمارا نامحدودی ریشه برای (y = g(xi داشته باشیم) رابطه بین دو تابع چگالی احتمال به صورت زیر در می آید.

f_Y(y) = \sum_{i} f_X(g_{i}^{-1}(y)) \left| \frac{d g_{i}^{-1}(y)}{d y} \right|

که (xi = gi(y.

مثال۱[ویرایش]

فرض کنید که X یک متغیر تصادفی پیوسته و حقیقی مقدار باشد و Y = X۲.

F_Y(y) = \operatorname{P}(X^ 2 \le y).

اگر y <۰ آنگاه P(X ۲y) = ۰، پس

F_Y(y) = 0\qquad\hbox{if}\quad y <0.

اگر y ≥ ۰ آنگاه:

\operatorname{P}(X^2 \le y) = \operatorname{P}(|X| \le \sqrt{y})
 = \operatorname{P}(-\sqrt{y} \le  X \le \sqrt{y}),

پس

F_Y(y) = F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y})\qquad\hbox{if}\quad y \ge 0.

مثال ۲[ویرایش]

فرض کنید X یک متغیر تصادفی با CDF زیر باشد که \theta یک مقدار ثابت و بزرگتر از صفر است

 F_{X}(x) = P(X \leq x) = \frac{1}{(1 + e^{-x})^{\theta}}

و تابع y با ضابطه  \scriptstyle Y = \mathrm{log}(1 + e^{-X}). داده شده است.

داریم:

 F_{Y}(y) = P(Y \leq y) = P(\mathrm{log}(1 + e^{-X}) \leq y) = P(X> -\mathrm{log}(e^{y} - 1)).\,

عبارت بالا برحسب تابع توزیع تجمعی X قابل محاسبه است بنابراین

 F_{Y}(y) = 1 - F_{X}(-\mathrm{log}(e^{y} - 1)) \,

 = 1 - \frac{1}{(1 + e^{\mathrm{log}(e^{y} - 1)})^{\theta}}
 = 1 - \frac{1}{(1 + e^{y} - 1)^{\theta}}
 = 1 - e^{-y \theta}.\,

(منظور از log لگاریتم طبیعی (Ln) است.)

تساوی دو متغیر تصادفی[ویرایش]

تعابیر مختلفی برای تساوی دو متغیر تصادفی وجود دارد. دو متغیر می توانند مساوی باشند یا در توزیع مساوی باشند (equal in distribution) یا تقریباً همه جا برابر (almost surely equality) باشند.

تساوی در توزیع[ویرایش]

اگر دو تابع X و Y تابع توزیع یکسانی داشته باشند میگوییم در توزیع مساوی هستند

\operatorname{P}(X \le x) = \operatorname{P}(Y \le x)\quad\hbox{for all}\quad x.

دو توزیع که تابع مولد گشتاور یکسانی دارند در توزیع مساوی هستند.

تقریباً همه جا برابر یا قریب به یقین برابر[ویرایش]

این تساوی در صورتی برقرار است که احتمال تفاوت X و Y صفر باشد.

\operatorname{P}(X \neq Y) = 0.

تساوی[ویرایش]

دو متغیر تصادفی X و Y مساوی هستند اگر به عنوان تابع روی فضای نمونه یکسان باشند

X(\omega)=Y(\omega)\qquad\hbox{for all }\omega.

جستارهای وابسته[ویرایش]

پانویس[ویرایش]

  1. فرند. پانویس ص. ۸۴

منابع[ویرایش]

http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Random_variable&oldid=437209168

Sheldon Ross ,Introduction to Probability Models Tenth Edition page 25

پا نوشته ها[ویرایش]